張興治，計忠平

（1.杭州電子科技大學計算機學院，杭州 310018；2.杭州電子科技大學圖形圖像研究所，杭州 310018）

0 引言

浮雕是雕塑與繪畫結(jié)合的產(chǎn)物，是雕刻的一種，藝術(shù)家在一塊平板上將他要塑造的形象雕刻出來，用壓縮的辦法來處理對象，靠透視等因素來表現(xiàn)三維空間。浮雕的材料有石頭、木頭、象牙和金屬等，一般分為淺浮雕、高浮雕和凹雕等。淺浮雕一般是附屬在另一平面或曲面上的，因此在建筑上使用更多，用具器皿上也經(jīng)?？梢钥吹?。浮雕在內(nèi)容、形式和材質(zhì)上與圓雕一樣豐富多彩。淺浮雕壓縮大，起伏小，它既保持了一種建筑式的平面性，又具有一定的體量感和起伏感。從古埃及、古希臘和古羅馬的神廟和墓碑的雕塑，到中國的廟宇、洞窟和君王的陵墓都有許多淺浮雕藝術(shù)。由于其壓縮的特性，所占空間較小，所以適用于多種環(huán)境的裝飾。近年來，它在城市美化環(huán)境中占了越來越重要的地位。然而，雖然有大量的3D建模軟件以及3D打印技術(shù)，淺浮雕的設(shè)計卻仍然需要依靠藝術(shù)家手工制作或使用設(shè)計軟件如ArtCAM來編輯2D圖像來產(chǎn)生3D浮雕效果。而如果直接通過已有的3D模型來構(gòu)建浮雕將變得更加方便和直觀。

近年來，這一課題在計算機圖形學領(lǐng)域內(nèi)受到越來越多的關(guān)注。但以往算法主要產(chǎn)生相對基面凸起的淺浮雕，而本文旨在構(gòu)建數(shù)字凹浮雕。凹浮雕在外觀上不象普通淺浮雕那樣整體高出周圍基面，而是相反，陷入周圍基面。本文首先從外觀以及便于數(shù)字化處理的角度對凹浮雕進行如下分類：內(nèi)凹型以及沉陷型。如圖1中所示，內(nèi)凹型是在平面上雕刻，但是不是雕刻輪廓線，而是“挖”掉形體的表面，使整體呈內(nèi)凹型；而沉陷型的形體和表面細節(jié)與普通淺浮雕類似，但整體沉陷在周圍基面或與周圍基面持平，這種類型的浮雕一般不常見，但卻是古埃及神廟中的典型浮雕。

圖1 凹浮雕簡單分類

1 相關(guān)工作

相對于計算機圖形學領(lǐng)域的傳統(tǒng)課題，利用三維模型設(shè)計數(shù)字淺浮雕還是一個相對年輕的研究課題。隨著三維模型獲取技術(shù)的提高以及數(shù)字幾何處理的發(fā)展，近年來有文獻研究基于三維場景的數(shù)字化淺浮雕設(shè)計[1]。Cignoni等人首次將三維場景視為攝像機空間中的高度場，再直接對高度值作非線性縮放，對于離攝像機較近的給予較多的深度范圍，最終得到壓平后的高度場[2]。這種方法對深度值不復雜的模型和場景能產(chǎn)生較好的淺浮雕，但是對于模型之間由于前后遮擋而形成深度值的不連續(xù)而帶來瑕疵。Weyrich等人借鑒HDR圖像的壓縮算法[3]，但并不是直接壓縮高度值，而是非線性地改變高度場的梯度值[4]。這樣可以改善因深度值不連續(xù)而帶來的瑕疵。Song等人不直接處理高度場，而是結(jié)合網(wǎng)格的微分坐標和特征圖來獲取高度場[5]。Kerber等人通過雙邊濾波將高頻和低頻分離，保留因統(tǒng)一壓縮高度場而丟失的細節(jié)[6-7]。Sun等人直接處理高度場，并借鑒圖像處理中的對比度增強技術(shù)并結(jié)合梯度域增強特征來產(chǎn)生高質(zhì)量的淺浮雕，但算法需要的計算量較大[8]。Bian和Hu提出了結(jié)合Laplacian坐標和非線性壓縮梯度域的保持細節(jié)特征的淺浮雕建模方法[9]。Wang等人別出心裁，不是將場景的高度場轉(zhuǎn)化為淺浮雕，而是將場景中提取的“線條”信息轉(zhuǎn)化為雕刻筆畫，用以模擬凹線型的雕刻形象[10]。另外，國內(nèi)學者在此基礎(chǔ)上也展開了一些研究[11-14]。

