張茂竹，陳華友，韓 冰，江 瑩

ZHANG Maozhu,CHEN Huayou,HAN Bing,JIANG Ying

安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601

School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China

1 引言

多屬性決策過程就是決策者對若干方案的決策信息進(jìn)行建模和擇優(yōu)[1]。在實(shí)際的決策過程中，由于人類思維的模糊性[2]以及客觀世界的復(fù)雜性、不確定性，決策者對事物的評(píng)價(jià)往往以語言信息的形式給出。目前，已有一些文獻(xiàn)[3-6]提出了若干語言信息集成算子的概念。文獻(xiàn)[3]提出二元語義的Heronian平均算子和運(yùn)算法則；文獻(xiàn)[4]利用合作對策的方法探討了語言信息的群決策模型。文獻(xiàn)[5]給出廣義語言有序加權(quán)對數(shù)平均算子的概念；文獻(xiàn)[6]定義了語言環(huán)境下的廣義Power算子。但是隨著研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)語言評(píng)價(jià)信息的集成結(jié)果往往會(huì)超出語言術(shù)語集的范圍，從而在不同程度上造成了信息的丟失，進(jìn)而導(dǎo)致決策結(jié)果不夠精確。為了克服語言信息在運(yùn)算過程中信息丟失的缺陷，Herrera[7]把語言術(shù)語變量通過一個(gè)表達(dá)式化為等價(jià)的二元語義信息。文獻(xiàn)[8]提出二元語義信息集結(jié)的有序加權(quán)平均算子和有序加權(quán)幾何平均算子的概念，并證明了該算子的數(shù)學(xué)性質(zhì)，文獻(xiàn)[9]利用二元語義OWA算子集結(jié)不同粒度語言判斷矩陣的應(yīng)用于語言偏好形式群決策信息，文獻(xiàn)[10]拓展冪平均（PA）算子到二元語義信息環(huán)境，提出多種二元語義PA算子及其有序加權(quán)形式。文獻(xiàn)[11-12]在Choquet積分和二元語義基礎(chǔ)上提出了廣義二元關(guān)聯(lián)平均算子以及相應(yīng)的誘導(dǎo)集成算子?？紤]到在信息集成的過程中各屬性兩兩之間的相互影響，文獻(xiàn)[13]給出了二元語義Bonferroni平均算子和組合加權(quán)形式的算子的概念。

在運(yùn)用語言信息進(jìn)行評(píng)價(jià)的過程中，由于受到各種主客觀因素的制約，決策者所給出的語言評(píng)價(jià)信息往往介于兩個(gè)語言評(píng)價(jià)值之間，為此需要研究區(qū)間二元語義信息的集成方法和不確定的決策應(yīng)用。針對這種情況，本文將二元語義Bonferroni平均（2TLBA）算子推廣到區(qū)間二元語義的情形，提出了區(qū)間二元語義值Bonferroni平均（I2TLBA）算子及其加權(quán)平均形式，并提出了組合形式區(qū)間二元語義值加權(quán)Bonferroni平均算子，并討論了它們的性質(zhì)和幾種特殊情況，并給出了基于C-I2TLWBA算子的多屬性群決策模型、步驟和應(yīng)用實(shí)例。

2 基本概念

定義2.1[14]稱為語言術(shù)語集，其中si為具體的語言術(shù)語，i=1,2,…,g，g為偶數(shù)，S中元素的數(shù)目g+1稱為語言術(shù)語集的粒度，記為||S=g+1。

