胡銀花 徐曉嶺

摘要：

在兩參數(shù)Weibull分布的基礎(chǔ)上，提出了一種取值于（-∞，+∞）上的非對稱三參數(shù)Weibull分布，研究了其密度函數(shù)的圖形特征，給出了該分布的數(shù)字特征，在全樣本場合下給出了參數(shù)的兩種矩估計(jì)和極大似然估計(jì)，并通過Monte-Carlo模擬考察了估計(jì)的精度.最后選取2016年1月4日至2016年5月6日上證綜指和深圳成指的數(shù)據(jù)，應(yīng)用非對稱三參數(shù)Weibull分布對中國股市大盤進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明非對稱三參數(shù)Weibull分布模型能夠較好地?cái)M合中國股市大盤的日收益率，同時(shí)還得到了相應(yīng)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì).

關(guān)鍵詞：

非對稱三參數(shù)Weibull分布; 形狀參數(shù); 刻度參數(shù); 矩估計(jì); 極大似然估計(jì); 股指收益率; KS檢驗(yàn)

中圖分類號： O 29文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1000-5137（2018）01-0011-11

The statistical analysis and application of asymmetric

three-parameter weibull distribution

Hu Yinhua， Xu Xiaoling*

（School of Statistics and Information，Shanghai University of International Business and Economics，Shanghai 201620，China）

Abstract：

On the basis of two-parameter Weibull distribution，we propose asymmetric three-parameter Weibull distribution which takes values in （-∞，+∞），and study its graphic features of the density function as well as the numerical characteristics of this distribution. In the full sample cases，we offer two moment estimation methods and MLE method to estimate the parameters of the distribution，and study the accuracy of our estimation by using the Monte-Carlo simulation.We choose data of Shanghai Composite Index and Shenzhen Component Index from Jan.4th，2016 to May 6th，2016，and apply the asymmetric three-parameter Weibull distribution model to carry out the empirical analysis on these two market indices of China.We show that the asymmetric three-parameter Weibull distribution model fits well the daily return of Chinese stock market index，and also get the point estimation for relevant parameters at the same time.

Key words：

asymmetric three-parameter Weibull distribution; shape parameter; scale parameter; moment estimation; MLE; index return; KS test

收稿日期： 2017-06-14

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（11671264）

作者簡介： 胡銀花（1992-），女，碩士研究生，主要從事數(shù)理金融統(tǒng)計(jì)方面的研究.E-mail：huyinhua_betty@163.com

*通信作者： 徐曉嶺（1965-），男，教授，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方面的研究.E-mail：xlxu@suibe.edu.cn

引用格式： 胡銀花，徐曉嶺.非對稱三參數(shù)Weibull分布的統(tǒng)計(jì)分析及其應(yīng)用 [J].上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，47（1）：11-21.

Citation format： Hu Y H，Xu X L.The statistical analysis and application of asymmetric three-parameter weibull distribution [J].Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences），2018，47（1）：11-21.

0引言

兩參數(shù)Weibull分布最早是由瑞典科學(xué)家、工程師威布爾于1939年在對材料斷裂強(qiáng)度進(jìn)行概率特性的描述時(shí)提出的，由于Weibull分布具備良好的性質(zhì)，它已經(jīng)和正態(tài)分布、指數(shù)分布和t分布等常用分布一樣，成為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域應(yīng)用最多的統(tǒng)計(jì)分布之一，并廣泛地應(yīng)用于產(chǎn)品可靠性、金融和保險(xiǎn)等領(lǐng)域.但是隨著科技發(fā)展和數(shù)據(jù)類型的豐富，經(jīng)典的Weibull分布不能很好地?cái)M合非單調(diào)風(fēng)險(xiǎn)率模型.鑒于此，有學(xué)者在Weibull分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一系列拓展分析，例如2000年，Sornette在文獻(xiàn)[1]中通過正態(tài)分布導(dǎo)出了一種修正的Weibull分布，并在文獻(xiàn)[2]中詳細(xì)地研究了該修正的Weibull分布的性質(zhì)，同時(shí)也指出了其在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用.