除了從三維場景計算淺浮雕外，近來有一些學者提出從圖像轉(zhuǎn)化或手繪等方式產(chǎn)生淺浮雕的方法。Alexa等人在給定光源的前提下由圖像計算一個高度場使得其在同樣光源條件下得到類似的渲染圖[15]，雖然與由三維場景獲得的淺浮雕結(jié)果比較質(zhì)量上有差距，但可以作為淺浮雕設(shè)計的另一種思路。Li等人則從圖像中提取中軸用于構(gòu)建基本曲面，再結(jié)合圖像中提取的細節(jié)來重建浮雕，該技術(shù)旨在模擬磚塊和石壁上的浮雕作品[16]。Wu等人提出一種將人臉圖像轉(zhuǎn)為淺浮雕的方法，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法由人臉圖像計算浮雕圖像，再使用Shape-from-Shading技術(shù)構(gòu)建相應(yīng)的淺浮雕模型[17]，當然該方法局限于人臉圖像。Wu等人將二維線型筆劃與法線筆劃相結(jié)合提出一種由單幅圖像交互式構(gòu)建三維曲面（高度場）的方法[18]，雖然該方法側(cè)重于由圖像重建三維模型上，但算法也適合于簡單淺浮雕的構(gòu)建。最近，Sykora等人提出類似的方法[19]，但交互方式略有不同，不是指定法線而是手繪圖加上表示分塊和深度次序的注釋。Ji等人分析淺浮雕建模中的關(guān)鍵問題，改變思路，不從高度場著眼，而是從法線角度來思考問題，提出了基于法線圖的淺浮雕設(shè)計算法[20]。本文工作正是建立在該工作的基礎(chǔ)上，通過編輯法線信息來構(gòu)造凹浮雕。

2 基于法線圖的凹浮雕建模

2.1 算法概述

鑒于凹浮雕與普通凸浮雕的區(qū)別，本文方法主要解決如何使浮雕表面或輪廓產(chǎn)生凹陷的問題。對于這個問題，從法線角度來處理比從高度場角度直接處理來得更加合理，只需要計算局部的法線以構(gòu)造凹陷特征，再通過積分計算得到最終的高度場，因此不需要直接處理高度值的不連續(xù)問題。本文算法的主要步驟如下：從法線圖中抽取輪廓線以及內(nèi)部重要內(nèi)陷線條型特征，計算距離圖及其法線圖；調(diào)整基本面的法線信息；再將輪廓線、線條和基本法線合成一整張法線圖；最后由合成的法線圖重建高度場。

2.2 線型特征提取

（1）輪廓線

為了模擬凹浮雕特別是第三種類型，需要在邊緣處構(gòu)建深凹特征。本文算法首先計算像素到輪廓線的距離圖，再根據(jù)距離圖計算邊緣處的法線。圖2給出了一個示例。首先計算法線圖的輪廓邊緣，適當膨脹一下（此例子中向外膨脹6個像素），再計算到輪廓線的歐氏距離圖，圖2（c）中只顯示了輪廓內(nèi)部的距離圖，其中遠距離用黃色表示，近距離用暗綠色表示；最后由距離圖計算邊緣附近的法線值得到輪廓法線圖（圖2（d））。該例子采用歐氏距離，也可以采用不同的距離函數(shù)來塑造不同類型的邊緣特征。

