王世繁 ，羅 楊 ，董 亮 ，李國良

（1.電子科技大學(xué)航空航天學(xué)院，四川成都611731；2.成都出入境檢驗(yàn)檢疫局四川成都610041）

近年來，作為電動汽車核心部件的鋰電池，因?yàn)檠h(huán)使用壽命長、重量輕、能量密度高、無污染和性價比高等優(yōu)點(diǎn)，成為研究的熱點(diǎn)[1-4]。由于電動汽車仿真技術(shù)的需要和鋰電池重要性能參數(shù)剩余電量（SOC）的估算的需要，建立準(zhǔn)確的鋰電池模型有著重要的意義[5-6]。

目前常用的模型有電化學(xué)模型和電模型，其中電化學(xué)公式模型，考慮的因素較多，需要對鋰電池的電化學(xué)反應(yīng)有一定來了解，且在復(fù)雜工況情況下，該模型誤差較大[7]。等效電路模型是電子元器件描述電池的外部特性，目前常見的有Thevenin模型、PNGV模型、Rint模型、GNL模型。其中因?yàn)門hevenin模型相比其他模型簡單，且能很好體現(xiàn)電池池的動態(tài)特性。而二階Thevenin模型在一階Thevenin模型的基礎(chǔ)上多加入了一個RC回路，能更準(zhǔn)確的模擬電池的充放電行為[8-9]。

因此，文中采用二階Thevenin等效模型作為研究目標(biāo)。作為多元非線性回歸模型，參數(shù)辨識的通常做法為，把非線性參數(shù)線性化，然后再使用例如最小二乘法的方法進(jìn)行擬合[10-11]。而在在二階Thevenin等效模型中存在無法線性化的非線性參數(shù)，本文通過實(shí)驗(yàn)采集的有限量測數(shù)據(jù)，使用梯度下降算法，通過建立目標(biāo)函數(shù)，在負(fù)梯度方向上遞歸性的逼近設(shè)定的閾值，從而得到辨識結(jié)果。通過仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較驗(yàn)證了該參數(shù)辨識的準(zhǔn)確性。

1 電池模型的建立

一般來說，一個優(yōu)良的電池模型要能夠準(zhǔn)確描述電池的動靜態(tài)特性，模型本身復(fù)雜度數(shù)較低，且工程實(shí)現(xiàn)較為容易。二階Thevenin等效電路模型能很好的體現(xiàn)鋰電池的非線性特征，如圖1所示，該模型在一階Thevenin等效電路模型加入了RC環(huán)路，更能準(zhǔn)確的描述電池的響應(yīng)特性，具有結(jié)構(gòu)簡單、描述準(zhǔn)確的特點(diǎn)。

圖1 二階Thevenin等效電路模型

該模型數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示：

其中，UO為電池兩端電壓，為UOC電池內(nèi)部電壓，該參數(shù)在一定情況下與該電池的SOC有固定的映射關(guān)系。RP1為極化電阻1，PR2為極化電阻2，i為放電電流，τ1為第一個RC回路（含有RP1）的時間常數(shù)，τ2為第二個RC回路（含有RP2）的時間常數(shù)，t為從本次放電過程開始的時間，R為電池內(nèi)阻，在沖放電過程中會引起電池輸出電壓UOC的突變。

對于該模型，RP1與CP1用于描述擴(kuò)散現(xiàn)象，這是一個放電電壓緩慢穩(wěn)定的過程，時間常數(shù)較大，其兩端的電壓是UP1；RP2和CP2是描述電池雙電層部分的荷電變化，這是一個放電電壓快速變化的過程，時間常數(shù)較小，其兩端電壓是界面過電位UP2。

2 電池模型參數(shù)辨識

2.1 鋰電池特性測試實(shí)驗(yàn)

根據(jù)公式（1）（2）（3），二階Thevenin等效電路模型需要辨識的參數(shù)有UOC、RP1、CP1、RP2、CP2、R。為了辨識這些參數(shù)，需要對電池進(jìn)行完整的充放電實(shí)驗(yàn)，并采集記錄數(shù)據(jù)[12-13]。