股票投資已成為人們投資的重要渠道之一，而收益率和波動率是股票投資的兩個(gè)重要衡量標(biāo)準(zhǔn)，研究收益率的分布特征是當(dāng)今學(xué)界的熱點(diǎn).通常人們認(rèn)為股指收益率的分布服從“尖峰、厚尾、非正態(tài)”，但具體服從哪一種或者哪幾種分布，學(xué)界尚無統(tǒng)一定論.1962年，Mandelbrot在文獻(xiàn)[3]中對包含“異常值” 的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)集進(jìn)行了研究，提出穩(wěn)定Paretian 分布模型，即股市收益率服從特征指數(shù)小于2的Paretian分布，并證明正態(tài)分布只是該模型的一個(gè)特例.2001年Therse在文獻(xiàn)[4]中，通過對極端股價(jià)運(yùn)動的分析，發(fā)現(xiàn)極值收益率服從Gumbel分布.2008年Chen在文獻(xiàn)[5]中引進(jìn)了半?yún)?shù)混合數(shù)據(jù)回歸模型，研究結(jié)果表明，市場消息和行業(yè)消息交互影響收益率的波動.2005年盧方元在文獻(xiàn)[6]中把修正Weibull分布模型應(yīng)用于中國股市，上證綜指和深圳成指的日收益率均能被較好地刻畫.2004年，余衛(wèi)軍和張新生在文獻(xiàn)[7]中提出了一種類似Weibull分布的函數(shù)并用來擬合上證指數(shù)收益率分布.2010年徐曉嶺等在文獻(xiàn)[8]中對上海股票市場進(jìn)行分析，采用幾種方法對股指對數(shù)收益率進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)收益率更接近于一種混合正態(tài)分布.2012年曾五一和劉飛在文獻(xiàn)[9]中，應(yīng)用非對稱拉普拉斯分布擬合滬深兩市股指日和周收益率數(shù)據(jù)，其研究結(jié)果表明：非對稱拉普拉斯分布能夠比正態(tài)分布更好地反映兩市股指的日、周收益率數(shù)據(jù)的尖峰、厚尾和偏態(tài)特征.2015年童光榮和李思維在文獻(xiàn)[10]中用P范分布對上證指數(shù)的日收益率進(jìn)行擬合.擬合結(jié)果表明P范分布能夠較好地刻畫收益率分布，為股市風(fēng)險(xiǎn)度提供了新的數(shù)據(jù)描述方法.

本文作者在兩參數(shù)Weibull分布的基礎(chǔ)上，提出了一種取值于（-∞，+∞）上的非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m），研究其密度函數(shù)的圖形特征，給出該分布的數(shù)字特征，在全樣本場合下給出了參數(shù)的兩種矩估計(jì)和極大似然估計(jì)，通過Monte-Carlo模擬考察了估計(jì)的精度，認(rèn)為針對參數(shù)m，β2，推薦使用極大似然估計(jì)，而針對β1推薦使用第二種矩估計(jì)，結(jié)果比較精確.并選取2016年1月4日至2016年5月6日上證綜指和深圳成指的數(shù)據(jù)，應(yīng)用非對稱三參數(shù)Weibull分布對中國股市大盤進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明非對稱三參數(shù)Weibull分布模型能夠較好地?cái)M合中國股市大盤日收益率，同時(shí)還得到了相應(yīng)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì).

1非對稱三參數(shù)Weibull分布及其特征

通常兩參數(shù)Weibull分布針對的是非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量，如果將其延拓至（-∞，+∞），則稱之為非對稱三參數(shù)Weibull分布.

定義1

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布，記為X～AW（β1，β2，m），其密度函數(shù)f（x）與分布函數(shù)F（x）分別為：

f（x）=

m（-x）m-1βm1+βm2e--xβ1m，x<0

mxm-1βm1+βm2e-xβ2m，x≥0

，F(xiàn)（x）=

βm1βm1+βm2exp--xβ1m，x<0

1-βm2βm1+βm2exp-xβ2m，x≥0

.

其中：m>0，為形狀參數(shù);β1>0，為第一刻度參數(shù);β2>0，為第二刻度參數(shù).

定理1

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布，即X～AW（β1，β2，m），則：

1） 當(dāng)m≤1時(shí)，f（x）在x<0上嚴(yán)格單調(diào)增加，在x>0上嚴(yán)格單調(diào)下降;

2） 當(dāng)m>1時(shí)，若x<-β1m-1m1/m時(shí)，f（x）嚴(yán)格單調(diào)增加;若-β1m-1m1/mβ2m-1m1/m時(shí)，f（x）嚴(yán)格單調(diào)下降.

