王清波 寧靜 葉運廣 陳春俊

摘要：為建立裂紋結構動力響應與裂紋參數(shù)之間的解析關系從而對齒輪箱裂紋進行有效識別，提出一種可替代原有高精度分析模型的計算量小且計算精度較高的基于代理模型的裂紋識別方法。利用初始樣本通過有限元與插值算法建立裂紋結構參數(shù)與動力響應之間的Kriging代理模型對應關系，從而代替原有的物理參數(shù)模型與結構響應關系，有效減少有限元計算次數(shù)，并通過隨機粒子群優(yōu)化方法對建立的代理模型進行全局裂紋參數(shù)尋優(yōu)。通過一個懸臂梁結構的數(shù)值算例，對所提方法進行有效驗證，并將該方法應用到某高速列車齒輪箱的裂紋識別中，結果表明該方法能夠有效地對結構裂紋進行識別。

關鍵詞：高速列車齒輪箱；裂紋識別；Kriging代理模型；隨機粒子群優(yōu)化算法

0引言

作為高速列車核心部件之一的齒輪箱，其結構復雜，箱體呈非對稱、非均勻結構，安裝在列車轉向架上，受多方面的約束，其動力學振動特征主要受輪軌耦合激擾影響。在高速列車運行過程中，由于輪軌問的非線性耦合，導致齒輪箱承受復雜的交變應力，極有可能產(chǎn)生異常振動，從而出現(xiàn)局部損傷，危及高速列車運行的安全性和可靠性。我國某高速動車組在實際運行20～30萬公里后，在某齒輪箱箱體上出現(xiàn)了裂紋故障，嚴重威脅到高速動車組的運營安全。裂紋作為一種重要的結構損傷形式，如何對裂紋的產(chǎn)生進行及時有效的判斷和識別，并對其進行實時監(jiān)測，對保證齒輪箱的正常運作具有重要意義。

高速列車齒輪箱產(chǎn)生裂紋后會改變其動力學特性，通過基于有限元模型修正的結構損傷識別方法分析齒輪箱模態(tài)參數(shù)的變化，明確模態(tài)參數(shù)隨裂紋參數(shù)的變化規(guī)律，可以有效識別裂紋所在位置。Fan等對基于模態(tài)分析的裂紋識別方式進行了詳細總結。

由于基于有限元模型修正的結構損傷識別方法對齒輪箱單一裂紋位置、長度等參數(shù)識別時，需要基于較為精確的初始有限元模型并進行大量的樣本訓練和長時間的計算模擬，再加上有限元計算過程中隱含的大量計算和分析誤差及不確定性，導致識別效率很低。

代理模型作為一種對離散數(shù)據(jù)利用近似技術進行回歸或插值的數(shù)學模型，其主要以擬合精度或預測能力為約束，且通過已知樣本點直接構造齒輪箱裂紋參數(shù)和箱體動態(tài)響應之間的對應關系，從而代替復雜、費時的有限元計算過程。

近年來，代理模型在工程實踐中被越來越廣泛地應用，Wangt$、Forrester和Simpson等較為全面地介紹了代理模型技術及其在工程中的應用；Gorissen詳細研究了計算機輔助建模中的代理模型技術，開發(fā)了能夠用于Matlab下的工具箱，為該技術在工程中的應用提供了開發(fā)工具。根據(jù)響應逼近函數(shù)形式的不同，代理模型建模方法主要包括Kriging函數(shù)法、多項式響應面法、徑向基函數(shù)法和神經(jīng)網(wǎng)絡法等。

