初元紅 馬紅娟 鄭喜英

摘 要 為了求解奇異問題，在Hilbert空間中，將割線法和外推技巧相結(jié)合得到新的迭代格式，其收斂速率為0.3.未改進的割線法的收斂速率0.618，改進的割線法收斂速率得到大大的提高.同時，該算法對于一般的Banach空間同樣適用.最后，通過數(shù)值實驗驗證了這一結(jié)果.

關(guān)鍵詞 Hilbert空間；改進的割線法；奇異問題；幾何特征；收斂速率

中圖分類號 O241文獻標(biāo)識碼 A文章編號 1000-2537（2017）06-0087-06

Abstract In Hilbert space， we modified secant method with the extrapolation technique in order to solve the singular problems. The convergence rate of the new iteration is 0.3 rather than 0.618 of the original. So the convergence rate of the modified secant method is distinctively improved， which is also applicable to the general Banach space. Finally， numerical experiment is presented to confirm this result.

Key words Hilbert space； modified secant method； singular problems； geometry character； convergence rate

計算科學(xué)的快速發(fā)展，使很多實際問題如工程問題、生物問題等轉(zhuǎn)化為求解非線性方程.對于一般常規(guī)方程如非奇異問題，比較成熟的方法如Newton法、割線法等.其基本思想是利用前面獲得的關(guān)于方程左端函數(shù)的信息—在函數(shù)充分光滑的前提下，逐步迭代轉(zhuǎn)化為零點的信息[1-4].當(dāng)導(dǎo)算子的逆不存在時如奇異問題，無論是算法的收斂條件、收斂性還是收斂速率都受到很大的影響，于是Rall，Decker和Kelley[5-8]等人針對奇異問題進行了研究，發(fā)現(xiàn)Newton法在一個星形區(qū)域內(nèi)雖然收斂，但收斂速度較慢僅為線性收斂.之后，在奇異點處算法的收斂性和加速成為眾多學(xué)者關(guān)心的一個課題[9-12].潘狀元[10]證明了割線法收斂速度相對較快并得到了漸進收斂率為0.618.本文修正了割線法，使得漸進收斂率提高到0.30，進一步提高了算法的效用.

參考文獻：

[1] 張一斌，曾喆昭.解非線性方程的一種新方法[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報， 2006，29（3）： 36-38.

[2] 李夏云，陳傳淼. 求非線性方程組所有根的Newton場線法[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報， 2009，32（4）： 10-13.

[3] 蔡松柏，沈蒲生. 關(guān)于非線性方程組求解技術(shù)[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報， 2000，23（3）：86-91.

[4] 孫 哲，吳 磊 . 求解一類HJB方程的非線性SOR迭代法[J].湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2010，37（7）：86-88.

[5] RALL L B. Convergence of the Newton process to multiple solutions[J]. Numer Math， 1966，9（1）：23-37.

[6] REDDIEN G W. On Newtons method for singular problems[J]. SIAM J Numer Anal， 1978，15（5）：993-996.

[7] DECKER D W， KELLEY C T. Convergence rates for Newtons method at singular point[J]. SIAM J Numer Anal， 1983，20（2）：296-314.

[8] DECKER D W， KELLEY C T. Convergence acceleration for Newtons method at singular point[J]. SIAM J Numer Anal， 1982，19（1）：219-229.

[9] 楊月梅，潘狀元. 用非精確的平行割線法求解奇異問題[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識， 2013，43（6）：240-245.

[10] 潘狀元. 用弦線法求解奇異問題[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報， 1987（2）：104-109.

[11] 初元紅，孫貴玲.用改進的Newton求解奇異問題[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2014，37（5）：81-84.

[12] 楊忠華.弦法在奇異點處一個改進格式[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報， 1990（2）：151-157.