證明

易見limx→-∞f（x）=limx→+∞f（x）=0，limx→0f（x）=+∞，m<1

1β1+β2，m=1

0，m>1，

f′（x）=

mβm1+βm2（-x）m-2exp--xβ1m1-m+m-xβ1m，x<0

mβm1+βm2xm-2exp-xβ1mm-1-mxβ2m，x≥0

.

在x<0場合，當(dāng)m≤1時(shí)，f′（x）>0，則f（x）嚴(yán)格單調(diào)增加;當(dāng)m>1時(shí)，若x<-β1m-1m1/m時(shí)，f′（x）>0，則f（x）嚴(yán)格單調(diào)增加;而若-β1m-1m1/m

在x>0場合，當(dāng)m≤1時(shí)，f′（x）<0，則f（x）嚴(yán)格單調(diào)下降;當(dāng)m>1時(shí)，若00，則f（x）嚴(yán)格單調(diào)增加;若x>β2m-1m1/m時(shí)，f′（x）<0，則f（x）嚴(yán)格單調(diào)下降.

定理2

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布，即X～AW（β1，β2，m），則：

1） E（Xk）=βm+k2+（-1）kβm+k1βm2+βm1Γ1+km，k=1，2，…;

2） 記Y=X，對y≥0有：

FY（y）=1-βm2βm1+βm2exp-yβ2m-βm1βm1+βm2exp-yβ1m，

fY（y）=mym-1βm1+βm2exp-yβ2m+mym-1βm1+βm2exp-yβ1m，

E（Xk）=βm+k2+βm+k1βm2+βm1Γ1+km，k=1，2，….

證明

1） 對k=1，2，…，有：

E（Xk）=∫0-∞xkm（-x）m-1βm1+βm2exp--xβ1mdx+∫+∞0xkmxm-1βm1+βm2exp-xβ2mdx

=（-1）kβm+k1βm1+βm2Γ1+km+βm+k2βm1+βm2Γ1+km=βm+k2+（-1）kβm+k1βm2+βm1Γ1+km.

2）記Y=X，對y≥0，

FY（y）=P（X≤y）=F（y）-F（-y）=1-βm2βm1+βm2exp-yβ2m-βm1βm1+βm2exp-yβ1m.

fY（y）=mym-1βm1+βm2exp-yβ2m+mym-1βm1+βm2exp-yβ1m.

E（Xk）=∫+∞0ykmym-1βm1+βm2exp-yβ2mdy+∫+∞0ykmym-1βm1+βm2exp-yβ1mdy

=βm+k2+βm+k1βm1+βm2Γ1+km.

特別地，

E（X）=βm+12-βm+11βm2+βm1Γ1+1m，E（X）=βm+12+βm+11βm2+βm1Γ1+1m，

E（X2）=E（X2）=βm+22+βm+21βm2+βm1Γ1+2m，

E（X3）=βm+32-βm+31βm2+βm1Γ1+3m，E（X3）=βm+32+βm+31βm2+βm1Γ1+3m.

2非對稱三參數(shù)Weibull分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

2.1參數(shù)的矩估計(jì)（方法一）

設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m）的一個(gè)容量為n的簡單隨機(jī)樣本，其對應(yīng)的樣本觀察值為x1，x2，…，xn.

記X—=1n∑ni=1Xi，X2=1n∑ni=1X2i，X3=1n∑ni=1X3i，X=1n∑ni=1Xi|，X3=1n∑ni=1Xi3，由矩估計(jì)思想可建立如下3個(gè)方程：

βm+12-βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X—，

βm+22+βm+21βm2+βm1Γ1+2m=X2，

βm+32-βm+31βm2+βm1Γ1+3m=X3，

上述涉及到一個(gè)三元的超越方程組，求其根是相當(dāng)困難的.

