王璐璐，張 娟

(山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所， 太原 030006)

流行性感冒簡(jiǎn)稱流感，是由流感病毒引起的一種急性呼吸道傳染病，其主要通過含有病毒的飛沫進(jìn)行傳播，也可通過人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸進(jìn)行傳播。流感的癥狀表現(xiàn)為咳嗽、頭痛、咽痛、流鼻涕。流感在高危人群中可誘發(fā)其他嚴(yán)重疾病或?qū)е禄颊咚劳鯷1]。流感在四季均可發(fā)生，我國北方地區(qū)高峰一般發(fā)生在冬季和春季，而在南方地區(qū)全年流行，高峰多發(fā)生在春季和冬季[2]。近些年，流感患者的數(shù)量急劇上升，有些專家認(rèn)為是因?yàn)槭艿届F霾天氣的影響[3]。霧霾是霧和霾的統(tǒng)稱[4]，其中霧是由大量懸浮在近地面空氣中的微小水滴或冰晶組成的氣溶膠系統(tǒng)，霾是由空氣中的灰塵、硫酸、硝酸、有機(jī)碳?xì)浠衔锏攘Ｗ咏M成的。霧霾是特定氣候條件與人類活動(dòng)相互作用的結(jié)果。高密度人口的經(jīng)濟(jì)及社會(huì)活動(dòng)必然會(huì)排放大量細(xì)顆粒物(PM2.5)，一旦排放量超過大氣的承載能力，細(xì)顆粒物濃度會(huì)積累，此時(shí)若是受到氣候條件等影響極易出現(xiàn)大范圍的霧霾。細(xì)顆粒物指數(shù)已經(jīng)成為一個(gè)重要的用于測(cè)控空氣污染程度的指數(shù)，在中國不少城市將霧和霾并在一起作為災(zāi)害性天氣現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)警預(yù)報(bào)。

隨著霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)頻率的增加，空氣質(zhì)量逐步惡化[5]。文獻(xiàn)[6-7]表明：大規(guī)模季節(jié)性流感的爆發(fā)與霧霾天氣的出現(xiàn)有密切的聯(lián)系。文獻(xiàn)[8]中實(shí)驗(yàn)檢測(cè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：空氣中的細(xì)顆粒物(PM2.5)能導(dǎo)致肺組織損傷，并且可以降低對(duì)流感病毒侵入肺部的免疫力。文獻(xiàn)[9]通過對(duì)西安市疑似流感病例數(shù)與AQI指數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，建立了依賴于AQI指數(shù)的呼吸道感染動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算出的基本再生數(shù)比西安市2009年流感大規(guī)模流行時(shí)的基本再生數(shù)高，并且得到呼吸道感染的風(fēng)險(xiǎn)隨著AQI指數(shù)的增加而增加的結(jié)論。當(dāng)霧霾天氣發(fā)生時(shí)，人體所吸入的細(xì)顆粒物會(huì)累積在呼吸系統(tǒng)中，進(jìn)而引起許多疾病的發(fā)生[10]。為了分析空氣中的細(xì)顆粒物對(duì)流感傳播的影響，本文建立細(xì)顆粒物-流感傳播的非自治動(dòng)力學(xué)模型，利用2013年12月—2017年7月浙江省衛(wèi)生和計(jì)劃生育委員會(huì)[11]公布的每月流感發(fā)病數(shù)與中國空氣質(zhì)量在線監(jiān)測(cè)分析平臺(tái)[12]檢測(cè)到的浙江省每月空氣中細(xì)顆粒物濃度，計(jì)算出流感傳播的基本再生數(shù)，對(duì)流感、空氣中細(xì)顆粒物濃度的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。通過數(shù)值模擬分析了空氣中細(xì)顆粒物對(duì)流感傳播的影響，對(duì)參數(shù)做敏感性分析并且提出相應(yīng)的防控措施。