實(shí)驗(yàn)對象為標(biāo)稱電壓3.7 V，充電截至電壓4.3 V，放電截止電壓3.3 V，額定容量2 000 mah的18 650鋰電池，恒定溫度為25c。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的硬件部分由PC機(jī)、數(shù)據(jù)采集卡，電子負(fù)載、可編程直流電源和溫度采集模塊組成。實(shí)驗(yàn)步驟如下：

1）實(shí)驗(yàn)前使用電子負(fù)載先放空鋰電池剩余電量，直至鋰電池電壓為3.3 V；

2）使用直流電源將該電池以先恒流后恒壓的方式進(jìn)行充滿電，直至電壓達(dá)到4.2 V，此時soc為1。充電完成后，因?yàn)殇囯姵氐臏笮?yīng)，在室溫內(nèi)靜置1小時，防止電壓變化。

3）進(jìn)行放電容量測試，通過可編程電子負(fù)載，將該電池以1 A的電流恒流放電，當(dāng)放電容量達(dá)到soc的10%時，停止放電，靜置30 min，防止電壓變化。

4）重復(fù)2）～3）的過程，直到soc為0。

參數(shù)UOC的辨識可以通過以上實(shí)驗(yàn)過程獲得，在SOC從0～1，間隔為0.1的時刻得到電池電壓與鋰電池剩余電量SOC的關(guān)系曲線OVC-SOC，這里使用最小二乘法擬合該數(shù)據(jù)，所得結(jié)果如圖2所示。

圖2 ovc-soc關(guān)系曲線圖

對于剩余的參數(shù)辨識，待電池靜置充分后，選取soc在0.5處進(jìn)行復(fù)合脈沖實(shí)驗(yàn)。復(fù)合脈沖實(shí)驗(yàn)是以2A的電流放電60 s，靜置5 min后，1.5c的電流充電60 s，靜置10分鐘[13-14]，該實(shí)驗(yàn)所采集的數(shù)據(jù)如圖3所示。

電池放電分為4個階段。一階段為電池在放電加載的一瞬間，因?yàn)閮?nèi)阻R承擔(dān)了這個時刻的這時電壓陡降。這時模型電容充電，零狀態(tài)響應(yīng)，整個壓降由電阻R承擔(dān)。所以有：

依據(jù)公式（4）可通過獲得R的辨識結(jié)果。

圖3 脈沖充放電曲線圖

第二個階段，因?yàn)殡娙莸某潆?，所以電壓曲線近似指數(shù)函數(shù)下降。在該階段由（1）（2）（3）可得：

該關(guān)系式很好地描述了該過程，可以使該式辨識剩余參數(shù)。對于階段三和階段四，與前兩個階段類似，而充電過程保證soc不改變，故不再累述。

2.2 梯度下降法辨識參數(shù)

為了辨識其余參數(shù)，因?yàn)楣剑?）存在多個非線性參數(shù)，并且這些參數(shù)無法線性化。如果使用類似于最小二乘法的擬合方法，需要多項(xiàng)式擬合并通過擬合后的數(shù)據(jù)以方程組求解的方法實(shí)現(xiàn)二階模型的參數(shù)求解。使用該方法進(jìn)行參數(shù)擬合極不方便，且對初值有較大依賴[15-16]，很可能造成無解或者擬合誤差偏大的問題。

文中采用梯度下降算法。梯度下降算法是一個最優(yōu)化算法，該算法在求解無約束優(yōu)化問題最簡單有效，其核心思想就是沿梯度下降的方向求解極小值。假定無約束極值條件，minf(x),x∈Rn。目標(biāo)函數(shù)f(x)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有極小點(diǎn)x*，x(k)表示極小點(diǎn)的第k次近似，為了求得k+1的近似點(diǎn)x(k+1)，在x(k)沿方向p(k)作射線x=x(k)+λp(k),λ≥0。將f(x)在x(k)泰勒展開，f(x)=f(x(k))+λ[?f(x(k))]Tp(k)+o(λ)，對于充分小的λ，只要 [?f(x(k))]Tp(k)<0，即可保證f(x(k)+λp(k))