考慮到X的一階絕對矩，結(jié)合X的一階、二階矩，可建立如下3個(gè)方程：

βm+12-βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X—，βm+12+βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X，βm+22+βm+21βm2+βm1Γ1+2m=X2，

記a=β2/β1，則上述方程變形為：

am+1-1am+1β1Γ1+1m=X—，am+1+1am+1β1Γ1+1m=X，am+2+1am+1β21Γ1+2m=X2，

化簡得：

am+1-1am+1+1=X，am+1=X+X—X-X—，

（am+1-1）2（am+1）（am+2+1）Γ1+1m2Γ1+2m=X—2X2，Γ1+1m2Γ1+2m=X—2X2（am+1）（am+2+1）（am+1-1）2，

則

Γ1+1m2Γ1+2m-X—2X2X+X—X-X—m/（m+1）+1X+X—X-X—（m+2）/（m+1）+1X+X—X-X—-12=0，（1）

方程（1）為僅含形狀參數(shù)m的超越方程，從中可解得參數(shù)m的矩估計(jì)m^1，進(jìn)而得a的點(diǎn)估計(jì)為：a^1=X+X—X-X—1/（m^1+1），由此可得兩個(gè)刻度參數(shù)β1，β2的矩估計(jì)如下：

β^11=a^m^11+1a^m^1+11-1Γ1+1m^1-1X—=X-X—2（a^m^11+1）Γ1+1m^1-1，

β^21=X-X—2a^1（a^m^11+1）Γ1+1m^1-1.

下面討論方程（1）是否有唯一正根.

引理1

[10-11]Γ-函數(shù)具有如下性質(zhì)：

1） πΓ（2s）=22s-1Γ（s）Γs+12，s>0;

2） 當(dāng)s>τ0時(shí)，Γ（1+s）嚴(yán)格單調(diào)增加;當(dāng)s<τ0時(shí)，Γ（s）嚴(yán)格單調(diào)下降.其中τ0=0.4616321…;

3） [Γ（1+x）]2Γ（1+2x）是x的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù).

引理2

方程（1）左邊為參數(shù)m>0的函數(shù)，記為g1（m），則：

limm→+∞g1（m）=1-X2X2，limm→0+g1（m）=-X2+X—2X2.

證明

易得：

limm→+∞g1（m）=[Γ（1）]2Γ（1）-X—2X2X+X—X-X—+1X+X—X-X—+1X+X—X-X—-12=1-X2X2，

而

limm→0+X—2X2X+X—X-X—m/（m+1）+1X+X—X-X—（m+2）/（m+1）+1X+X—X-X—-12=X2+X—2X2.

由引理1可知：Γ1+1m2Γ1+2m=1m2Γ1m22mΓ2m=12mΓ1m21π22/m-1Γ1mΓ1m+12=π41/mm·Γ1mΓ1m+12，而當(dāng)m很小時(shí)，Γ1m是m的減函數(shù)，進(jìn)而有Γ1mΓ1m+12<1，由此Γ1+1m2Γ1+2m<π41/mm，而limm→0+π41/mm=πl(wèi)imx→+∞x4x=0，于是limm→0+g1（m）=-X2+X—2X2.

下面通過Monte-Carlo模擬考察函數(shù)g1（m）的單調(diào)性.

例1

給定樣本容量n=50，參數(shù)真值取為m=1，β1=1，β2=2，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生50個(gè)服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m），其隨機(jī)數(shù)如下：

-1.63，-1.50，-1.37，-1.09，-1.01，-0.95，-0.86，-0.74，-0.66，-0.63，

-0.58，-0.44，-0.27，-0.19，-0.12，-0.07，-0.03，0.046，0.110，0.110，0.169，0.190，

0.210，0.440，0.545，0.610，0.840，0.860，0.870，0.930，0.930，1.129，1.190，1.210，1.330，1.390，

1.460，1.720，2.070，2.440，2.890，3.110，3.350，4.000，4.200，7.310，7.840，8.000，8.580，11.80.

易見x—=1.395，x—2=9.909，x=1.880，及l(fā)imm→0+g1（m）=-0.5527，limm→+∞g1（m）=0.6435，函數(shù)g1（m）的圖像如圖1所示，從中可以發(fā)現(xiàn)g1（m）是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而方程g1（m）=0有唯一正實(shí)根，其根即為m的矩估計(jì)：m^=0.8300，于是可得參數(shù)β1，β2的矩估計(jì)分別為：β^11=0.7415，β^21=2.106.

圖1例1中函數(shù)g1（m）的圖像

注：針對不同的參數(shù)值與樣本容量，模擬產(chǎn)生服從非對稱三參數(shù)Weibull分布的隨機(jī)數(shù)，通過作圖發(fā)現(xiàn)函數(shù)g1（m）是m的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，且方程（1）有唯一正實(shí)根.

