方日升

(國(guó)網(wǎng)福建省電力有限公司電力科學(xué)研究院，福州 350007)

傳統(tǒng)的水輪機(jī)調(diào)速建模模型未考慮到引水系統(tǒng)和尾水系統(tǒng)[1]的影響。水輪機(jī)效率與導(dǎo)水機(jī)構(gòu)中水力損失[2]息息相關(guān)，在精細(xì)建模中必須考慮到水力損失的因素。國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)水輪機(jī)精細(xì)化模型進(jìn)行一定的研究。文獻(xiàn)[3]提出一種引水系統(tǒng)近似閥門結(jié)構(gòu)的模型，但是忽略水力損失對(duì)水輪機(jī)出力的影響。文獻(xiàn)[4]提出基于非線性微分幾何控制理論，給出水輪機(jī)精細(xì)線性化過程，但是只考慮了混流式水輪機(jī)模型，并未考慮其他幾類模型的情況，有一定的局限性。文獻(xiàn)[5]提出考慮非線性環(huán)節(jié)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)的精細(xì)化模型。

粒子群算法存在著精度較低、容易發(fā)散等缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]提出利用重采樣的方法對(duì)全局最優(yōu)粒子采取不同的策略，但對(duì)于粒子軌跡信息利用不夠。文獻(xiàn)[7]提出對(duì)粒子群參數(shù)區(qū)域進(jìn)行劃分，通過對(duì)粒子軌跡特性的分析，說明了種群進(jìn)化對(duì)粒子軌跡的影響。本文通過粒子軌跡的分析，提出一種改進(jìn)的粒子群算法，旨在提高粒子群算法的收斂性和精度。

本文通過黑箱辨識(shí)[8]與曲線擬合[9]的方法，提出一種水力損失率與開度之間的多次方表達(dá)函數(shù)，通過Matlab進(jìn)行仿真，得出導(dǎo)水機(jī)構(gòu)的水力損失表達(dá)函數(shù)。

1 水輪機(jī)引水部件的水力損失模型

水輪機(jī)引水部件的水力損失計(jì)算不論是對(duì)于水輪機(jī)性能估計(jì)還是水力優(yōu)化[10]都有著重要的意義，但是其水能流動(dòng)的復(fù)雜性讓水力損失的計(jì)算[11]變得異常困難。目前的水力損失模型主要存在兩個(gè)方面的難題：蝸殼蝸形段的損失計(jì)算只涉及于直管而未考慮到彎管也存在水力損失；導(dǎo)葉葉柵的損失模型較為復(fù)雜，不能做到精細(xì)的損失計(jì)算。

1.1 蝸殼水力損失的數(shù)學(xué)表達(dá)

蝸殼的水力損失可以分為三部分進(jìn)行計(jì)算：直管部分的摩擦損失△H1；蝸形段的摩擦損失△H2；水流流向座環(huán)的收縮損失△H3。

(1)

式中λ——摩擦損失系數(shù)；l——直管長(zhǎng)度；d——直管直徑；V1——直管流速。

蝸形段分為直管和彎管損失兩部分，△H21表示蝸形段直管損失，△H22表示蝸形段彎管損失。

△H2=△H21+△H22

(2)

(3)

(4)

式中K，c和F——表示速度矩、蝸殼系數(shù)及斷面面積，均為φ的函數(shù)；ξl，Vl——表示彎道損失系數(shù)及斷面速度，均為φ的函數(shù)。

底座的局部搜索損失△H3。

(5)

式中ξk——局部損失系數(shù)；Vrb——徑向流速。

1.2 導(dǎo)水機(jī)構(gòu)水力損失的數(shù)學(xué)表達(dá)

導(dǎo)水機(jī)構(gòu)[12]內(nèi)的水力損失由壁面邊界層損失ζW和葉柵尾跡損失ζ1組成。

(6)

(7)

式中 △E——壁面能量損失；γ——流體重量；△El——葉柵柵后局部能量損失。

1.3 水輪機(jī)水力損失的數(shù)學(xué)表達(dá)

由蝸殼和導(dǎo)水機(jī)構(gòu)兩部分組成的總水力損失ζ可以表示為

ζ=ζs+ζwζl

(8)

由IEEE Working Group所提出的近似閥門的引水系統(tǒng)模型[13]為

(9)

式中ku，kp——比例系數(shù)；G——理想導(dǎo)葉開度；QNL——空載流量；Pt——機(jī)械功率；P——理想機(jī)械功率；PL——空載損耗功率。

在實(shí)際運(yùn)行中，式(9)可以變?yōu)槭?10)：

(10)

在考慮水力損失的情況，式(10)變?yōu)槭?11)：

(11)

式中ξg——水力損失函數(shù)。

1.4 混流式、轉(zhuǎn)槳式水輪機(jī)的模型

特殊情況下，考慮到混流式、軸流轉(zhuǎn)槳式水輪機(jī)含有轉(zhuǎn)輪槳葉，在水輪機(jī)運(yùn)行中，還需要考慮其水力振動(dòng)特性。在構(gòu)造總目標(biāo)函數(shù)時(shí)，不僅需要考慮水輪機(jī)水力損失，還需要考慮水力振動(dòng)特性。這就需要搭建多目標(biāo)優(yōu)化模型[14]。

