季策，祝雯靖，魏穎，賈佃霞

（1. 東北大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110169；2. 東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110004）

1 引言

正交頻分復(fù)用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）是一種多載波調(diào)制技術(shù)，由于其具有較高的頻譜利用率和較強(qiáng)的抗多徑干擾能力等優(yōu)點(diǎn)，得到了普遍應(yīng)用[1]。但是，OFDM信號(hào)是由多個(gè)子載波信號(hào)進(jìn)行疊加而得到的，因此，它會(huì)產(chǎn)生很高的峰均功率比（PAPR,peak to average power ratio）[2]。峰均功率比過(guò)大，勢(shì)必會(huì)增加系統(tǒng)對(duì)線性功率放大器的線性放大要求，使射頻功率放大器的效率大幅降低[3]。因此，學(xué)者們從多方面進(jìn)行研究與分析，提出了一些有效降低PAPR的方法。

當(dāng)前，降低OFDM系統(tǒng)PAPR的技術(shù)主要包括預(yù)畸變類(lèi)[4]、編碼類(lèi)[5]、概率類(lèi)技術(shù)[6,7]等。概率類(lèi)技術(shù)中的選擇性映射（SLM,selective mapping）算法將隨機(jī)產(chǎn)生的M個(gè)相位序列與原始OFDM信號(hào)進(jìn)行點(diǎn)乘，對(duì)M個(gè)信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉逆變換（IFFT,inverse fast Fourier transform）后，選擇時(shí)域信號(hào)中PAPR最小的一路進(jìn)行傳輸[8]。

基于轉(zhuǎn)移矩陣的SLM算法[9,10]，即T-SLM算法，通過(guò)加入轉(zhuǎn)移矩陣以產(chǎn)生更多的時(shí)域備選序列，達(dá)到改善PAPR性能的目的，但是其計(jì)算復(fù)雜度會(huì)有所增加，且 T-SLM 算法需要傳輸所選最優(yōu)序列的所有相位信息，系統(tǒng)傳輸效率較低。針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，本文在T-SLM算法的基礎(chǔ)上，提出了轉(zhuǎn)移矩陣和混沌序列相結(jié)合的TL-SLM算法，以達(dá)到在改善PAPR性能的同時(shí)降低邊帶信息的目的。但是此算法PAPR降低的幅度有限，因此，在TL-SLM算法的基礎(chǔ)上，又提出了引入旋轉(zhuǎn)向量的TR-SLM算法，使系統(tǒng)能夠產(chǎn)生更多的時(shí)域備選信號(hào)，進(jìn)而大幅降低系統(tǒng)的PAPR，仿真結(jié)果表明了上述算法的有效性。

2 OFDM系統(tǒng)及傳統(tǒng)的SLM算法

假設(shè)一個(gè) OFDM 系統(tǒng)中包含N個(gè)子載波，用表示 OFDM 系統(tǒng)的輸入信號(hào)。用表示 OFDM 時(shí)域信號(hào)序列，則x可表示為[11]

其中，n= 1 ,2,…,N，L為采樣系數(shù)。

信號(hào)的PAPR定義為[12]

通常情況下，使用互補(bǔ)累積分布函數(shù)（CCDF,complementary cumulative distribution function）來(lái)描述PAPR的分布情況，其數(shù)學(xué)計(jì)算式為

OFDM系統(tǒng)中發(fā)射機(jī)的信號(hào)可以表示為

設(shè)Q為IFFT矩陣，則Q具有以下形式。

存在M個(gè)不同的、長(zhǎng)度為N的相位旋轉(zhuǎn)向量，其表示形式如下

圖1 傳統(tǒng)SLM算法原理

3 改進(jìn)的SLM算法

3.1 TL-SLM算法

T-SLM算法利用轉(zhuǎn)移矩陣和IFFT后的信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，矩陣運(yùn)算的原理如圖2所示。

圖2 加入矩陣運(yùn)算的原理

s和si分別是頻域信號(hào)S=X和Si=RiX經(jīng)過(guò)IFFT之后的信號(hào)。Ri為向量γi對(duì)應(yīng)的相位變換矩陣，其計(jì)算式為