2.2參數(shù)的矩估計(jì)（方法二）

設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m）的一個(gè)容量為n的簡單隨機(jī)樣本，其對應(yīng)的樣本觀察值為x1，x2，…，xn.如考慮X的一階矩與絕對矩、X的三階矩與絕對矩，則可以建立如下矩方程組：

βm+12-βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X—

βm+12+βm+11βm2+βm1Γ1+1m=X

，

βm+32-βm+31βm2+βm1Γ1+3m=X3

βm+32+βm+31βm2+βm1Γ1+3m=X3

，

將上述方程組變形為：am+1-1am+1β1Γ1+1m=X—

am+1+1am+1β1Γ1+1m=X，am+3-1am+1β31Γ1+3m=X3

am+3+1am+1β31Γ1+3m=X3，

化簡得：

am+1-1am+1+1=X—X，am+1=X+X—X-X—，

am+3-1am+3+1=X3X3，am+3=X3+X3X3-X3，

由此得到a的點(diǎn)估計(jì)：a^2=X3+X3X3-X3X-X—X+X—，進(jìn)而得參數(shù)m，β1，β2的點(diǎn)估計(jì)：

m^2=（lna^2）-1lnX+X—X-X—-1，

β^12=a^m^22+1a^m^2+12-1Γ1+1m^2-1X—，β^22=a^2a^m^22+1a^m^2+12-1Γ1+1m^2-1X—.

需要指出的是，由于形狀參數(shù)m>0，方法二所得到的點(diǎn)估計(jì)m^2從理論上講不能保證m^2>0，為此取樣本容量n=10，20，50，參數(shù)m，β1，β2分別取不同的真值，通過10 000次Monte-Carlo模擬，統(tǒng)計(jì)其滿足m^2>0的次數(shù)，結(jié)果如表1所示.

表1矩估計(jì)二隨機(jī)數(shù)模擬檢驗(yàn)結(jié)果

由表1可以看到，方法二得到的m估計(jì)m^2，當(dāng)形狀參數(shù)m較小時(shí)，m^2很有可能小于0，也就是說方法二是不可行的;而當(dāng)m較大時(shí)，m^2大于0的可能性增大，此時(shí)方法二是可行的.

例2

給定樣本容量n=50，參數(shù)真值取為m=2，β1=1，β2=2，通過Monte-Carlo模擬再產(chǎn)生50個(gè)服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m），其隨機(jī)數(shù)如下：

-1.61，-1.52，-1.37，-1.23，-1.02，-0.83，-0.69，-0.47，-0.43，0.375，

0.040，0.049，0.690，0.755，0.822，0.876，0.963，0.994，1.180，1.182，

1.248，1.298，1.399，1.500，1.560，1.584，1.603，1.638，1.725，1.739，

1.739，1.779，1.921，2.002，2.021，2.072，2.122，2.135，2.300，2.363，

2.399，2.905，3.035，3.136，3.262，3.267，3.752，3.812，3.977，4.196.

易得：x—=1.365，x3=10.59，x=1.732，x3=11.16，進(jìn)而可得：

m^=1.831，β^12=1.027，β^22=2.181.

2.3參數(shù)的極大似然估計(jì)（方法三）

設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m）的一個(gè)容量為n的簡單隨機(jī)樣本，其對應(yīng)的樣本觀察值為x1，x2，…，xn.次序統(tǒng)計(jì)量記為X（1），X（2），…，X（n），對應(yīng)的次序觀察值記為x（1），x（2），…，x（n）.而在x（1），x（2），…，x（n）中前r個(gè)次序觀察值小于0，后n-r個(gè)不小于0.

似然函數(shù)為：

L（β1，β2，m）=n！∏ri=1mβm1+βm2（-x（i））m-1exp--x（i）β1m∏nj=r+1mβm1+βm2xm-1（j）exp-x（j）β2m

=n！mn（βm1+βm2）-n∏ri=1（-x（i））m-1exp--x（i）β1m∏nj=r+1xm-1（j）exp-x（j）β2m

對數(shù)似然函數(shù)：

lnL（β1，β2，m）=lnn！+nlnm-nln（βm1+βm2）+（m-1）∑ri=1ln（-x（i））

+（m-1）∑nj=r+1lnx（j）-∑ri=1-x（i）β1m-∑nj=r+1x（j）β2m.