由線性代數(shù)可以知道，p(k)=-?f(x(k))為負(fù)梯度方向，它是函數(shù)下降最快的方向。對于該算法，步長λ的選擇比較麻煩，太大了函數(shù)會發(fā)散，太小收斂速度又太慢。一般選用線性搜索算法，來確定λ。在本文中，每次新的迭代計算的λ的為上一次λ的0.5，通過此方法逼近閾值。

給出構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

該構(gòu)造函數(shù)表示采樣點(diǎn)為j的電壓殘差平方和最小值函數(shù)，其中RP1,RP2,τ1,τ2為待辨識參數(shù)。算法步驟如圖4所示。

圖4 梯度下降算法流程圖

因?yàn)樵撃Ｐ托枰孀R4個參數(shù)，存在多解的可能性，所以在選擇參數(shù)初始值需要一定考慮，RP2與CP2用于描述擴(kuò)散現(xiàn)象，時間常數(shù)τ2需要設(shè)置大于τ1。我們選定在SOC為50%的情況下，進(jìn)行擬合參數(shù)。最終辨識結(jié)果如圖5所示。實(shí)驗(yàn)曲線與擬合曲線的誤差如圖6所示。

圖5 電池放電加載階段曲線擬合

辨識的結(jié)果如表1所示。

2.3 仿真與驗(yàn)證

針對已獲得的二階模型參數(shù)辨識結(jié)果，為了驗(yàn)證該結(jié)果的準(zhǔn)確性，文中采用matlab中的simulink搭建了二階Thevenin等效電路模型仿真模型，同時搭建了使用電子負(fù)載模型，使用PID調(diào)節(jié)電池電流的大小，從而達(dá)到恒流放電的目的。如圖6所示，模型中，Diode是為了使仿真正常運(yùn)行所加的二極管，其導(dǎo)通壓降為1e-4 V（可忽略不計），通過Current_con?trol控制可控負(fù)載達(dá)到恒流放電，二階Thevenin等效電路模型其余參數(shù)按照表1所示設(shè)置。

圖6 Uoc誤差曲線圖

表1 參數(shù)辨識結(jié)果

圖7 二階鋰電池Thevenin仿真模型

如圖7所示，通過以2 A恒流放電，驗(yàn)證鋰電池電量在SOC為50%的脈沖放電時刻下，實(shí)驗(yàn)得出的Uo與仿真的誤差。

從圖9中可以看出，在Uo為3.94，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真的最大誤差為時0.008 9 V，平均誤差0.006 9 V，模型精度較高。其誤差來源一為實(shí)驗(yàn)儀器存在測量精度誤差，同時二階模型不能完全模擬電池特性，所以存在一定誤差。

圖8 實(shí)驗(yàn)曲線與仿真曲線對比

圖9 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線與仿真曲線誤差曲線

3 結(jié)束語

文中針對鋰電池二階Thevenin等效電路模型，介紹了參數(shù)獲取的實(shí)驗(yàn)過程和針對模型中無法線性化的參數(shù)的辨識方法。采用梯度下降算法，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測量的數(shù)據(jù)，構(gòu)造了合理的目標(biāo)函數(shù)，通過遞歸性質(zhì)的逼近所設(shè)置的閾值，從而達(dá)到參數(shù)離線辨識的目的。本文為驗(yàn)證參數(shù)辨識精度，搭建了similink仿真模型，對比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)果表明最大誤差小于2%，所給出的辨識方案是有效的，同時辨識精度較高。適于有限量測數(shù)據(jù)情況下的電動汽車電池二階以上模型參數(shù)的離線辨識。

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