劉 康，余 玲，楊大志

（四川理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，四川 自貢 643000）

引言

目前，減小機(jī)床熱誤差的方法主要有兩種：誤差防止法和誤差補(bǔ)償法。在誤差補(bǔ)償法中，影響補(bǔ)償精度和性能的主要因素為熱誤差模型［1］。近年來(lái)，幾種用于熱誤差模型構(gòu)建的主要方法包括基于多元回歸分析、基于灰色系統(tǒng)、基于時(shí)間序列分析，以及基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模等［2-6］。鑒于機(jī)床熱誤差影響因素的復(fù)雜性和非線性特征與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的特點(diǎn)比較吻合，因此，基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)床熱誤差建模得到了較為廣泛的應(yīng)用［7-10］。但各種方法用于熱誤差模型有何特點(diǎn)，有必要對(duì)其進(jìn)行更多的研究。針對(duì)這一問(wèn)題，本文在同一機(jī)床的相同測(cè)試數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，采用幾種常用的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行熱誤差建模，從而進(jìn)行比較性研究。

1 實(shí)驗(yàn)方案及關(guān)鍵溫度點(diǎn)選擇

對(duì)一臺(tái)立式加工中心KVC650E的主軸軸向熱誤差進(jìn)行相應(yīng)的測(cè)試實(shí)驗(yàn)，以獲取有對(duì)比研究?jī)r(jià)值的實(shí)際數(shù)據(jù)。測(cè)量包括主軸電機(jī)、主軸上軸承、主軸下軸承、主軸中部、環(huán)境溫度、以及主軸的軸向誤差。為了考察不同的環(huán)境影響，在不同時(shí)間進(jìn)行了多次測(cè)量，見(jiàn)表1。

表1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)

在熱誤差模型構(gòu)建中，對(duì)于多個(gè)溫度點(diǎn)，如何確定合適的用于模型構(gòu)建的溫度點(diǎn)是需要仔細(xì)考慮的。不失一般性，采用模糊聚類(lèi)法對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)，再根據(jù)溫度與誤差之間的灰色綜合關(guān)聯(lián)度確定關(guān)鍵溫度點(diǎn)。

表2是對(duì)1＃實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的8個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行模糊聚類(lèi)分類(lèi)的結(jié)果，其中，T1為主軸頂部，T2為主軸電機(jī)，T3、T6為主軸上軸承的側(cè)面和正面，T4為主軸下軸承，T5、T7為主軸中部的側(cè)面和正面，T8為環(huán)境溫度。表3是對(duì)1＃實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的溫度變量與軸向熱誤差灰色綜合系數(shù)排序結(jié)果。

表2 溫度測(cè)點(diǎn)模糊聚類(lèi)分類(lèi)結(jié)果

表3 溫度變量與軸向熱誤差灰色綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)

根據(jù)模糊聚類(lèi)結(jié)果，可以在每類(lèi)中選擇一個(gè)代表溫度點(diǎn)。在表3給出的關(guān)聯(lián)系數(shù)中，選擇每類(lèi)中最大的一個(gè)作為代表溫度點(diǎn)，即為 T1、T2、T6、T8。由表3可知，T1的關(guān)聯(lián)系數(shù)最小，不應(yīng)該選擇，故選擇T2、T6、T8（主軸電機(jī)、主軸上軸承、環(huán)境溫度）作為溫度關(guān)鍵點(diǎn)。另外，T4的主軸下軸承的關(guān)聯(lián)系數(shù)也很大，事實(shí)上，上下軸承也是主軸主要熱源，因此，最終選擇主軸電機(jī)、主軸上下軸承、環(huán)境溫度四個(gè)關(guān)鍵溫度點(diǎn)。為網(wǎng)絡(luò)輸出，從而構(gòu)建出網(wǎng)絡(luò)熱誤差模型。

BP網(wǎng)絡(luò)和級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)隱含層選取節(jié)點(diǎn)數(shù)為2，神經(jīng)元函數(shù)為隱含的正切S型函數(shù)1。輸出層神

2 模型建立與對(duì)比

2.1 幾種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差模型建立

基于Matlab工具箱，選擇熱誤差模型建模中常用的BP網(wǎng)絡(luò)newff、級(jí)聯(lián)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)newcf、徑向基網(wǎng)絡(luò)newrb、廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)newgrnn進(jìn)行對(duì)比建模研究。

本文選擇的四個(gè)關(guān)鍵溫度點(diǎn)中，環(huán)境溫度作為對(duì)不同時(shí)間和季節(jié)環(huán)境的關(guān)鍵溫度，可以作為模型的一個(gè)獨(dú)立輸入，也可以將其他溫度減去環(huán)境溫度。不失一般性，為了更好地標(biāo)定不同時(shí)間環(huán)境的特點(diǎn)，采用其他溫度減去環(huán)境溫度的增量溫度，這樣，獲得了三個(gè)增量溫度。將增量溫度作為網(wǎng)絡(luò)輸入，而將主軸軸向熱誤差作經(jīng)元函數(shù)為線性函數(shù)y＝x。網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練采用Levenberg－Marquardt學(xué)習(xí)規(guī)則。