令lnL（β1，β2，m）β1=0，lnL（β1，β2，m）β2=0，lnL（β1，β2，m）m=0，得3個(gè)方程：

-nmβm-11βm1+βm2+mβm+11∑ri=1（-x（i））m=0，-nmβm-12βm1+βm2+mβm+12∑nj=r+1xm（j）=0，

nm-nβm1lnβ1+βm2lnβ2βm1+βm2+∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）-∑ri=1-x（i）β1mln-x（i）β1

-∑nj=r+1x（j）β2mlnx（j）β2=0.

則有：

a2m=∑nj=r+1xm（j）∑ri=1（-x（i））m，nβm1=∑ri=1（-x（i））m+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j），

同理

nβm2=∑nj=r+1xm（j）+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j），

則：

nm-nβm1lnβ1+βm2lnβ2βm1+βm2+∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）

+1nβm1∑ri=1（-x（i））mln（-x（i））+1nβm2∑nj=r+1xm（j）lnx（j）-1m=1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j），

即

∑ri=1（-x（i））mln（-x（i））∑ri=1（-x（i））m+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j）+∑nj=r+1xm（j）lnx（j）∑nj=r+1xm（j）+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j）-1m

-1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）=0.

（2）

方程（2）是僅含參數(shù)m的超越方程，從中可以解得參數(shù)m極大似然估計(jì)m^3，進(jìn)而有：

β^13=1n∑ri=1（-x（i））m^3+∑ri=1（-x（i））m^3∑nj=r+1xm^3（j）1/m^3，

β^23=1n∑nj=r+1xm^3（j）+∑ri=1（-x（i））m^3∑nj=r+1xm^3（j）1/m^3.

引理3

方程（2）存在正實(shí)根.

證明

方程（2）的左邊為參數(shù)m>0的函數(shù)，記為g2（m）.

不妨設(shè)x（1）

易見

limm→0+∑ri=1（-x（i））mln（-x（i））∑ri=1（-x（i））m+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j）+∑nj=r+1xm（j）lnx（j）∑nj=r+1xm（j）+∑ri=1（-x（i））m∑nj=r+1xm（j）

=1r+r（n-r）∑ri=1ln（-x（i））+1n-r+r（n-r）∑nj=r+1lnx（j），

則

limm→0+g2（m）=-∞，

limm→+∞g2（m）=∑ri=1（-x（i））m（-x（1））mln（-x（i））∑ri=1（-x（i））m（-x（1））m+∑ri=1（-x（i））m（-x（1））m∑nj=r+1xm（j）（-x（1））m

+∑nj=r+1xm（j）xm（n）lnx（j）∑nj=r+1xm（j）xm（n）+∑ri=1（-x（i））mxm（n）∑nj=r+1xm（j）xm（n）-1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）.

若x（n）>-x（1），則

limm→+∞g2（m）=lnx（n）-1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）

=1n∑ri=1[lnx（n）-ln（-x（i））]+∑nj=r+1[lnx（n）-lnx（j）]>0，

若x（n）<-x（1），則

limm→+∞g2（m）=ln（-x（1））-1n∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）

=1n∑ri=1[ln（-x（1））-ln（-x（i））]+∑nj=r+1[ln（-x（1））-lnx（j）]>0.

由此可知方程（2）存在正實(shí)根.

下面通過Monte-Carlo模擬算例說明方程（2）存在唯一正實(shí)根.

例3

給定樣本容量n=20，參數(shù)真值取為m=1，β1=1，β2=2，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生20個(gè)服從非對稱三參數(shù)Weibull分布AW（β1，β2，m），其隨機(jī)數(shù)從小到大排序如下：

-3.74，-1.66，-0.78，-0.69，-0.30，0.172，0.176，0.560，0.642，0.674，

0.753，1.069，2.306，2.465，2.793，2.833，3.058，3.479，3.932，5.358.