圖2 邊緣輪廓法線圖的構(gòu)建

（2）內(nèi)部線條

為了塑造凹浮雕中的線條型刻劃，本文從圖像角度檢測出法線圖上的凹線條。首先通過邊緣檢測算子檢測法線圖的邊緣線，但這里有可能存在凸線條，因此再截取Laplace算子的正值抽取出凹線條。該步驟簡單高效，通過邊緣檢測算子的閾值還可以抽取多層次的凹線條。一旦抽取出凹線條，再跟上文中一樣，計算距離圖，最后由距離圖構(gòu)建相應(yīng)的法線圖。

圖3 由凹型邊緣線引導的距離圖計算法線圖

從圖3中的例子可以看出，在圖3（a）中很多凸線條也被檢測出來了，通過Laplace算子將真正凹的線條抽取出來了，再計算到這些點的歐氏距離圖，最后由距離圖計算法線圖。由于采用歐氏距離，沒有考慮光滑性，最后得到的法線圖有很多尖銳的脊線和谷線，但這里尖銳的谷線正是本文算法所需要的。另外，為了塑造不同的“雕刻痕跡”，可以采用不同的距離計算方法。

2.3 法線調(diào)整

由法線圖構(gòu)建浮雕模型的另一個優(yōu)勢就是可以通過調(diào)整法線來改變浮雕的整體形狀。本文提出兩種調(diào)整方案，一種是翻轉(zhuǎn)法線，使整體凸起的浮雕變?yōu)橄騼?nèi)凹陷；另一種則是使浮雕曲面整體傾向于某個方向，本文通過改變法線的x，y分量再單位化來調(diào)整法線。

（1）內(nèi)陷型

對于本身呈整體凸起形狀的模型，由翻轉(zhuǎn)法線來構(gòu)建內(nèi)凹型淺浮雕是非常直接的，即得到呈整體凹陷的效果。圖4中給出了一個例子，通過翻轉(zhuǎn)螞蟻模型的法線，最終產(chǎn)生了完全內(nèi)陷的淺浮雕模型。由該例子可見，本文算法可以近似塑造圖1中第一種類型的凹浮雕。

圖4 通過翻轉(zhuǎn)法線來塑造內(nèi)陷型凹浮雕

（2）方向擠壓型

為了塑造具有方向性偏倚的效果，可以模擬因長期風化或擠壓造成的現(xiàn)象。通過調(diào)整法線的方向可以塑造偏向某個方向的效果。本文算法采用如下公式對法線n=（nx,ny,nz）進行方向性調(diào)整，其中d是用戶設(shè)定的一個2維單位向量，用于指示法線偏倚的方向，nxy是法線的x和y分量組成的二維向量。從圖5給出了一個示例，其中設(shè)定d=[1,0]。可以看出，本文算法通過法線間接地控制高度，用于模仿有些浮雕中的特效。

圖5 通過偏轉(zhuǎn)法線來塑造朝某個方向偏倚的效果

2.4 法線合成

由于法線信息和絕對高度值不同，記錄的是局部信息，并且具有平移不變性，因此可以將多個法線圖組合起來得到一張法線圖，再由此計算得到相應(yīng)的浮雕模型。因此可以將上述幾個法線圖融合起來生成最終的法線圖。本文算法最終處理的是綜合原始法線圖以及前面步驟中分別產(chǎn)生的輪廓線和內(nèi)部凹線的法線圖。通過積分法線圖推導的梯度場得到最終的浮雕模型，該步驟也起到整體光滑的作用，因此本文算法采用簡單的方法綜合三部分法線圖，而并不考慮法線圖的光滑性。圖6給出了一個例子，該模型對應(yīng)的一些凹陷特征以凹線的形式呈現(xiàn)出來。另外，也可以對原始法線作不同程度的平滑或豎直矯正，讓最終的浮雕呈現(xiàn)出不同的整體平整效果。

