郝依寒

（河北省石家莊市正定實(shí)驗(yàn)中學(xué)，石家莊 050800）

隨著時(shí)代的進(jìn)步，數(shù)學(xué)與人類(lèi)的聯(lián)系也逐漸加深，如今人類(lèi)活動(dòng)更是離不開(kāi)數(shù)學(xué)的幫助，統(tǒng)計(jì)學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)中與我們實(shí)際生活聯(lián)系較為緊密的一類(lèi)分支，是幫助我們解決問(wèn)題的工具。其中相關(guān)分析、回歸分析等在我們的生活中運(yùn)用也是十分廣泛的，本文通過(guò)研究相關(guān)分析與回歸分析的概念與分類(lèi)，列舉回歸分析的具體應(yīng)用，分析相關(guān)分析與回歸分析的異同。

1 相關(guān)分析

相關(guān)分析和生活往往是緊密相連的，小到買(mǎi)賣(mài)時(shí)錢(qián)財(cái)上的加加減減，大到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決棘手復(fù)雜的問(wèn)題。例如，我們走出家門(mén)踏上地鐵時(shí)，我們所乘車(chē)的路程與你需支付的乘車(chē)費(fèi)用便是一種相關(guān)關(guān)系即正相關(guān)。相關(guān)分析是研究隨機(jī)變量之間的依存關(guān)系，從而研究他們的相關(guān)程度即研究變量間的相關(guān)關(guān)系。

1.1 函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系

函數(shù)關(guān)系是我們經(jīng)常接觸的一種關(guān)系。當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取一定的值時(shí)，另一個(gè)變量有惟一確定的值與之相對(duì)應(yīng)，那么我們就稱(chēng)這種關(guān)系為函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，自變量與因變量之間是一一對(duì)應(yīng)的，一個(gè)自變量只有一個(gè)惟一自變量的值與之對(duì)應(yīng)。例如，對(duì)于同一根彈簧來(lái)說(shuō)（即彈性限度k相同），彈力（F）大小與其伸長(zhǎng)量（Δx）的關(guān)系（F=kΔx）。

圖1 彈簧彈力與其伸長(zhǎng)量關(guān)系圖

相關(guān)關(guān)系也指變量之間的相互關(guān)系，但在相關(guān)關(guān)系中，一個(gè)變量的值往往受多個(gè)變量的影響，即當(dāng)變量X取某個(gè)固定值時(shí)，變量還會(huì)受到其他因素的影響，導(dǎo)致變量取值不確定。所以這種相關(guān)關(guān)系不同于函數(shù)關(guān)系，它不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)。例如，一個(gè)人的工作效率與其是否熬夜的關(guān)系。一個(gè)人如果熬夜，那么他的工總效率不一定很低，因?yàn)楣ぷ餍蔬€會(huì)受到其他一些因素的影響。

1.2 相關(guān)關(guān)系分類(lèi)

相關(guān)關(guān)系有多種分類(lèi)方法。按程度分，可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。其中完全相關(guān)本質(zhì)上就是函數(shù)關(guān)系；不相關(guān)是指變量之間無(wú)影響，又稱(chēng)零相關(guān)；不完全相關(guān)是指變量之間存在不嚴(yán)格依存關(guān)系。在現(xiàn)實(shí)生活中，不完全相關(guān)關(guān)系出現(xiàn)較多，因?yàn)閷?shí)際生活中偶然因素對(duì)研究對(duì)象的影響較大，所以幾乎不可能出現(xiàn)完全相關(guān)關(guān)系。在相關(guān)分析中，不完全相關(guān)也是我們主要的研究對(duì)象。按方向可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。正相關(guān)是指一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的增加（減少）而增加（減少），即兩者變化同方向，如數(shù)學(xué)上我們很熟悉的圓的周長(zhǎng)L=2πr，L隨r的增大而增大；而負(fù)相關(guān)則反之。按相關(guān)的形式可分為線(xiàn)性相關(guān)和非線(xiàn)性相關(guān)。按變量多少可分為單相關(guān)，偏相關(guān)和復(fù)相關(guān)。

1.3 相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)是研究變量間線(xiàn)性相關(guān)程度的量。它最早由統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾·皮爾遜提出，一般用r表示?？枴て栠d在閱讀高爾頓的《自然遺傳》是對(duì)“相關(guān)”這一概念十分著迷，于是深入研究，才有了我們今天看到的相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)是大于等于-1小于等于1的。相關(guān)系數(shù)為-1時(shí)表示變量間完全負(fù)相關(guān)；大于-1小于0表示變量之間為負(fù)相關(guān)關(guān)系；等于0時(shí)表示變量之間不相關(guān)；大于零小于1時(shí)，表示變量之間呈正相關(guān)關(guān)系；等于1時(shí)，表示變量之間成完全正相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值接近1表示變量之間相關(guān)程度越高。