1 傳播動(dòng)力學(xué)模型

依據(jù)人的染病狀態(tài)，將人分為易感者S(t)和染病者I(t)，S(t)表示t時(shí)刻易感者數(shù)量，I(t)表示t時(shí)刻染病者數(shù)量，總?cè)丝跒镹(t)。在不考慮霧霾、季節(jié)對(duì)流感傳播的影響時(shí)，建立簡(jiǎn)單的SIS模型：

(1)

其中：所有參數(shù)都是正數(shù)；A為每年人的出生數(shù)量；β為傳染率系數(shù)；μ為死亡率系數(shù)；γ為染病者的恢復(fù)率。

(2)

其中：所有的參數(shù)均為正數(shù)；ξ表示人體對(duì)細(xì)顆粒物的排解率；θ(t)表示由于風(fēng)吹散、光合作用分解導(dǎo)致的空氣中細(xì)顆粒物的消失率；σ為由流感導(dǎo)致的死亡率系數(shù)；u(t)表示外界向空氣中排放的細(xì)顆粒物的濃度。假設(shè)ηNE滿足質(zhì)量作用定理，空氣中的細(xì)顆粒物與人體內(nèi)的細(xì)顆粒物濃度成正比，比例系數(shù)為η，k表示空氣中細(xì)顆粒物對(duì)人的死亡的影響系數(shù)。

依據(jù)文獻(xiàn)[14]可以得到周期傳染率系數(shù)β(t)和空氣中細(xì)顆粒物的周期輸入u(t)，都用正弦函數(shù)來描述，且β(t)=b1(1+b2(sin(α1t+α2))),u(t)=a1(1+a2(sin(α3t+α4)))。其中b2,a2≤1。

考慮系統(tǒng)(2)的第4個(gè)方程，人呼吸所吸收的細(xì)顆粒物比在風(fēng)、光合作用影響下空氣中消失的細(xì)顆粒物要少，因此可以將ηNE忽略不計(jì)，則系統(tǒng)(2)變成以下系統(tǒng)：

(3)

2 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)是指每一個(gè)染病者傳染給下一代的染病者的人數(shù)，通常將其記為R0?；驹偕鷶?shù)是衡量疾病是否消亡的一個(gè)重要指標(biāo)。如果R0<1表示疾病自然逐步消亡；若R0>1表示疾病將始終存在。下面根據(jù)文獻(xiàn)[15]的方法計(jì)算周期系統(tǒng)的基本再生數(shù)R0，首先給出系統(tǒng)(3)的不變集。

觀察系統(tǒng)(3)可以得到：

(4)

定理1X是系統(tǒng)(3)的正向不變集。

對(duì)于系統(tǒng)(3)，可以得到一個(gè)無病周期解x*(t)=(S*(t),0,C*(t),E*(t))。將系統(tǒng)(3)寫成

通過驗(yàn)證，滿足文獻(xiàn)[15]中的條件(A1)～(A5)。

下面證明文獻(xiàn)[15]的條件(A7)滿足。對(duì)F1,V1在無病周期解(0,C*(t),E*(t),S*(t))處對(duì)變量I、C、E求偏導(dǎo)，得到

對(duì)于線性周期系統(tǒng)

考慮一個(gè)線性周期系統(tǒng)

W(t,s,λ),t≥s定義為系統(tǒng)的演化算子，并且可以得到ΦF-V=W(t,0,1),?t≥0。

假設(shè)φ(s)為在s時(shí)刻的ω周期函數(shù)，并且表示為染病者個(gè)體最初的分布，從而F(s)φ(s)為s時(shí)刻的染病者個(gè)體所感染的新染病者的分布，當(dāng)t≥s時(shí)，Y(t,s)F(s)φ(s)為在s時(shí)刻的染病者個(gè)體在t時(shí)刻仍為染病者個(gè)體的分布，因此