由于Kriging代理模型能夠充分考慮樣本點在空間中的相關特性，能夠以少量的樣本點結合模型本身所具有的全局和局部的統(tǒng)計特性，預測出未知樣本點的趨勢和信息，使其在解決非線性程度較高的問題時，Kriging代理模型能夠取得較好的擬合效果。Noel闡述了Kriging技術類似于一種半?yún)?shù)化的插值技術，利用相關函數(shù)作用，模擬出高維空間，且無需建立特定的數(shù)學模型，應用就比多項式響應面法更加的靈活和方便。Kaymaz提出Kriging代理模型樣本點的獲取方式，可以對結構可靠性問題較常用的基于最小二乘法的響應面法獲得更好的結果。Kleijnen闡述了如何預測Kriging模型的真實方差，并通過Kriging模型進行靈敏度分析和仿真模型優(yōu)化。Nobari等針對剎車系統(tǒng)的嘯叫問題，提出通過構造代理模型來量化不穩(wěn)定嘯叫的不確定性，并通過代理模型對剎車系統(tǒng)進行設計、可靠性分析與優(yōu)化。然而，目前Kriging代理模型在裂紋識別領域，尤其是在實際工程應用中的研究還很少。

基于此，本文將Kriging代理模型應用到高速列車齒輪箱的裂紋識別中，通過代理模型代替原有的有限元模擬仿真，簡化復雜冗長的有限元計算過程，有效提高裂紋識別效率。

1 Kriging代理模型

代理模型主要由取樣策略和近似方法兩部分組成，其中取樣策略用于選取構造模型的樣本點；近似方法作為代理模型的主體，主要用于數(shù)據(jù)擬合和預測模型的建立。

1.1參數(shù)化有限元模型及抽樣設計

本文使用有限元方法來模擬裂紋系統(tǒng)結構。在不考慮裂紋擴展的情況下，首先根據(jù)設計需要確定設計變量，用以表征裂紋結構中裂紋位置與深度，再根據(jù)其變化范圍構建設計空間，在設計空間中進行抽樣設計，生成合理數(shù)量級的規(guī)范化樣本參數(shù)值，并將其轉化成相應的實際設計變量參數(shù)值。然后根據(jù)抽樣樣本構建模型并進行有限元仿真計算，根據(jù)需要確定響應變量，從而建立設計變量與結構響應之間的對應關系，以此用以構建Kriging代理模型。

抽樣設計采用拉丁超立方體抽樣法選取樣本點。拉丁超立方體抽樣的本質是一種多維分層抽樣方法。作為一種與均勻設計類似的抽樣方法，其樣本點均勻且隨機，能夠充滿整個設計空間，適用于影響因素較多的情況，廣泛應用于計算機仿真實驗設計，可顯著減少實驗規(guī)模。

拉丁超立方體抽樣在抽樣效果上作為一種蒙特卡羅方法的改進，其主要原理是根據(jù)各輸入變量及其定義域范圍，采用等概率分層抽樣產(chǎn)生各變量的隨機數(shù)樣本。假設抽樣實驗中有n個變量，需抽取m個樣本，即要在n維向量空間中抽取m個樣本，其抽樣步驟為：將每一維空間分割成獨立的m個等概率區(qū)間，整個設計空間被分割成m個獨立區(qū)間：在生成的每個區(qū)間中隨機抽取一個點，產(chǎn)生nXm的矩陣M，且M的每一列均為{1，2，…，n}的隨機全排列；在每一維中隨機抽取矩陣M的列向量中的一個樣本點，將它們組成1xm的向量q，即產(chǎn)生m個樣本點。

1.2 Kriging代理模型運算

Kriging代理模型是一種以已知樣本信息的相關性為基礎，根據(jù)方差最小準則，對未知樣本信息進行預測的插值技術。模型主要由全局回歸模型和隨機相關函數(shù)組成。設樣本點組X=[X₁X₂，…X_n]對應的響應值為Y=[y（x₁），y（x₂），…，y（x_n）}，則Kriging代理模型關于某一未知點x的響應值和自變量之間的關系式為

因此，確定某一未知點x的裂紋參數(shù)后，可通過Kriging代理模型預測其對應響應值為

2基于Kriging代理模型的裂紋識別步驟

結構體出現(xiàn)裂紋損傷后會減小結構局部剛度，改變其動力學特性，使結構固有頻率下降。一般通過分析其模態(tài)參數(shù)的變化可以識別裂紋所在位置，模態(tài)參數(shù)主要包括頻率、振型和阻尼。