除了相關(guān)系數(shù)，相關(guān)表和相關(guān)圖可以更加直觀形象地反映兩變量間的相關(guān)關(guān)系及相關(guān)方向，但無(wú)法確切描述表現(xiàn)出兩變量間的相關(guān)程度，只能從圖中看出大致的趨勢(shì)，因此在相關(guān)分析中，相關(guān)系數(shù)能夠幫助我們更加精確的分析和研究變量之間的關(guān)系。

2 回歸分析及其應(yīng)用

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，回歸分析指的是確定兩種及以上變量間相互依賴(lài)的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法，而“回歸”一詞是由英國(guó)著名生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓（Francis Galton，1822～1911.）在研究人類(lèi)身高遺傳問(wèn)題時(shí)提出來(lái)的。高爾頓搜集了1078對(duì)父親及其兒子的身高數(shù)據(jù)并通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖大致呈直線(xiàn)狀態(tài)，即從整體上來(lái)看，父代身高與子代身高呈正相關(guān)關(guān)系。然后高爾頓對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了深入的分析研究，發(fā)現(xiàn)子代平均身高普遍具有接近父代平均身高的趨勢(shì)，于是高爾頓把這種現(xiàn)象成為回歸效應(yīng)。

現(xiàn)在我們所說(shuō)的回歸分析是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴(lài)的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系，需要我們確定預(yù)測(cè)的具體目標(biāo)即因變量，另一變量則為自變量，再通過(guò)調(diào)查得到數(shù)據(jù)，接著對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析從而確定兩變量間的關(guān)系；探究人壽命的長(zhǎng)短與酗酒程度的關(guān)系時(shí)，我們可以把人的壽命長(zhǎng)度看作因變量y，把酗酒程度當(dāng)作自變量x，通過(guò)走訪調(diào)查獲得足夠的數(shù)據(jù)資料，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的計(jì)算與分析得出結(jié)論。

2.1 回歸分析分類(lèi)

回歸分析可以有多種分類(lèi)方式：按照涉及變量多少，分為一元回歸分析和多元回歸分析；按照因變量多少，分為簡(jiǎn)單回歸分析和多重回歸分析；按照自變量與因變量之間的關(guān)系類(lèi)型，分為線(xiàn)性回歸和非線(xiàn)性回歸。但是在實(shí)際研究當(dāng)中，非線(xiàn)性回歸往往比較復(fù)雜。在研究初速度為0的物體的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出x-t圖像，得到的是一條曲線(xiàn)從圖像中無(wú)法精確判斷出其回歸方程。所以我們可以采用化曲為直的思想，用時(shí)間的平方代替時(shí)間，我們得到的就是一條直線(xiàn)。這樣就可以更直觀的展現(xiàn)出位移與時(shí)間的關(guān)系。但是很多時(shí)候無(wú)法將變量替換，或需將變量間原本的關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)，所以并不是所有的回歸分析都需要表示非線(xiàn)性回歸，化曲為直的思想在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是有局限性的，非線(xiàn)性回歸在統(tǒng)計(jì)學(xué)中也是有很重要的作用和意義的。

圖2 勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)x-t2圖像

圖3 勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)x-t圖像

2.2 回歸分析的應(yīng)用

人類(lèi)回歸分析的研究已有很長(zhǎng)時(shí)間，但是回歸分析在當(dāng)代仍然有其自己的意義與作用?；貧w分析一般通過(guò)分析現(xiàn)象間的具體形式確定其因果關(guān)系并用數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)出來(lái)。在經(jīng)濟(jì)方面，回歸分析可以幫助我們了解經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)的動(dòng)向，幫助我們作出判斷，例如：現(xiàn)代的商人在采購(gòu)銷(xiāo)售上往往會(huì)采用回歸分析的方式對(duì)以往的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，結(jié)合目前市場(chǎng)形式得出經(jīng)營(yíng)的方法，從而減少自身?yè)p失的風(fēng)險(xiǎn)；如果研究商品品質(zhì)與其銷(xiāo)量間的關(guān)系，從實(shí)踐上看，商品品質(zhì)會(huì)影響商品銷(xiāo)量，則我們可以以商品品質(zhì)為自變量，商品銷(xiāo)售量為因變量，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法分析變量，當(dāng)商品質(zhì)量提升時(shí)，商品的銷(xiāo)售量也會(huì)隨之提升。建立數(shù)學(xué)模型得出商品品質(zhì)與銷(xiāo)量間的回歸直線(xiàn)方程。在科學(xué)研究方面，回歸分析可以幫助我們更加準(zhǔn)確的得到兩個(gè)或者多個(gè)事物之間的聯(lián)系，為科學(xué)研究者提供思路與方向，在教育方面，我們可以借助回歸分析改進(jìn)教育方法等等。

