翟新婷，張曉晨，江柱錦，李鶯鶯，張 強(qiáng)，王繼新※

（1. 吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130025；2. 天津工程機(jī)械研究院，天津 300384；3. 廣西柳工機(jī)械股份有限公司，柳州 545000）

0 引 言

載荷譜是零部件疲勞分析的基礎(chǔ)[1-3]。由于載荷譜測(cè)試耗時(shí)耗力，只能通過(guò)外推的方法將有限時(shí)間內(nèi)的測(cè)試載荷譜外推至全壽命周期載荷譜[4-5]。傳統(tǒng)的載荷譜編制方法采用雨流計(jì)數(shù)[6-7]對(duì)測(cè)得的載荷-時(shí)間歷程進(jìn)行處理，得到均、幅值載荷及其循環(huán)頻次，進(jìn)行頻次外推和合成等統(tǒng)計(jì)學(xué)處理。

在編制過(guò)程中，通常采用正態(tài)分布對(duì)均值載荷及其作業(yè)頻次進(jìn)行擬合，威布爾分布對(duì)幅值載荷及其作業(yè)頻次進(jìn)行擬合?；谏鲜鰡畏植?，陳東升等[8]建立了軍用車輛傳動(dòng)系零件載荷譜；劉永臣等[9]建立了裝載機(jī)傳動(dòng)系載荷譜；張英爽等[10]建立了工程車輛傳動(dòng)系后法蘭載荷譜；高云凱等[11]提出了簡(jiǎn)化加速車身臺(tái)架疲勞試驗(yàn)程序載荷譜的編譜方法。上述文獻(xiàn)中的載荷數(shù)據(jù)均通過(guò)對(duì)應(yīng)分布的擬合檢驗(yàn)，對(duì)具有單峰載荷特征的載荷譜編制具有重要意義。而農(nóng)用拖拉機(jī)、裝載機(jī)等非道路車輛的作業(yè)工況是復(fù)雜多變的，導(dǎo)致其承受的載荷隨機(jī)多變，并呈現(xiàn)單峰、多峰等形式?；趩畏植嫉妮d荷譜編制時(shí)，當(dāng)載荷呈單峰分布時(shí)，可能存在擬合檢驗(yàn)不通過(guò)的現(xiàn)象；而呈多峰分布時(shí)，很難充分反映多峰分布的特征，影響載荷數(shù)據(jù)的擬合效果，上述問(wèn)題的存在直接影響載荷的外推和合成。為解決上述問(wèn)題，獲得更加符合實(shí)際作業(yè)工況的載荷譜，其關(guān)鍵在于載荷分布的確定。混合分布具備多個(gè)分布組合的優(yōu)勢(shì)，能夠有效提升載荷分布的擬合效果，從而彌補(bǔ)單分布擬合上的不足。

本文以輪式裝載機(jī)為例，研究其測(cè)試及作業(yè)段劃分方法，在傳統(tǒng)編制方法的基礎(chǔ)上提出一種基于混合分布的載荷譜編制方法，可為疲勞設(shè)計(jì)提供數(shù)據(jù)參考。

1 函數(shù)擬合模型介紹

假設(shè)混合總體的樣本來(lái)自 c個(gè)不同統(tǒng)計(jì)特性的分布函數(shù)，則其概率密度函數(shù)表達(dá)式為[12-13]

式中 f(x|c,λ,θ)為混合概率密度函數(shù)；fj(x|θj)為第 j個(gè)子分布函數(shù)的概率密度函數(shù)；c為子分布函數(shù)的個(gè)數(shù)；θ為各分布函數(shù)的參數(shù)集合；λj為各子分布函數(shù)的權(quán)重系數(shù)，且滿足

對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)為：

當(dāng)c=1時(shí)，上述分布函數(shù)即為單分布函數(shù)的表達(dá)式。

2 測(cè)試半軸載荷數(shù)據(jù)分段

本試驗(yàn)選取 ZL50CN型輪式裝載機(jī)，選定特性一致的石子為物料操作對(duì)象，采用“V”型作業(yè)模式，每一斗的工作循環(huán)由“空載前進(jìn)”、“鏟掘”、“滿載后退”、“滿載前進(jìn)”、“卸料”、“空載倒退”6個(gè)作業(yè)段組成[14]，如圖1所示，裝載機(jī)的行走路線呈“V”型。此外，在作業(yè)過(guò)程中，盡量保證料堆高度、寬度以及“V”型路線的統(tǒng)一。