在每一次設置裂紋參數(shù)后，都要對新的裂紋模型進行有限元分析。一般為了精確描述裂紋結構的動力學特性，需要進行大量的裂紋有限元重構，因此直接建立反映裂紋參數(shù)與裂紋動態(tài)響應之間關系的Kriging代理模型用來代替復雜費時的有限元計算很有必要。

建立裂紋結構Kriging代理模型后，裂紋識別可轉化為目標尋優(yōu)問題，即在已知實際動力響應的情況下，尋求其在代理模型中所對應的一組滿足目標函數(shù)的裂紋參數(shù)，從而達到裂紋識別的目的。尋優(yōu)算法主要通過隨機粒子群優(yōu)化算法來實現(xiàn)。目標函數(shù)表示為

因此，裂紋識別作為結構動力學的逆問題，就轉化為Kriging代理模型和隨機粒子群算法的有機結合，即在代理模型所構建的響應面內(nèi)根據(jù)結構參數(shù)與動力響應之間的對應關系，搜尋實測響應所對應的裂紋參數(shù)，從而達到識別目的。

基于Kriging代理模型的裂紋識別具體步驟為

1）根據(jù)裂紋特性，選取能夠描述裂紋位置的參數(shù)，將其作為設計變量并確定設計空間。

2）通過拉丁超立方體抽樣選取樣本點，利用三維軟件生成不同樣本點所對應裂紋結構模型，并通過有限元仿真計算出相應裂紋狀況下的結構動力響應。

3）應用這些樣本點和所對應的響應值構建Kriging代理模型，得到裂紋參數(shù)與結構動力響應之間的對應關系。

4）另選取少量樣本點對比其實際計算結構響應與Kriging代理模型計算結果之間的誤差，驗證Kriging代理模型的計算精度。若不滿足精度要求，通過加點準則對代理模型進行修正。

5）將待識別裂紋結構的實測動力響應帶人Kriging代理模型，利用隨機粒子群優(yōu)化算法在約束區(qū)域內(nèi)搜尋最優(yōu)解，從而求得實測動力響應所對應的裂紋參數(shù)。

為驗證此裂紋識別方法的有效性，先通過一個數(shù)值算例進行驗證，然后將該方法應用到某高速列車齒輪箱的裂紋識別研究中。3數(shù)值算例

懸臂梁結構示意圖如圖1所示，其長度為0.5m，高度為0.02m，材料密度為7 850kg/m3，彈性模量為210GPa，泊松比為0.3。由于模型較為簡單，直接通過Abaqus建立有限元模型。

假設懸臂梁上有一裂紋，參數(shù)a=VL和β=h/H分別代表裂紋在梁上的無量綱位置和深度，即確定設計變量a和β，其取值范圍分別為0

采用拉丁超立方體抽樣在設計空間中抽取20組裂紋參數(shù)作為樣本點，并通過建立裂紋有限元模型計算相應樣本點所對應的裂紋結構響應，裂紋的結構響應主要為結構的模態(tài)頻率與模態(tài)振型。

利用抽樣所得的20組裂紋樣本和其所對應的前4階模態(tài)頻率構建裂紋參數(shù)與結構響應之間的Kriging代理模型，代理模型響應面如圖2所示。

為驗證Kriging代理模型識別裂紋的有效性，假定4種裂紋工況，通過有限元計算各自對應結構響應，將其作為裂紋工況結構動力響應實測值。使用隨機粒子群優(yōu)化算法對目標函數(shù)進行尋優(yōu)，從而得到預測響應以及其所對應的裂紋參數(shù)。各裂紋工況的真實值與識別結果如表1所示。