為在t時(shí)刻之前由φ(s)所感染的所有染病者在t時(shí)刻的分布。

?t∈R,φ∈Cω

定理2 若文獻(xiàn)[15]條件(A1)～(A7)成立，那么以下條件成立：

1) 如果ρ(W(ω,0,λ))=1有一個(gè)正解λ=R0，那么R0就是算子L的特征值且R0>0。

2) 如果R0>0，那么λ=R0是ρ(W(ω,0,λ))=1唯一的解。

3)R0=0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的λ>0，ρ(W(ω,0,λ))<1。

根據(jù)定理2條件2)，利用數(shù)值方法可以計(jì)算周期系統(tǒng)的基本再生數(shù)。

3 數(shù)據(jù)擬合及參數(shù)敏感性分析

根據(jù)模型(3)，利用浙江省衛(wèi)生和計(jì)劃生育委員會(huì)發(fā)布的2013年12月—2017年7月實(shí)際月人間病例數(shù)與中國空氣質(zhì)量在線監(jiān)測(cè)分析平臺(tái)檢測(cè)到的2013年12月—2017年7月每月的細(xì)顆粒物濃度數(shù)據(jù)，估計(jì)出參數(shù)值，預(yù)測(cè)總?cè)藬?shù)以及細(xì)顆粒物濃度的發(fā)展趨勢(shì)，并通過參數(shù)的敏感性分析評(píng)估相應(yīng)的防控措施。圖1和圖2分別給出了2013年12月—2017年7月的浙江省每月的細(xì)顆粒物濃度和感染流感的人間病例數(shù)。

圖1 中國空氣質(zhì)量在線監(jiān)測(cè)分析平臺(tái)發(fā)布的細(xì)顆粒物濃度數(shù)據(jù)

圖2 浙江省衛(wèi)生和計(jì)劃生育委員會(huì)發(fā)布的實(shí)際月人間發(fā)病數(shù)

注：星點(diǎn)是中國空氣質(zhì)量在線監(jiān)測(cè)分析平臺(tái)發(fā)布的細(xì)顆粒物濃度數(shù)據(jù)；實(shí)線是模型中變量E(t)隨時(shí)間的變化。

圖3 空氣中細(xì)顆粒物濃度的數(shù)據(jù)擬合

表1 模型中有關(guān)參數(shù)的說明

注：星點(diǎn)是浙江省統(tǒng)計(jì)年鑒發(fā)布的2013—2015年的年末總?cè)丝跀?shù)；實(shí)線是模型中變量N(t)隨時(shí)間的變化

圖4 人口總數(shù)的數(shù)據(jù)擬合圖

注：星點(diǎn)是浙江省衛(wèi)生和計(jì)劃生育委員會(huì)發(fā)布的實(shí)際月人間的發(fā)病數(shù)；實(shí)線是模型中變量I(t)隨時(shí)間的變化；虛線是沒有考慮細(xì)顆粒物對(duì)流感的影響下模型中變量I(t)隨時(shí)間的變化。

圖5 流感患者的數(shù)據(jù)擬合圖

根據(jù)數(shù)據(jù)擬合獲得的參數(shù)值，利用定理2條件2)計(jì)算基本再生數(shù)，借助Matlab計(jì)算出基本再生數(shù)R0=1.304 2。

在圖6對(duì)細(xì)顆粒物濃度的變化趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，可以看出：隨著時(shí)間的變化，空氣中細(xì)顆粒物濃度仍會(huì)周期性波動(dòng)且濃度峰值會(huì)變低，但其不會(huì)消除。

在圖7中對(duì)恢復(fù)率γ、傳染率系數(shù)中的參數(shù)m1、b1作敏感性分析，考慮當(dāng)γ、m1、b1變化時(shí)流感患者I(t)隨時(shí)間的變化。圖7(a)給出了恢復(fù)率γ對(duì)流感傳播的影響，顯然恢復(fù)率越小，流感患者越多。因此，通過及時(shí)采取有效的治療以縮短患病期來控制疾病。從圖7(b)中看到：當(dāng)m1=0.003時(shí)的流感患者數(shù)量會(huì)比m1=0.008時(shí)少，而且隨著時(shí)間的推移，流感患者數(shù)量差距會(huì)變大。易知空氣中細(xì)顆粒物的濃度對(duì)流感傳染率影響越小，流感患者會(huì)越少。因此，流感患者在患病期間(特別是霧霾天氣時(shí))應(yīng)減少外出時(shí)間與次數(shù)，且外出時(shí)做好相應(yīng)的防護(hù)措施，比如戴口罩等。圖7(c)給出了周期傳染率系數(shù)β(t)中參數(shù)b1的敏感性分析，可以看出：b1變小后，流感患者也變少。也就是說減少流感患者與易感者的接觸率可以使疾病得到控制。綜上來說，減少空氣中的細(xì)顆粒物濃度以及減少流感患者在霧霾天氣外出的時(shí)間和次數(shù)、提升人們對(duì)流感和霧霾的認(rèn)識(shí)等都是控制流感傳播的有效措施。