3 相關(guān)分析與回歸分析的異同

3.1 相同點(diǎn)

對(duì)于相關(guān)分析與回歸分析，這二者之間是有一定聯(lián)系的。它們都是用來(lái)研究變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法?？梢哉f(shuō)，相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)，回歸分析是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)?，F(xiàn)實(shí)中，在分析數(shù)據(jù)時(shí)我們往往先通過(guò)相關(guān)分析來(lái)確定變量間的相關(guān)程度，再通過(guò)回歸分析深入研究建立數(shù)學(xué)模型。若使用回歸分析前沒(méi)有對(duì)變量進(jìn)行相關(guān)分析，則很難保證變量間有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，則此時(shí)進(jìn)行回歸分析時(shí)得出的結(jié)論往往不準(zhǔn)確，易造成錯(cuò)誤，此時(shí)我們成這種錯(cuò)誤為虛假回歸。如，欲研究手機(jī)待機(jī)時(shí)間與使用者年齡之間的關(guān)系時(shí)，倘若先不對(duì)其進(jìn)行相關(guān)分析而直接進(jìn)行回歸分析，則就會(huì)將這兩種毫無(wú)關(guān)系的變量強(qiáng)行聯(lián)系在一起，產(chǎn)生了虛假回歸，得到錯(cuò)誤結(jié)論，對(duì)消費(fèi)者進(jìn)行誤導(dǎo)。故應(yīng)把這兩種分析方法結(jié)合使用，以達(dá)到準(zhǔn)確研究和分析的目的。

3.2 不同點(diǎn)

相關(guān)分析中，變量間關(guān)系對(duì)等，即不存在確定的因果關(guān)系，不存在一個(gè)變量因?yàn)榱硪粋€(gè)變量的變化而變化，也沒(méi)有自變量與因變量之分。而回歸分析變量間的關(guān)系不對(duì)等，變量與變量之間存在一定因果關(guān)系。相關(guān)關(guān)系只是用以確定變量之間是否存在一定的聯(lián)系，并簡(jiǎn)單的研究這兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，并不能確定具體的變量變化趨勢(shì)，所以我們說(shuō)相關(guān)分析中無(wú)固定的自變量與因變量。而回歸分析中，自變量是確定的，而因變量是隨自變量的變化而變化的，且自變量與因變量的關(guān)系往往不能互換，一個(gè)自變量往往受到多個(gè)因變量的影響，且通過(guò)數(shù)據(jù)分析得到的回歸方程往往與實(shí)際不相等，存在一定的波動(dòng)。相關(guān)分析的相關(guān)系數(shù)是惟一確定的，即對(duì)于相關(guān)分析來(lái)說(shuō)只有一個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)，相關(guān)系數(shù)只有一個(gè)且惟一確定，而且我們?cè)诜治鰯?shù)據(jù)時(shí)只考慮相關(guān)系數(shù)；而回歸分析中的變量關(guān)系并不惟一確定，回歸分析中往往會(huì)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的衡量標(biāo)準(zhǔn)?；貧w分析變量之間具有因果性，因變量會(huì)隨自變量的變化而變化，且因變量往往受多個(gè)自變量的影響，故可能出現(xiàn)多個(gè)回歸方程。

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，相關(guān)分析只是用來(lái)研究變量間相關(guān)關(guān)系的方法，不能定量分析數(shù)據(jù)而回歸分析為我們定量分析數(shù)據(jù)提供了一種方法比。在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，比僅僅通過(guò)相關(guān)分析得出的結(jié)論更加準(zhǔn)確。所以這種建立回歸模型的方法也被應(yīng)用到我們?nèi)粘Ｉ畹脑S多地方中。不僅如此，隨著時(shí)代的發(fā)展，人們對(duì)回歸分析的研究還有望加深，從而改進(jìn)現(xiàn)在的建立應(yīng)用回歸模型的技術(shù)手段，所以，深入探究回歸分析也不乏具有一定現(xiàn)實(shí)意義。

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