通常，語言術(shù)語集S應(yīng)滿足如下性質(zhì)：

（1）有序性：若 i≥j，則 si≥sj。

（3）存在極大化和極小化運(yùn)算：若si≥sj，則

例如，一個(gè)粒度為9的語言術(shù)語集可表示為：

S={s0=極差，s1=非常差，s2=很差，s3=差，s4=中等，s5=好，s6=很好，s7=非常好，s8=極好}。

語言術(shù)語集在信息集成過程中容易造成信息的損失，為此引入二元語義的概念[7]。

定義2.2[7]設(shè)實(shí)數(shù)為二元語義信息集，則稱函數(shù)為二元語義轉(zhuǎn)換函數(shù)，即，其中β由下式確定：

其中round為取整算子，si∈S,α稱為符號(hào)轉(zhuǎn)移值。

反之，二元語義轉(zhuǎn)換函數(shù)Δ的反函數(shù)Δ-1：S×可以將二元語義符號(hào)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)信息，即

顯然，對于任意的語言評(píng)價(jià)短語si∈S，均可將其直接轉(zhuǎn)化成二元語義值，即：si=(si,0)。

（2）若 i=j，那么：

（1）若 i＞j，則

在實(shí)際的決策過程中，決策者給出的屬性評(píng)價(jià)結(jié)果往往介于兩個(gè)語言評(píng)價(jià)值之間，為此引入如下概念：

定義2.3[15]令S={s0,s1,…,sg}為語言術(shù)語集，若，且滿足：

為了對兩個(gè)區(qū)間二元語義值進(jìn)行排序擇優(yōu)，下面給出其大小比較的可能度定義。

定義2.4[16]設(shè)為兩個(gè)區(qū)間二元語義值，則的可能度為：

定義 2.5[16]設(shè)為兩個(gè)區(qū)間二元語義值，關(guān)于區(qū)間二元語義的比較有如下結(jié)果：

（2） 當(dāng)且僅當(dāng)

Bonferroni平均的特點(diǎn)是在信息集成的過程中考慮到數(shù)據(jù)之間的相互影響，其定義如下：

定義2.6[17]設(shè) p,q≥0，且實(shí)數(shù)集合滿足ai≥0，i=1,2,…,n，若

則稱函數(shù)B為Bonferroni平均算子。

3 區(qū)間二元語義Bonferroni集成算子的概念及性質(zhì)

為了對區(qū)間語言變量進(jìn)行有效集成，有必要提出新的信息表達(dá)形式的集成算子。

定義3.1設(shè)

為一組區(qū)間二元語義值，若

則稱I2TLBAp,q為區(qū)間二元語義Bonferroni平均算子，其中 p,q≥0。

根據(jù)定義3.1的式（6），容易證明，I2TLBA算子具有下述性質(zhì)。

性質(zhì)3.1（冪等性）若n個(gè)區(qū)間二元語義值均相等，即：

則有：

性質(zhì)3.2（單調(diào)性）設(shè)兩個(gè)區(qū)間二元語義值滿足：

則有：

下面介紹幾種I2TLBA算子的特殊情況。

則I2TLBAp,0算子簡化為區(qū)間廣義二元語義平均算子。則I2TLBA2,0算子簡化為區(qū)間二元語義平方平均算子。

則I2TLBA1,0算子簡化為為區(qū)間二元語義平均算子。

（4）當(dāng) p=1,q=1時(shí)：

則I2TLBA1,1算子簡化為區(qū)間二元語義相關(guān)平方平均算子。

考慮到被集結(jié)的區(qū)間二元語義信息具有不同的重要性程度，現(xiàn)對I2TLBA算子進(jìn)行推廣，為此引入加權(quán)形式的算子。

4 組合形式的區(qū)間二元語義值加權(quán)Bonferroni平均算子

I2TLWBA算子應(yīng)用的范圍是集成n維區(qū)間二元語義值，群決策需要集成多組相應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，為此提出新的算子概念。

定義4.1設(shè)

為t組二元語義值，若

則稱C-I2TLWBAω,λ為組合形式區(qū)間加權(quán)二元語義值的Bonferroni平均算子，記為C-I2TLWBA算子。其中ω=為加權(quán)向量中第 k大的元素，這里 λ=(λ1,λ2,…,λt)T是相應(yīng)的權(quán)重向量t稱為平衡因子。