式(8)中的 Si也可以表示為

由圖2可知式(11)成立。

由于IFFT矩陣Q是可逆的，由式(11)可得

由式(12)得，可用轉(zhuǎn)移矩陣 Ti來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)SLM算法的IFFT模塊，有

由文獻(xiàn)[9]知，轉(zhuǎn)移矩陣 Ti可以表示為

t1= [ 1,1,-1,1]T為轉(zhuǎn)移矩陣 Ti的第一列向量 pi的非0元素，由 t1得到基向量 pi為

根據(jù)式(14)和式(15)，由列向量 pi進(jìn)行循環(huán)移位得到矩陣 Ti。

為了減少傳統(tǒng)SLM算法及上述T-SLM算法邊帶信息的傳輸，本文提出了混沌序列與轉(zhuǎn)移矩陣相結(jié)合的 TL-SLM 算法，該算法使用混沌序列代替T-SLM算法中的隨機(jī)相位序列?；鞚嵝蛄衃13]的映射方式有很多種，如 Logistic映射、Chebyshev映射和Tent映射等。本文使用的混沌序列采用了Logistic映射，該映射是在實(shí)際系統(tǒng)中存在的最簡(jiǎn)單的非線性差分方程，計(jì)算式為

其中， μ ∈ [ 0,2]，Lk∈(- 1 ,1)。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)μ∈ [1 .40015,2]時(shí)，系統(tǒng)工作于混沌狀態(tài)，產(chǎn)生的序列為混沌序列[14]。此時(shí)的 TL-SLM 算法中的相位因子是混沌序列l(wèi)，由于混沌序列的特性，只需設(shè)定一個(gè)初始值，就可以通過(guò)迭代得到整個(gè)相位序列，此時(shí)，傳輸過(guò)程中的邊帶信息只包含一個(gè)初始值，遠(yuǎn)少于傳統(tǒng)SLM算法和T-SLM算法，提高了系統(tǒng)的傳輸效率。TL-SLM算法的原理如圖3所示。

圖3 TL-SLM算法的原理

3.2 TR-SLM算法

為了進(jìn)一步改善系統(tǒng)的PAPR性能，本文又提出了TR-SLM算法，該算法的原理是在TL-SLM算法的基礎(chǔ)上引入旋轉(zhuǎn)向量G[15]，從而增加時(shí)域備選信號(hào)的多樣性，達(dá)到進(jìn)一步降低系統(tǒng)PAPR的目的。

本文使用了2種旋轉(zhuǎn)向量，第一種旋轉(zhuǎn)向量 Ga是1×LN維的向量，Ga可由2個(gè)基向量組成，基向量形式為

第二種旋轉(zhuǎn)向量Gb也是1× LN維的向量，Gb可由2個(gè)基向量組成，基向量形式為

由于旋轉(zhuǎn)向量由2個(gè)基向量構(gòu)成，并且根據(jù)卷積的線性性質(zhì)，候選信號(hào)序列可以表示為

其中，?LN代表LN點(diǎn)的卷積運(yùn)算，可由向右循環(huán)移位ma次得到。同理得到通過(guò)第二種旋轉(zhuǎn)向量產(chǎn)生的候選信號(hào)序列y(mb)。

由式(21)并結(jié)合TL-SLM算法，給出TR-SLM算法的原理如圖4所示。

TR-SLM算法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下。

1) 將原始信號(hào)X進(jìn)行串并變換。

2) 將混沌序列l(wèi)i={L0,L1,…,LN-1},i=1,…,M與原始信號(hào)X進(jìn)行點(diǎn)乘，得到表示相同數(shù)據(jù)信息的M路信號(hào)。

3) 點(diǎn)乘后的M路信號(hào)經(jīng)過(guò)IFFT。

4) 經(jīng)過(guò)IFFT后的信號(hào)分別通過(guò)轉(zhuǎn)移矩陣和旋轉(zhuǎn)向量，生成3M路信號(hào)，因此，總時(shí)域備選信號(hào)數(shù)目為4M。