徑向基網(wǎng)絡(luò)在構(gòu)造時(shí)可以調(diào)整的參數(shù)有兩個(gè)，一個(gè)是訓(xùn)練的均方差，一個(gè)是平滑參數(shù)。廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平滑參數(shù)是構(gòu)造時(shí)能夠設(shè)置的唯一參數(shù)，采用均方差法來(lái)確定該參數(shù)。

2.2 自預(yù)測(cè)性能實(shí)驗(yàn)

自預(yù)測(cè)性能是將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)用來(lái)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練建模，訓(xùn)練結(jié)束建模完成后，將模型用于訓(xùn)練數(shù)據(jù)自身的熱誤差預(yù)測(cè)，考察預(yù)測(cè)效果與實(shí)際測(cè)量誤差的準(zhǔn)確性。為了較準(zhǔn)確地考察預(yù)測(cè)性能，采用兩種方式進(jìn)行：（1）將一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)全部用于網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練建模，然后再對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證；（2）將一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按照1、3、5……點(diǎn)和2、4、6……點(diǎn)進(jìn)行抽點(diǎn)后分為新的兩組，第一組用于訓(xùn)練建模，第二組用于預(yù)測(cè)驗(yàn)證。網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造和訓(xùn)練時(shí)的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表4與表5。

表4 BP網(wǎng)絡(luò)和級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造訓(xùn)練參數(shù)

表5 徑向基網(wǎng)絡(luò)和廣義回歸網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造訓(xùn)練參數(shù)

圖1和圖2是BP網(wǎng)絡(luò)和徑向基網(wǎng)絡(luò)對(duì)1＃數(shù)據(jù)進(jìn)行全組和分組自預(yù)測(cè)的結(jié)果。其中圖1（a）與圖2（a）為全組自預(yù)測(cè)結(jié)果，圖1（b）與圖2（b）為分組的自預(yù)測(cè)結(jié)果。1＃數(shù)據(jù)的全組和分組自預(yù)測(cè)對(duì)比研究結(jié)果見(jiàn)表6。

圖1 1＃數(shù)據(jù)BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果

圖2 1＃數(shù)據(jù)徑向基網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果

表6 各網(wǎng)絡(luò)1＃數(shù)據(jù)自預(yù)測(cè)殘差與均方差

由表6可知，四種網(wǎng)絡(luò)建立的模型對(duì)于自預(yù)測(cè)都能獲得可以接受的結(jié)果。特別對(duì)于全組自預(yù)測(cè)，由于是對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)本身的預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)效果更佳。徑向基網(wǎng)絡(luò)和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于其本身就具有更好的回歸和擬合效果，所以其全組自預(yù)測(cè)獲得了較為滿(mǎn)意的效果。分組自預(yù)測(cè)由于其訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)不是相同數(shù)據(jù)，所以其預(yù)測(cè)效果比全組自預(yù)測(cè)而言有所下降，但都在可接受的范圍。相比而言，BP網(wǎng)絡(luò)和級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的效果下降程度比徑向基網(wǎng)絡(luò)和廣義回歸網(wǎng)絡(luò)要小，表明BP網(wǎng)絡(luò)可能具有更佳的推廣能力。分組自預(yù)測(cè)的測(cè)試方式從某種程度上反映了各模型一定的推廣能力。但這種推廣能力由于其測(cè)試數(shù)據(jù)依然與訓(xùn)練數(shù)據(jù)是同一組數(shù)據(jù)，其內(nèi)部的特征、模式等特點(diǎn)是一致的，僅僅依靠分組自預(yù)測(cè)的方式考察模型的推廣能力，并將其用于模型構(gòu)建是不夠的。

2.3 推廣性能實(shí)驗(yàn)

為了更好地考察各網(wǎng)絡(luò)建模的推廣能力，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行了推廣性能實(shí)驗(yàn)。采用全組1＃數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和建模，將建立的模型用于2?！?＃數(shù)據(jù)的熱誤差預(yù)測(cè)。圖 3是 BP網(wǎng)絡(luò)模型對(duì) 2＃、3＃、4＃、5＃數(shù)據(jù)推廣預(yù)測(cè)結(jié)果。所有網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的最大殘差絕對(duì)值和均方差見(jiàn)表7。

圖3 BP網(wǎng)對(duì)2＃、3＃、4＃數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果

由圖3可知，采用目前常用的簡(jiǎn)單整體建模方式，模型的推廣性能較差。即便相對(duì)效果稍好的BP網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于4＃數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)最大殘差也達(dá)到了12μm，偏離整個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)近50%。而對(duì)于擬合能力較強(qiáng)的徑向基網(wǎng)絡(luò)和廣義回歸網(wǎng)絡(luò)，基本不具備任何推廣能力。

表7 各網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)2＃、3＃、4＃、5＃數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的最大殘差和均方差