多目標(biāo)優(yōu)化與單目標(biāo)優(yōu)化問題存在著本質(zhì)區(qū)別，因此需要將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題。構(gòu)建新的損失函數(shù)為

(12)

式中ω——權(quán)值；fj(x)——單目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)。

對(duì)于式(12)，在優(yōu)化時(shí)，第一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)為水輪機(jī)的效率函數(shù)η(y),即(1-ξg)。第二個(gè)分目標(biāo)函數(shù)為尾水管水力振動(dòng)函數(shù)a(y)，a表示尾水管振動(dòng)值。對(duì)于效率函數(shù)而言，值越大越好，而對(duì)于尾水管振動(dòng)函數(shù)而言，值越小越好，則為了構(gòu)建單一的目標(biāo)函數(shù)，將式設(shè)計(jì)為

ζg=ω1η(y)+ω2[C-a(y)]

(13)

式中ω1，ω2——權(quán)重系數(shù)；C——一個(gè)較大的常數(shù)，根據(jù)尾水管水力振動(dòng)測(cè)試數(shù)據(jù)確定。

1.5 水力損失函數(shù)的精細(xì)化模型

分析表明水力損失與導(dǎo)葉開度的關(guān)系比較復(fù)雜，很難得到準(zhǔn)確表達(dá)式，因此通過黑箱原理與曲線擬合的方式，得到一種水力損失與導(dǎo)葉開度的關(guān)系：

(14)

水力損失模型定階流程圖如圖1所示。

圖1 水力損失模型定階流程圖

2 改進(jìn)型粒子群算法

在傳統(tǒng)的粒子群算法[15]中，粒子i在每次迭代過程中有以下信息：

(15)

pi為個(gè)體歷史最優(yōu)位置，pg為群體最優(yōu)位置，vi為粒子當(dāng)前速度，xi為粒子更新速度。

在任意t+1時(shí)刻，PSO迭代按照式(16)、式(17)進(jìn)行更新：

vid(t+1)=wvid(t)+c1r1(t)(pid(t)-xid(t))+c2r2(t)(pgd(t)-xid(t))

(16)

xid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)

(17)

式中ω——慣性權(quán)值；c1、c2——學(xué)習(xí)因子；r1、r2——[0，1]的隨機(jī)數(shù)。

在傳統(tǒng)PSO中，算法到了后期收斂性較差，并且容易陷入局部最優(yōu)。

從表2可以看出，單株凈菜CR民喜最重，達(dá)到4.9千克，CR春皇后次之，CR黃芯F1最輕，只有2.9千克。凈菜率方面，CR民喜最高，達(dá)到87%，CR皇春3號(hào)最低，為79%。參試品種中，畝產(chǎn)在5836.25～10185.09千克之間，其中CR民喜最高，比CK增產(chǎn)64.5%，CR皇春3號(hào)最低，比CK減產(chǎn)5.7%。

針對(duì)PSO算法中的不足，通過對(duì)粒子軌跡特征的研究與自適應(yīng)步長(zhǎng)的引入，使得粒子在算法前期有較大的步長(zhǎng)并向全局最優(yōu)靠近，在算法后期粒子較小的步長(zhǎng)防止粒子振蕩并且提高自身的搜索能力，使算法快速收斂。

2.1 自適應(yīng)步長(zhǎng)

通過自適應(yīng)調(diào)整步長(zhǎng)已達(dá)到算法前期步長(zhǎng)大，后期步長(zhǎng)小的要求：

(18)

式中step——步長(zhǎng)；a——衰減因子；gen——當(dāng)前代數(shù)；gen.max——最大代數(shù)。

則速度vi為

vi(t+1)=vi(t)-a(vmax-vmin)

(19)

2.2 粒子軌跡分析

PSO中，ω、c1、c2這三個(gè)參數(shù)取值對(duì)于粒子在迭代過程中的行為影響很大，算法性能也會(huì)因三個(gè)參數(shù)的變化而發(fā)生改變。

由文獻(xiàn)[16]可以得到不同參數(shù)下的閉環(huán)極點(diǎn)λ1、λ2：

(20)

(21)

分別從速度與位置的更新可以得到Z變換下的特征方程：

z2+z(φ1+φ2-ω-1)+ω=0

(22)

(z2+z(φ1+φ2-ω-1)+ω)(z-1)=0

(23)

(24)

(25)

由Routh判據(jù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)系數(shù)均為正值，則

(26)

在文獻(xiàn)[17]中得到的約束條件設(shè)置參數(shù)如下：

ω≈0.729,c1=c2≈1.494 45

這組參數(shù)被用于很多實(shí)例當(dāng)中，均取得了不錯(cuò)的效果。

通過對(duì)粒子運(yùn)行和速度軌跡的分析，當(dāng)參數(shù)滿足式(26)的情況下，對(duì)參數(shù)做進(jìn)一步優(yōu)化。對(duì)于式(23)中方程的特征根如下：