5) 從4M路時(shí)域備選信號(hào)中選擇PAPR最小的信號(hào)傳輸。

因此，TR-SLM算法產(chǎn)生的時(shí)域備選信號(hào)集合yall可表示為

4 性能分析

4.1 計(jì)算復(fù)雜度

假設(shè)M為IFFT個(gè)數(shù)，則傳統(tǒng)SLM算法、T-SLM算法、TL-SLM算法、TR-SLM算法的復(fù)雜度如表1所示。

混沌序列的產(chǎn)生需要2(LN- 1)次復(fù)數(shù)乘法和LN-1次復(fù)數(shù)加法，轉(zhuǎn)移矩陣和旋轉(zhuǎn)向量的復(fù)雜度均為3LN次復(fù)數(shù)加法。表1中后2種算法相比于前2種算法復(fù)數(shù)乘法次數(shù)的增加主要源于混沌序列的生成。但是就產(chǎn)生備選信號(hào)序列的數(shù)目而言，TL-SLM算法是傳統(tǒng)SLM算法的2倍，TR-SLM算法是傳統(tǒng)SLM算法的4倍、是TL-SLM算法的2倍。由 4.2節(jié)的仿真可以看出，TL-SLM 算法和TR-SLM算法在降低了邊帶信息傳輸?shù)耐瑫r(shí)，改善了PAPR性能。因此，TL-SLM算法和TR-SLM算法增加少量計(jì)算復(fù)雜度是可以接受的。

4.2 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性，對(duì)幾種算法進(jìn)行了Matlab仿真對(duì)比，仿真參數(shù)設(shè)置如下。調(diào)制方式為QPSK調(diào)制，采樣率L為4，子載波數(shù)N為128，仿真OFDM信號(hào)數(shù)為10 000。

圖5給出了當(dāng)M= 16時(shí)，OFDM系統(tǒng)經(jīng)過(guò)傳統(tǒng)SLM算法、T-SLM算法、TL-SLM算法及TR-SLM算法的CCDF性能曲線。由圖5可知，T-SLM算法降低OFDM系統(tǒng)PAPR的效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)SLM算法；TL-SLM算法相比于T-SLM算法，性能略有改善；TR-SLM算法相比于T-SLM算法，性能有大幅度的提升。TR-SLM算法降低OFDM系統(tǒng)PAPR的效果明顯優(yōu)于T-SLM算法和TL-SLM算法。

圖4 TR-SLM算法的原理

表1 4種SLM算法的復(fù)雜度對(duì)比

圖6給出了當(dāng)M分別取4、16、64時(shí)，TL-SLM算法和TR-SLM算法的CCDF性能曲線。由圖6可知，TL-SLM算法和TR-SLM算法的PAPR隨著M的增加而減小，與傳統(tǒng)SLM算法PAPR隨著備選信號(hào)數(shù)量的增加而減小的趨勢(shì)一致。

圖 7為M= 128時(shí)，幾種算法的系統(tǒng)誤碼率（BER,bit error rate）的對(duì)比。由圖7可知，傳統(tǒng)SLM算法、T-SLM算法、TL-SLM算法及TR-SLM算法的 BER曲線接近相互重合，由此可以進(jìn)一步證明本文所提算法的有效性。

圖5 M= 16時(shí)，幾種算法的PAPR性能比較

圖6 當(dāng)M取值不同時(shí)，TL-SLM和TR-SLM的CCDF曲線

圖7 M= 128時(shí)，幾種算法的誤碼率性能比較

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了2種改進(jìn)的SLM算法，使用混沌序列代替隨機(jī)相位序列，減少邊帶信息的傳輸，同時(shí)引入旋轉(zhuǎn)向量與IFFT后的信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)時(shí)域備選信號(hào)數(shù)量的擴(kuò)充，進(jìn)一步降低系統(tǒng)的

PAPR。本文引入的旋轉(zhuǎn)向量只增加了部分復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，沒(méi)有增加復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算。仿真結(jié)果表明，與T-SLM算法相比，TR-SLM算法和TL-SLM算法都進(jìn)一步降低了系統(tǒng)的PAPR，并且誤碼率保持基本不變。

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