3 結(jié)果分析

主軸的熱誤差來(lái)源主要是主軸溫度變化導(dǎo)致的熱膨脹產(chǎn)生的，故其變化過(guò)程主要受主軸熱源的傳入熱量和主軸向環(huán)境散熱影響，呈現(xiàn)從機(jī)床開(kāi)機(jī)開(kāi)始逐漸升高至熱平衡的趨勢(shì)。其他如環(huán)境變化等各種因素的影響，使其溫升和熱誤差變化過(guò)程呈現(xiàn)了非線性、多因素的復(fù)雜特征。隨時(shí)間變化的熱誤差E（t）可以由下式表征：

式中，T（t）為由于溫度變化引起的誤差，A（t）為由其他因素引起的誤差。若假設(shè)T（t）為一與溫升正比的光滑曲線，將5組樣本抽點(diǎn)統(tǒng)一到相同時(shí)間尺度，采用 fit（X，Y，’poly2’）對(duì)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，結(jié)果見(jiàn)表8。

表8 各樣本擬合結(jié)果及與原始誤差均方差

由表8可知，擬合曲線與原始誤差均方差都接近1，表明實(shí)際誤差圍繞擬合曲線的波動(dòng)占了相當(dāng)比例，這種波動(dòng)可以認(rèn)為主要由非溫升的其他隨機(jī)因素，即A（t）引起。傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差補(bǔ)償?shù)恼`差模型大多建立在基于多個(gè)關(guān)鍵溫度點(diǎn)輸入從而獲得相應(yīng)熱誤差預(yù)測(cè)值的整體建模方法上，基本思想是希望利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)良好的非線性和學(xué)習(xí)特性，通過(guò)訓(xùn)練，自行尋找出符合熱誤差規(guī)律的模型。從上述分析可以知，如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)ふ页鯰（t）函數(shù)關(guān)系，再尋找出A（t）函數(shù)關(guān)系，最后綜合獲得模型，就可以具有較好的預(yù)測(cè)精度以及較強(qiáng)的魯棒性［11-12］。

BP網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)結(jié)果實(shí)際是調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)各權(quán)值和偏置，使其所有輸出獲得的輸入與樣本輸出誤差小于預(yù)定值，這可以看作是高度逼近樣本的非線性擬合。要想在擬合過(guò)程中單獨(dú)抽取T（t）和A（t），是沒(méi)有理論和方法上的保障的。特別由于A（t）的隨機(jī)性以及BP網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的隨機(jī)性，基本不可能抽取出整合兩種因素的良好函數(shù)特征。

同樣，廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)際上比BP網(wǎng)絡(luò)具有更佳的擬合性能，但從前面的討論可知，其更不容易分別抽取T（t）和A（t）的特征。從本文實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，BP網(wǎng)絡(luò)和級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)基本不具備推廣能力，而廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和徑向基網(wǎng)絡(luò)則比BP網(wǎng)絡(luò)具有更差的推廣性能。

其實(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，一直是有關(guān)學(xué)者研究的焦點(diǎn)之一［13-15］。目前的結(jié)果表明，影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)泛化問(wèn)題的眾多因素中，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和樣本的復(fù)雜性起著重要作用。在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)方面，對(duì)于給定一組訓(xùn)練樣本，相同樣本復(fù)雜性最小的結(jié)構(gòu)具有最好的泛化能力是一個(gè)基本原則。即達(dá)到相同訓(xùn)練精度的網(wǎng)絡(luò)中，結(jié)構(gòu)越簡(jiǎn)單，泛化能力越好。在樣本復(fù)雜性方面，主要體現(xiàn)在樣本質(zhì)量和樣本規(guī)模兩個(gè)方面。如果樣本分布越能體現(xiàn)總體的真實(shí)分布，則樣本質(zhì)量越好。此外，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的影響體現(xiàn)為兩個(gè)階段，初始階段隨著學(xué)習(xí)精度的提高，其泛化能力有所提升，但學(xué)習(xí)精度的進(jìn)一步提高，則可能進(jìn)入泛化能力下降的階段，亦即過(guò)擬合現(xiàn)象發(fā)生［16-17］。

考慮熱誤差補(bǔ)償?shù)膶?shí)際情況，一個(gè)可用的較好方案是在相應(yīng)機(jī)床出廠前作一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)采集，并將采集數(shù)據(jù)用于該機(jī)床熱誤差模型的相應(yīng)參數(shù)。但這樣的做法只能夠收集有限樣本，同時(shí)，樣本中也不可能包含不同環(huán)境、不同時(shí)間段和各種工況的信息。這樣的樣本分布不可能體現(xiàn)總體的真實(shí)分布，屬于小樣本、貧信息。所以從樣本復(fù)雜性上提升熱誤差模型的推廣能力是不太現(xiàn)實(shí)的。而網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)方面，目前還沒(méi)有更好的辦法。采用簡(jiǎn)單的整體建模的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于構(gòu)建具有可實(shí)用推廣能力的熱誤差模型具有很大的難度。同樣僅僅調(diào)整學(xué)習(xí)精度，采用提前終止學(xué)習(xí)等常規(guī)提高泛化能力方法對(duì)于構(gòu)建實(shí)用的熱誤差模型還具有較大差距，因此，必須進(jìn)行更多的研究，采用其他方法才有望能較好地解決目前的推廣能力問(wèn)題。

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