從表中可以看出.4種工況中識別結果和真實值誤差較小，K6ging代理模型能夠在較為理想化的懸臂梁數(shù)值算例中較好地實現(xiàn)裂紋識別。因此，該數(shù)值算例證明了Kriging代理模型在裂紋識別中的有效性，能夠將其應用到高速列車齒輪箱的裂紋識別中。

4高速列車齒輪箱裂紋識別

某高速列車齒輪箱有限元模型如圖3所示，箱體材料為鑄造鋁合金，材料密度為2.7x10kg/m3，彈性模量為75 GPa，泊松比為0.3。

假設箱體表面有一裂紋，且裂紋平面與軸心在同一平面上，參數(shù)a、和β'分別表示裂紋在軸心所在圓上的方位、橫向寬度和縱向深度。結合大量線路振動和動力學實驗，某高速列車齒輪箱箱體端部容易出現(xiàn)裂紋故障，考慮齒輪箱結構與有限元計算的復雜程度，假設裂紋只在箱體端部出現(xiàn)，且裂紋尖端位置在橫向上不超過箱體輸出軸軸孔，裂紋縱向深度不超過箱體厚度的一半，則其取值范圍分別為（244°<0<345°）、（0

在構建的變量設計空間中，通過拉丁超立方體抽樣抽取22組樣本，利用Abaqus分別建立齒輪箱裂紋模型，進行有限元計算，得到各裂紋樣本所對應的結構響應，基于此建立齒輪箱裂紋參數(shù)與第9～12階模態(tài)頻率（各裂紋模型前8階模態(tài)頻率變化很小）之間的Kriging代理模型。

由于實驗條件的限制，無法在高速列車齒輪箱箱體上設置真實裂紋來進行裂紋識別。因此在不斷改進和模擬箱體模型使之達到近似高精度模型且與其有相同模態(tài)頻率的的基礎上，在此箱體模型上設置4種裂紋工況，將其假設為真實裂紋。

通過對4種裂紋工況模型進行有限元計算，獲得各自所對應的裂紋結構動態(tài)響應，將其假設為高速列車齒輪箱箱體上真實存在裂紋所對應的結構動態(tài)響應。然后將此動態(tài)響應帶入建立的Kriging代理模型中，使用隨機粒子群優(yōu)化算法進行優(yōu)化識別，從而識別出此動態(tài)響應在Kriging代理模型中所對應的裂紋參數(shù)。通過對比識別出的裂紋參數(shù)和原始的真實裂紋參數(shù)之間的差異，從而確定Kriging代理模型的裂紋識別精度。裂紋參數(shù)真實值與識別結果如表2所示。

可以看出，隨裂紋橫向寬度和縱向深度的變化，裂紋越小，識別精度越低，且最大識別誤差有達到10%左右。但考慮到高速列車齒輪箱結構非對稱、非均勻、高度復雜的情況，以及裂紋識別中樣本選取和有限元計算中各種誤差的干擾，且大部分識別誤差都保持在5%以下，因此Kriging代理模型對高速列車齒輪箱裂紋識別依然有很好的指導作用。

5結束語

針對高速列車齒輪箱在列車運行狀態(tài)下容易發(fā)生異常振動，很有可能出現(xiàn)局部損傷，本文從裂紋識別的角度出發(fā)，通過建立高速列車齒輪箱箱體裂紋的Kriging代理模型來對箱體裂紋進行識別。結論如下：

1）使用Kriging代理模型建立裂紋參數(shù)與結構動力響應之間的關系，可以代替原有的各種裂紋參數(shù)與其結構動力響應之間的對應關系，大量減少有限元計算，提高裂紋識別效率。

2）Kriging代理模型能夠對高速列車齒輪箱箱體裂紋進行有效識別，且具有較高的識別精度，具有較高的工程應用價值。

由于實驗條件的限制，本文只能在仿真模型的基礎上對高速列車齒輪箱進行裂紋識別的分析，對于Kriging代理模型在列車實際運行和多裂紋情況下的齒輪箱裂紋識別還需進一步研究。