模糊語義量化算子[18]給出加權(quán)向量的求法。C-I2TLWBA算子既考慮了區(qū)間二元語義值的重要性，又考慮了所在位置的重要性。

5 基于C-I2TLWBA算子的群決策方法

在不確定語言環(huán)境中，考慮到各個(gè)屬性之間的相互影響，各個(gè)屬性以及決策者均具有不同的重要性，在基于I2TLWBA算子和C-I2TLWBA算子的基礎(chǔ)之上，提出了如下多屬性群決策模型和步驟。

多屬性群決策問題可以描述為：設(shè)X={X1,X2,…,Xm}為備選方案集，u={u1,u2,…,un}為屬性集，w=(w1,w2,…,wn)T為屬性權(quán)重向量，屬性u(píng)i所對應(yīng)的重要性程度為wi，滿足為專家集合為專家的權(quán)重向量，滿足。專家dk∈D給出方案Xi∈X在屬性u(píng)j下的偏好關(guān)系為，從而專家 dk給出的決策矩陣為，其中 i=1,2,…,m;j=1,2,…,n ；k=1,2,…,t。

步驟3利用C-I2TLWBA算子對k位專家給出的決策方案的綜合屬性值進(jìn)行集成，得到方案Xi的二元語義群體評(píng)價(jià)值。滿足ωk∈[ ]0,1，中第k大的元素。

6 實(shí)例分析

設(shè)某足球隊(duì)中有5名后備球員，由于主力球員受傷，現(xiàn)在想從5名球員中選擇1名球員去參加比賽，用來表示5名球員，在對5名球員進(jìn)行綜合評(píng)估時(shí)，所要考慮的屬性有u1（技術(shù)），u2（經(jīng)驗(yàn)），u3（心理），u4（傷?。?U={ }u1,u2,u3,u4表示?，F(xiàn)請3位專家D={ }d1,d2,d3對5位球員進(jìn)行評(píng)估，專家對球員的評(píng)價(jià)用下面的決策矩陣表示。設(shè)語言術(shù)語集為：

{s0=極差，s1=非常差，s2=很差，s3=差，s4=中等，s5=好，s6=很好，s7=非常好，s8=極 }好。

下面利用本文提出的方法對備選方案進(jìn)行排序擇優(yōu)：

步驟1將區(qū)間決策矩陣化為區(qū)間二元語義決策矩陣，得：

步驟2令 p=1,q=1，利用I2TLWBA算子進(jìn)行集成

步驟3利用C-I2TLWBA算子對3位專家的意見進(jìn)行集成，專家的權(quán)重為，根據(jù)模糊語義量化算子“大多數(shù)”[18]，可得，則有：

步驟4根據(jù)式（4），對每個(gè)方案的二元語義群體評(píng)價(jià)值利用區(qū)間二元語義可能度公式進(jìn)行排序，從而有：

因此，第一名球員為最合適的替補(bǔ)人選。

7 結(jié)束語

本文給出了區(qū)間二元語義Bonferroni平均算子及其相應(yīng)的加權(quán)平均形式、組合平均形式的算子的若干概念，探討了它們的一些重要的性質(zhì)。Bonferroni平均算子可以考慮信息之間的相互關(guān)系，能有效地利用信息。

在不確定語言環(huán)境下的區(qū)間二元語義的多屬性群決策信息的集成為區(qū)間二元語義Bonferroni組合平均形式的算子提供了很好的應(yīng)用領(lǐng)域。基于區(qū)間二元語義信息后備球員的評(píng)價(jià)實(shí)例表明所構(gòu)建的模型和方法是合理有效的。

在不確定語言環(huán)境下，除了Bonferroni平均算子可以考慮信息之間的相互關(guān)系之外，未來可進(jìn)一步研究相應(yīng)的Power平均算子和Heronian平均算子，并有必要研究他們各自的特點(diǎn)和適用范圍。

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