圖1 輪式裝載機(jī)“V”型作業(yè)模式Fig.1 V-shaped operation modes of wheel loader

輪式裝載機(jī)循環(huán)作業(yè)過(guò)程為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，通常認(rèn)為相同作業(yè)段滿足平穩(wěn)性假設(shè)[10]，因此，有必要對(duì)裝載機(jī)的作業(yè)載荷進(jìn)行作業(yè)段劃分。裝載機(jī)載荷作業(yè)段劃分的關(guān)鍵是明確各作業(yè)段裝載機(jī)的動(dòng)作特征、確定相鄰作業(yè)段之間的分界點(diǎn)。半軸是輪式裝載機(jī)行走系統(tǒng)的重要組成部分，其疲勞失效影響整機(jī)的可靠性[15]。本文基于車速、鏟斗缸位移數(shù)據(jù)，對(duì)半軸扭矩載荷進(jìn)行作業(yè)段劃分。由于裝載機(jī)在V6、V1段之間，以及V3、V4段之間的轉(zhuǎn)換是倒退-前進(jìn)的動(dòng)作，裝載機(jī)行駛方向發(fā)生變化，車速表現(xiàn)為先減速再增速的變化過(guò)程，因此根據(jù)車速得到V6、V1和V3、V4的分界點(diǎn)。然后，依據(jù)鏟斗缸位移變化數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)得到V5段，這是因?yàn)閳?zhí)行V5段時(shí)，鏟斗缸從最大位移處收縮至最小位移處。最后，由于裝載機(jī)鏟掘作業(yè)時(shí)所受載荷大且波動(dòng)劇烈，因此將半軸扭矩波動(dòng)較大且密集的數(shù)據(jù)段作為V2段。作業(yè)段劃分示意圖見(jiàn)圖2。

根據(jù)作業(yè)段劃分需求，確定半軸扭矩、鏟斗缸位移及車速為待測(cè)數(shù)據(jù)，圖3為待測(cè)件及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。

試驗(yàn)中采用SoMat eDAQ多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)同步采集，采用BF350-5HA型應(yīng)變片組成全橋電路，利用 285系列數(shù)碼遙測(cè)系統(tǒng)的發(fā)射器與接收器共同作用實(shí)現(xiàn)半軸扭矩信號(hào)的發(fā)射和接收。針對(duì)油缸數(shù)據(jù)，通過(guò)HPS-L1-30-V5傳感器測(cè)得位移數(shù)據(jù)。此次測(cè)試系統(tǒng)采用GPS定位實(shí)現(xiàn)裝載機(jī)路徑監(jiān)控，從而得到裝載機(jī)的行駛車速數(shù)據(jù)?？紤]到裝載機(jī)的作業(yè)模式和載荷特點(diǎn)，連續(xù)完成100個(gè)工作循環(huán)并進(jìn)行試驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄。

圖2 作業(yè)段劃分示意圖Fig.2 Schematic of section division

圖3 待測(cè)件及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)Fig.3 Measured components and acquisition system

將測(cè)得的數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)濾波、降噪處理。選用“db3”小波基函數(shù)，小波分解層數(shù)為 3，Penalty閾值對(duì)裝載機(jī)的右后半軸扭矩載荷數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理[16-17]，圖 4為處理后的扭矩?cái)?shù)據(jù)。

圖4 濾波降噪后的扭矩?cái)?shù)據(jù)Fig.4 Torque data after filtering and noise reduction

3 半軸實(shí)測(cè)載荷參數(shù)法外推

在測(cè)試過(guò)程中，測(cè)得的是扭矩信號(hào)，此處根據(jù)應(yīng)力扭矩轉(zhuǎn)換公式（4），將扭矩載荷轉(zhuǎn)換為應(yīng)力載荷

式中Wp=16為抗扭截面系數(shù)；ds=54 mm為半軸直徑；M為半軸所受扭矩，Nm。

3.1 均幅值載荷獨(dú)立性檢驗(yàn)

將分段后的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)折點(diǎn)提取，采用雙參數(shù)雨流計(jì)數(shù)法，將數(shù)值小于隨機(jī)載荷歷程極差 10%的小載荷進(jìn)行刪除，得到載荷的均、幅值及其頻次信息。

均、幅值載荷分布估計(jì)的目的是為了進(jìn)行極值和頻次外推。首先要對(duì)載荷的均、幅值的獨(dú)立性進(jìn)行檢驗(yàn)[18]。根據(jù) Fisher定理，若均、幅值相互獨(dú)立，則服從自由度為(r-1)(s-1)的 χ2分布[11,19]，見(jiàn)式（5）。

式中 k為各作業(yè)段樣本長(zhǎng)度；r、s為幅值和均值劃分的等級(jí)數(shù)，構(gòu)成s×r階向量，即雨流矩陣向量；ki為幅值在第i級(jí)的頻次數(shù)；kj為均值在第j級(jí)的頻次數(shù)；kij為載荷循環(huán)落在第i級(jí)幅值，第j級(jí)均值的頻次數(shù)。