圖6 合成法線圖例子示意圖

2.5 浮雕計算

一旦計算得到合成法線圖，本文采用文獻[20]提出的方法由法線圖構(gòu)建高度場，最后再根據(jù)預設(shè)的淺浮雕高度值來線性縮放計算得到的高度場。圖7給出的例子是由圖6中的合成法線圖重建出高度場再經(jīng)線性壓縮至一定高度后產(chǎn)生最終的凹型淺浮雕模型。

圖7 通過高度場壓縮產(chǎn)生浮雕模型

3 實驗與討論

下面將結(jié)合實際例子來進一步闡述和驗證本文算法。

圖8中的例子演示了本文算法構(gòu)造凹浮雕的過程。由于輪廓邊緣法線的存在，使得整個浮雕呈凹陷狀，而內(nèi)部線條呈現(xiàn)了刻劃的痕跡。

圖8 凹浮雕生成算法實驗例子1

圖9 中的例子是為了表現(xiàn)不同筆觸大小的效果，從圖中可以看出，當筆觸較小（圖9（b））時更趨近于線刻的效果，而較大筆觸（圖9（c））時凹浮雕的特征更加明顯。

圖9 凹浮雕生成算法實驗例子2

除了以上給出的卡通及人物的模型進行生成凹浮雕以外，本文還提出了其他的類型如漢字來生成凹浮雕。本文首先計算法線圖的輪廓邊緣，再計算到輪廓線的歐氏距離圖，由距離圖計算邊緣附近的法線值得到輪廓法線圖。圖10給出的例子也是采用歐氏距離來塑造邊緣特征，對原始法線筆觸大小等作了不同處理，使?jié)h字產(chǎn)生凹浮雕的效果。

圖10 凹浮雕生成算法實驗例子3

與文獻[20]一樣，本文算法以法線圖作為處理對象，圖11中所示的例子是將文獻[20]提出的算法的結(jié)果與本文算法的結(jié)果作了比較。從該例子可以看出，本文算法生成的結(jié)果跟以往算法產(chǎn)生的普通淺浮雕有較大區(qū)別。以往算法的一個重要目標是在壓縮高度的同時盡量保持原始模型的幾何特征，并且盡量保持在垂直視線下的視覺效果。而本文算法產(chǎn)生的淺浮雕壓縮高度的同時以內(nèi)凹的線條呈現(xiàn)原模型的細節(jié)特征。而從算法效率上來看，由于主要的計算時間是求解最終的稀疏線性方程組，因此并沒較大的區(qū)別。

4 結(jié)語

本文提出一種由法線圖來生成數(shù)字凹浮雕的方法。本文從法線圖中抽取輪廓線和內(nèi)部邊緣特征，在此基礎(chǔ)上計算距離圖，再計算距離圖的法線，最后將生成的新法線圖與原始的法線圖混合得到最終的法線圖。由法向信息來構(gòu)建凹浮雕的優(yōu)勢就是，不需要處理深度值的不連續(xù)問題。本文方法概念簡單，實驗表明適合生成各類凹浮雕模型。

目前工作主要研究由法線圖如何產(chǎn)生各類凹浮雕模型，但有些問題還值得進一步研究，如：目前凹線筆劃的寬度和深度基本一致，研究如何構(gòu)建寬度和深度自適應(yīng)的筆劃以塑造更加豐富的筆劃效果；增加輪廓線和內(nèi)凹線的隨機變化以模擬現(xiàn)實中的浮雕效果；目前在檢測凹線時僅僅將法線圖作為普通的圖像來處理，可以直接從法線信息來計算谷線和脊線，即相當于在物體空間來計算相關(guān)特征。

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