圖6 空氣中的細(xì)顆粒物濃度E(t)在短時(shí)間和較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的變化

圖7 參數(shù)γ、m1、b1對(duì)流感患病者I(t)的影響

圖8考慮空氣中的細(xì)顆粒物對(duì)人口總數(shù)的影響，可以看出：當(dāng)考慮空氣中的細(xì)顆粒物濃度對(duì)流感的影響時(shí)，總?cè)藬?shù)會(huì)變少，這是由于空氣中的細(xì)顆粒物會(huì)誘發(fā)一些嚴(yán)重疾病的發(fā)生，比如呼吸系統(tǒng)疾病、心血管系統(tǒng)疾病等，這些疾病會(huì)導(dǎo)致患者的死亡。

注：實(shí)線是模型中變量N(t)隨時(shí)間的變化。虛線是沒有考慮細(xì)顆粒物對(duì)流感的影響下模型中變量N(t)隨時(shí)間的變化

圖8 人口總數(shù)在長(zhǎng)時(shí)間的變化趨勢(shì)

圖9給出R0對(duì)參數(shù)m1、b1的敏感性分析，其他參數(shù)值見表1。由圖9(a)可知：m1越小，R0將會(huì)越小，且R0關(guān)于m1是線性的。在其他參數(shù)值不變的情況下，當(dāng)m1減少到0，基本再生數(shù)仍大于1。于是應(yīng)該增強(qiáng)對(duì)預(yù)防流感與霧霾的意識(shí)，做好個(gè)人衛(wèi)生，特別是在霧霾天氣，應(yīng)該減少外出時(shí)間與次數(shù)，盡可能避免暴露在霧霾中。由圖9(b)可知：R0關(guān)于b1是線性的，當(dāng)b1較小時(shí)，R0很?。划?dāng)b1<6.2875×10-8時(shí)，R0<1。因此，易感者在與流感患者接觸時(shí)應(yīng)該做好防護(hù)措施，以此降低流感的傳染率。

圖9 R0關(guān)于不同參數(shù)的值

4 結(jié)束語

建立了在空氣中的細(xì)顆粒物影響下的具有周期傳染率的流感傳播動(dòng)力學(xué)模型，利用浙江省2013—2017年每月的流感發(fā)病數(shù)與細(xì)顆粒物濃度，計(jì)算出流感傳播的基本再生數(shù)。從數(shù)值模擬可以看出：空氣中細(xì)顆粒物濃度的增加會(huì)使得流感的發(fā)病數(shù)增加，加重流行性感冒的傳播。因此，可以通過減少霧霾天氣的外出次數(shù)和時(shí)間來降低細(xì)顆粒物對(duì)流感傳染率的影響，即減少m1。另外，政府部門應(yīng)當(dāng)完善工廠的標(biāo)準(zhǔn)排放廢氣量、有關(guān)汽車尾氣排放等的制度規(guī)定，推廣使用天然氣、太陽能等清潔能源進(jìn)而減少空氣中的細(xì)顆粒物的濃度，使得人體內(nèi)吸入的細(xì)顆粒物濃度降低，從而降低流感傳染的可能性。由于流感的高峰期是在冬季和春季，可以在流感爆發(fā)前期采取措施，比如在此期間增強(qiáng)人們的防范意識(shí)、減少外出、做好預(yù)防工作，從各個(gè)方面保證人們的身體健康。

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