根據(jù) χ2分布性質(zhì)可知，當(dāng)自由度 m=(r-1)(s-1)＞45，該分布近似服從N(m，2m)的正態(tài)分布。因此，可根據(jù)式（6）近似得到χ2分布的上α分位點(diǎn)。

式中Uα查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。

本文對(duì) 6個(gè)作業(yè)段載荷的均、幅值均進(jìn)行劃分，按照以往經(jīng)驗(yàn)劃分為64級(jí)[20-22]。通過(guò)雨流計(jì)數(shù)得到64×64階雨流矩陣，即r=64，s=64，χ2分布的自由度m=3 969，因此根據(jù)式（6）可近似得到該分布下的分位點(diǎn)(3969)=4 115.6。根據(jù)式（5）計(jì)算得到6個(gè)作業(yè)段χ2值均小于4115.6，因此可以認(rèn)為在95%的置信度下6個(gè)作業(yè)段的均幅值相互獨(dú)立。

因此，相互獨(dú)立的條件下，均幅值載荷的聯(lián)合分布函數(shù)即為二者各自分布函數(shù)的乘積。

3.2 均幅值載荷分布估計(jì)

以半軸鏟掘段雨流計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)為例，分別采用單分布和混合分布對(duì)均值和幅值載荷進(jìn)行分布估計(jì)?；旌戏植家话阌?個(gè)、3個(gè)或者多個(gè)分布組成，并且每一個(gè)子分布可由任何單一分布組成。但是當(dāng)混合分布包含多個(gè)不同子分布時(shí)，對(duì)其子分布的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)就比較困難。因此，為簡(jiǎn)化求解過(guò)程并降低了參數(shù)估計(jì)難度，本文采用同類雙分布。采用極大似然估計(jì)法（maximum likelihood estimation，MLE）進(jìn)行單分布估計(jì)，最大期望（expectation maximum，EM）法進(jìn)行混合分布估計(jì)[23-26]。MLE法和EM法都是基于似然函數(shù)最大化的原理進(jìn)行的，且似然估計(jì)值越大，估計(jì)結(jié)果越好[27]。

式（7）是混合模型的似然函數(shù)；為簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)，見(jiàn)式（8）。

決定系數(shù)R2是從擬合精度的角度定量描述理論模型與對(duì)應(yīng)的測(cè)試數(shù)據(jù)之間的差異[28]，且R2越接近1表明擬合效果越好，因此采用決定系數(shù)作為擬合檢驗(yàn)指標(biāo)。

式中f(xi)是實(shí)測(cè)載荷的概率密度值，g(xi)為理論模型的概率密度值，( xi)為理論模型在所有采樣點(diǎn)的概率平均值。

以V2段均值、幅值載荷以及V4段幅值載荷為例，基于參數(shù)估計(jì)值得到數(shù)據(jù)擬合直方圖，將上述分析結(jié)果以曲線擬合的形式進(jìn)行展示，如圖5所示。

表 1為單雙分布模型的參數(shù)估計(jì)值及其擬合效果檢驗(yàn)值。其中V1、V2、V3、V5以及V6的均、幅值雙分布的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值均大于對(duì)應(yīng)單分布的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，且均值雙分布函數(shù)的 R2值比對(duì)應(yīng)單分布函數(shù)的 R2值分別大32%、2.3%、25.1%、40.1%和160.8%，幅值雙分布函數(shù)的R2值比對(duì)應(yīng)單分布函數(shù)的R2值分別大8.3%、6.7%、1.4%、6.2%和1.2%。分析V4段數(shù)據(jù)，均值雙分布的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值以及R2（0.995 9）均大于單分布的對(duì)應(yīng)值，而幅值雙分布的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值以及R（20.976 2）小于單分布的對(duì)應(yīng)值，因此可知V4段均值采用雙分布擬合效果較佳，幅值采用單分布擬合效果較佳。

3.3 二維外推載荷譜

實(shí)際載荷測(cè)試過(guò)程中，只能得到有限量的載荷數(shù)據(jù)。為了得到全壽命周期中可能出現(xiàn)的載荷歷程，一般根據(jù)式（10）將載荷累積頻次擴(kuò)展到106次。

表1 各作業(yè)段參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 1 Parameter estimation results for each section

表2 V2段二維載荷譜Table 2 Two-dimensional load spectrum of V2

式中N為載荷總頻次，Ni為某作業(yè)段的載荷頻次，Ni'為擴(kuò)展后的載荷頻次。因此可知各作業(yè)段擴(kuò)展后的頻次數(shù)分別為：76 611、391 158、189 673、149 173、745 867和118 798。