由于r=5，x（20）>-x（1），1n[∑ri=1ln（-x（i））+∑nj=r+1lnx（j）]=0.2025，而limm→0g2（x）=-∞，limm→+∞g2（x）=1.473，函數(shù)g（m）的圖像如圖2所示，從中可得g2（m）為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而方程g2（m）=0有唯一正實(shí)根，其根即為m的極大似然估計(jì)m^=1.220，于是可得參數(shù)β1，β2的極大似然估計(jì)為：β^13=1.254，β^23=2.328.

圖2例3中函數(shù)g2（m）圖像

注：針對不同的參數(shù)值與樣本容量，模擬產(chǎn)生服從非對稱三參數(shù)Weibull分布的隨機(jī)數(shù)，通過作圖發(fā)現(xiàn)函數(shù)g2（m）是m的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，而且方程（2）有唯一正實(shí)根.

2.4參數(shù)估計(jì)的模擬比較

給定樣本容量n=20，25，參數(shù)真值取為m=1，β1=1，β2=1，通過1 000次Monte-Carlo模擬，用方法一、二、三得到相應(yīng)的點(diǎn)估計(jì)的均值與均方誤差（方法二的估計(jì)存在的情形下），結(jié)果如表2所示，從中可以看到：隨著所取樣本容量的增加，參數(shù)m，β1，β2估計(jì)的均方誤差呈下降趨勢，也即參數(shù)的估計(jì)越來越精確，在給定樣本容量下通過比較點(diǎn)估計(jì)的均方誤差，形狀參數(shù)m的點(diǎn)估計(jì)推薦使用方法三，第一刻度參數(shù)β1的點(diǎn)估計(jì)推薦使用方法二，而第二刻度參數(shù)β2的點(diǎn)估計(jì)推薦使用方法三.

表23種點(diǎn)估計(jì)的模擬比較

3應(yīng)用（股指收益率的實(shí)證分析）

3.1數(shù)據(jù)描述及參數(shù)估計(jì)

選取的數(shù)據(jù)來自同花順軟件公布的2016年1月4日至5月6日的上證綜合指數(shù)和深圳成份指數(shù)，擬合的是日收益率，收益率采用的是對數(shù)收益率即ri=lnPi-lnPi-1，其中，ri為股指收益率，Pi為當(dāng)日股票的收盤價(jià)，pi-1為前一天股票的收盤價(jià).

3.1.1上證綜合指數(shù)參數(shù)估計(jì)（方法二的點(diǎn)估計(jì)不存在）

點(diǎn)估計(jì)方法一：由于x=0.015439，x—=-0.002345，x—2=0.000504，可解得形狀參數(shù)m的點(diǎn)估計(jì)為：m^1=0.95，進(jìn)而得參數(shù)β1，β2的點(diǎn)估計(jì)為：β^11=0.0162，β^12=0.014.

點(diǎn)估計(jì)方法三：采用極大似然估計(jì)得到的參數(shù)m的估計(jì)為：m^3=0.66，進(jìn)而得到參數(shù)β1，β2的估計(jì)為：β^13=0.016，β^23=0.007.

3.1.2深圳成分指數(shù)參數(shù)估計(jì)（方法二的點(diǎn)估計(jì)不存在）

點(diǎn)估計(jì)方法一：由于x=0.019706，x—=-0.00273，x—2=0.000758，可解得形狀參數(shù)m的點(diǎn)估計(jì)為：m^1=1.03，進(jìn)而得參數(shù)β1，β2的點(diǎn)估計(jì)為：β^11=0.0212，β^12=0.0185.

點(diǎn)估計(jì)方法三：采用極大似然估計(jì)得到的參數(shù)m的估計(jì)為：m^3=1.05，進(jìn)而得到參數(shù)β1，β2的估計(jì)為：β^13=0.021，β^23=0.019.

3.2擬合檢驗(yàn)

采用柯爾莫哥洛夫—斯米爾洛夫擬合檢驗(yàn)，分別對上證綜指和深圳成指的非對稱三參數(shù)Weibull分布模型進(jìn)行擬合檢驗(yàn)（參數(shù)估計(jì)采用方法三，即極大似然估計(jì)），針對上證指數(shù)，檢驗(yàn)的p值為0.2388，而針對深圳成指，檢驗(yàn)的p值為0.1183，檢驗(yàn)的p值均大于0.05，即說明非對稱三參數(shù)Weibull分別模型能夠較好地?cái)M合2016年1月4日至2016年5月6日上證綜指的深圳成指收益率的分布.

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