(27)

為了滿足式(26)，則根均在負(fù)半平面，對(duì)于式(23)存在振蕩的阻尼系數(shù)：

(28)

考慮到ξ與參數(shù)ω、c1、c2之間的關(guān)系，并且阻尼ξ越小，振幅幅值越大，則可知若ω增大則ξ減?。籧1+c2增大，ξ減小。

若pi和pg變化，則粒子運(yùn)動(dòng)的中心發(fā)生改變，即為粒子的狀態(tài)在不斷變化，而粒子的運(yùn)動(dòng)行為依然由ω、c1、c2這三個(gè)參數(shù)決定。

對(duì)參數(shù)ω、c1、c2做一下變換：

(29)

做如此變換后，ω由大變小，保證了前期粒子的多樣性，后期阻尼變大，則系統(tǒng)振蕩幅值變小，確保了系統(tǒng)最后收斂。c1由大變小，豐富了個(gè)體前期的多樣性，不會(huì)過早收斂，后期向全局最優(yōu)靠近。c2由小變大，使得粒子前期更依賴于自身的尋優(yōu)，不會(huì)陷入過早的收斂狀態(tài)。c1+c2且不斷變小，也從一定角度上減小了系統(tǒng)后期的振蕩。

2.3 算法改進(jìn)效果驗(yàn)證

選用Schaffer函數(shù)對(duì)PSO與改進(jìn)PSO進(jìn)行性能比對(duì)[17-19]，見表1，求函數(shù)的最大值：

(30)

分別對(duì)兩種算法各進(jìn)行30次。

表1 PSO與改進(jìn)PSO算法性能對(duì)比

由表1可見，改進(jìn)PSO算法最優(yōu)解以及最優(yōu)解次數(shù)均優(yōu)于PSO算法，通過粒子軌跡以及自適應(yīng)步長(zhǎng)的改進(jìn)方法可以有效地克服粒子陷入局部最優(yōu)的問題。

3 算例分析

對(duì)某電廠水輪機(jī)模型進(jìn)行辨識(shí)，水輪機(jī)型號(hào)為GZTF07B-WP-560，額定水頭為9.3 m，額定出力為21.875 MW，額定轉(zhuǎn)速為93.75 r/min，額定流量為255.86 m3/s。選取60組并網(wǎng)運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)。

目標(biāo)函數(shù)為

(31)

式中p(t)——實(shí)際輸出；p1(t)——仿真輸出。

按圖1的流程對(duì)函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，辨識(shí)結(jié)果n=3，m=2，ω1=0.7，ω2=0.3。則模型為

ζg=0.7(a3y3+a2y2+a1y+a0)+0.3[C-(b2y2+b1yi1+b0)]

(32)

則代入式(25)：

(33)

則待辨識(shí)的參數(shù)有[kup，kpQNL，a0，a1，a2，a3，C，b2，b1，b0]。辨識(shí)結(jié)果如表2所示。

表2 模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

由表2可以看出，在考慮到損失的情況下，目標(biāo)函數(shù)總體的均方差較小，更能反應(yīng)出水輪機(jī)并網(wǎng)的輸入輸出特性?？紤]水力損失的輸出波形對(duì)比見圖2。

圖2 考慮水力損失的輸出波形對(duì)比

由此電廠水輪機(jī)運(yùn)行規(guī)程可以查得，最大水頭11.9 m和最小水頭4.7 m范圍內(nèi)，水輪機(jī)以額定轉(zhuǎn)速負(fù)荷在相應(yīng)水頭下的出力60%～100%的范圍內(nèi)穩(wěn)定運(yùn)行。由圖2可以看出，13.5 MW以下的仿真波形與實(shí)際差別較大，符合此電廠水輪機(jī)的運(yùn)行規(guī)程。

考慮水力損失與未考慮水力損失的仿真波形對(duì)比見圖3。

圖3 考慮水力損失與未考慮水力損失的仿真波形對(duì)比

由圖3可以看出，在未考慮水力損失的模型仿真圖中總體會(huì)比考慮水力損失的模型仿真圖稍大，這是因?yàn)樗p失在水輪機(jī)并網(wǎng)運(yùn)行當(dāng)中損耗了部分的能量，若不考慮損失，則不能很好地體現(xiàn)出水輪機(jī)并網(wǎng)運(yùn)行的輸入輸出特性。

4 結(jié)語

本文考慮了水輪機(jī)并網(wǎng)運(yùn)行時(shí)，水輪機(jī)內(nèi)部存在水力損失，提出了一種精細(xì)化的水輪機(jī)閥門模型，并且考慮到混流式、軸流式水輪機(jī)存在水力振動(dòng)，提出了通過多目標(biāo)函數(shù)模型來精細(xì)化水力損失函數(shù)。結(jié)合了改進(jìn)型粒子群算法進(jìn)行模型辨識(shí)，通過自適應(yīng)與根軌跡分析來提高粒子群算法的收斂性與精度。考慮水力損失的水輪機(jī)模型有很高的精度，通過仿真驗(yàn)證了模型的可行性。

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