由于各段均、幅值相互獨(dú)立，且滿足相應(yīng)分布的擬合要求，因此求載荷的極值可轉(zhuǎn)化為求均值、幅值分布函數(shù)的最大值。擬合檢驗(yàn)值決定了載荷分布函數(shù)估計(jì)值的準(zhǔn)確性，根據(jù)3.2節(jié)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，以較大的R2值作為選取標(biāo)準(zhǔn)，V1、V2、V3、V5以及V6段的均、幅值分布采用雙分布，V4段均值采用雙分布，幅值采用單分布。根據(jù)各段選定的載荷分布函數(shù)以及極值發(fā)生概率P(1/總頻次)，見(jiàn)式（11），計(jì)算均、幅值的極值。

式中u即為P概率對(duì)應(yīng)的極大值。

根據(jù)均值、幅值的極大值，用等間隔法對(duì)均值進(jìn)行劃分，不等間隔法對(duì)幅值進(jìn)行劃分，各分為 8級(jí)[11]。根據(jù)選定的均、幅值分布函數(shù)建立聯(lián)合概率密度函數(shù)，從而得到對(duì)應(yīng)均值、幅值載荷的循環(huán)頻次，形成二維載荷譜，以V2段為例得到其二維載荷譜，見(jiàn)表2。

3.4 生成一維程序譜

二維載荷譜是關(guān)于均、幅值載荷及其作業(yè)頻次的譜，在實(shí)際臺(tái)架試驗(yàn)中，由于其均、幅值的變動(dòng)使得加載過(guò)程繁瑣，為簡(jiǎn)化操作，通常采用一維程序譜[7,9-11]，即均值固定，幅值變動(dòng)的方式，因此本文根據(jù)Goodman原理[29]將二維載荷譜進(jìn)行轉(zhuǎn)換處理，使其轉(zhuǎn)換為均值為 0的一維程序譜。

式中 τij'為等效應(yīng)力幅值，MPa；τaj為第 j個(gè)應(yīng)力幅值，MPa；τmi為第i個(gè)應(yīng)力均值，MPa；σb為材料強(qiáng)度極限，MPa，本文半軸材料為20CrMnTi，σb=1 080 MPa。

轉(zhuǎn)換后得到64×2階的等效應(yīng)力幅值-頻次(Si-ni)的矩陣，將等效應(yīng)力幅值的最大值作為最大目標(biāo)幅值，根據(jù)不等間隔法對(duì)其進(jìn)行劃分，得到8級(jí)目標(biāo)幅值。

基于Miner疲勞累積損傷理論[30]，總損傷D=Deq，以及材料的S-N曲線關(guān)系可得一維程序譜的加載頻次。

式中Si為等效幅值，MPa；ni為Si對(duì)應(yīng)頻次；Seqj為8級(jí)目標(biāo)幅值，MPa；neqj為 Seqj對(duì)應(yīng)的頻次；C為材料性質(zhì)常數(shù)。

根據(jù)所選材料，在 95%可靠度下，參數(shù) β取值為21.886 6[31]。從而得到各作業(yè)段的一維程序譜，見(jiàn)表3。

表3 半軸載荷各作業(yè)段一維程序譜Table 3 One-dimensional program loading spectrum of semi-axle load in six sections

4 結(jié) 論

1）根據(jù)裝載機(jī)“V”型作業(yè)模式，結(jié)合裝載機(jī)的動(dòng)作特征，確定作業(yè)段劃分方法，實(shí)現(xiàn)了測(cè)試載荷的 6作業(yè)段劃分，滿足載荷平穩(wěn)性要求。

2）利用雨流計(jì)數(shù)法，得到64×64階的雨流矩陣，結(jié)合下分位點(diǎn)數(shù)值4 115.6，可知在95%的置信度下6個(gè)作業(yè)段的均值、幅值相互獨(dú)立。

3）分別采用單分布和混合分布對(duì)均值、幅值載荷進(jìn)行擬合，對(duì)比結(jié)果具體表現(xiàn)為：V1，V2，V3，V5和V6段均值雙分布函數(shù)的R2值比對(duì)應(yīng)單分布函數(shù)的R2值分別大32%、2.3%、25.1%、40.1%和160.8%，幅值雙分布函數(shù)的R2值比對(duì)應(yīng)單分布函數(shù)的R2值分別大8.3%、6.7%、1.4%、6.2%和 1.2%。V4段幅值單分布函數(shù)的 R2值為0.995 9，該值大于對(duì)應(yīng)混合分布函數(shù)的R2值0.962 2。

4）提出基于混合分布的載荷譜編制方法，選取擬合較優(yōu)的分布，即V1，V2，V3，V5和V6段均值、幅值以及 V4段均值采用混合分布，V4段幅值采用參數(shù)為（8.717 1，0.887 1，9.344 1）的威布爾分布，從而實(shí)現(xiàn)頻次的合理外推和合成，得到一維程序載荷譜。

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