張曉建

(邵陽學院 理學與信息科學系, 湖南 邵陽 422004)

0 引 言

研究如下形式的二階非線性廣義Emden-Fowler型變時滯微分方程的振蕩性：

[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，t≥t0

(1)

其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u(λ>0,β>0為實常數(shù))；a,p,q∈C([t0,+∞),R)；f∈C(R,R)且當u≠0時，uf(u)>0.并總假設(shè)以下條件成立：

(H1)a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.

(H3) 當u≠0時f(u)/u≥L(這里常數(shù)L>0).

方程(1)的解及其振蕩性定義可參見文獻[1-2]. 由于時滯泛函微分方程在自然科學和工程技術(shù)中應(yīng)用廣泛，近年來，變時滯的中立型泛函方程的定性理論(特別是解的振蕩和非振蕩性、漸近性等)研究引起了國內(nèi)外學者的極大興趣[1-15]. 如黃記洲等[3]、曾云輝等[4]分別在條件

(2)

和

(3)

下研究了二階Emden-Fowler型微分方程

{a(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|λ-1[x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=0

(4)

的振蕩性，得到了方程(4)的若干新的振蕩準則. 值得注意的是，文獻[3-4]有限制條件：

a′(t)≥0， 0≤p(t)<1，

(5)

本文可看作文獻[1]或[5]的延續(xù). 文獻[1]在條件(2)下研究了方程(1)的振蕩性，得到了方程(1)振蕩的一些新準則，這些振蕩準則改進了現(xiàn)有文獻中的一些結(jié)果(如去掉了限制條件(5)，在λ≤β和λ>β時均有方程(1)的振蕩準則，在特殊情形即λ=β時提高了精確度等). 文獻[5]又在一定程度上改進了文獻[1]中定理1的結(jié)論，得到以下結(jié)果：

定理[5]設(shè)條件(H1)～(H3)及式(2)成立，0≤p(t)≤p0<+∞(其中常數(shù)p0≥0)，若有函數(shù)φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得當λ≤β時，

(6)

當λ>β時，

其中，常數(shù)T≥t0充分大，η>0，

函數(shù)Q(t)及Ψ(t,t1)的定義如下：

Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，

t1≥t0，

則方程(1)是振蕩的.

值得注意的是，由于受條件0≤p(t)<1的限制，文獻[3-4]的結(jié)果不能用于下列方程(其中常數(shù)ρ0>0):

因為不滿足條件(2)，所以文獻[1,5]中的定理對上述方程也不適用.

本文的目的是利用廣義的雙Riccati(黎卡提)變換及不等式分析技巧，在條件(3)下建立方程(1)振蕩的一些新的準則，以改進和豐富現(xiàn)有文獻中的一系列結(jié)果.

1 方程的振蕩準則

引理1[1]設(shè)A>0，B>0，α>0均為常數(shù)，則當x>0時，

(8)

定理1設(shè)條件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0為常數(shù))，如有函數(shù)φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得當λ≤β時式(6)成立，當λ>β時式(7)成立，并且

+∞，

(9)

函數(shù)

Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，

則方程(1)是振蕩的.

證明反證法: 設(shè)方程(1)有一個最終正解x(t)(當方程(1)有一個最終負解x(t)時類似可證)，則存在t1≥t0，使得當t≥t1時，x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0. 由文獻[1]或[5]中定理1的證明知，函數(shù)a(t)φ1(z′(t))嚴格單調(diào)減小且最終定號，從而z′(t)最終為正或為負，因此只需考慮下列2種情形：

(i)z′(t)>0(t≥t1)； (ii)z′(t)<0(t≥t1).

情形(i)z′(t)>0(t≥t1). 由文獻[5]中定理1的證明知，方程(1)是振蕩的.

情形(ii)z′(t)<0(t≥t1).

首先，定義函數(shù)v(t)為

(10)

則v(t)<0(t≥t1). 由于a(t)φ1(z′(t))=a(t)×[-z′(t)]λ-1z′(t)是單調(diào)遞減，則有

a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ-1z′(τ(t))≥

a(t)[-z′(t)]λ-1z′(t)，

即a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ≤a(t)[-z′(t)]λ，

亦即

注意到z′(t)<0，于是由式(10)可得

(11)

其次，定義函數(shù)w(t)為

則w(t)<0(t≥t1)，用與上面類似的方法可得

(12)

由文獻[1]或文獻[5]中定理1的證明知，下式仍然成立：

-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.

于是，利用z(δ(t))≥z(t)，并綜合式(11)和(12)，可得

-L0Q(t)zβ-λ(t)-

(13)

若λ>β，則由z(t)>0，z′(t)<0(t≥t1)知，z(t)≤z(t1)，即zβ-λ(t)≥zβ-λ(t1)=k.

若λ=β，則zβ-λ(t)=1.

若λ<β，則由a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)單調(diào)減小，當s≥t1時，有

a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤

a(t1)(-z′(t1))λ-1z′(t1)=-M，

在上式中令u→+∞，得

即

zβ-λ(t)≥kζβ-λ(t)，

其中k=M(β-λ)/λ>0是常數(shù).

綜合上述3種情形及函數(shù)π(t)的定義，由式(13)，有

(14)

上式兩邊同時乘以ζλ(t)，再從t1到t(t≥t1)積分，并利用ζ′(t)=-a-1/λ(t)及式(8)可得

即

(15)

此外，再次利用a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)的單調(diào)遞減性，對s≥t≥t1，有

a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)，

即

兩邊對s從t到u(u≥t)積分，得

從而

令u→+∞，則有

因此，

于是由函數(shù)w(t)的定義知，

-1≤w(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.

(16)

同理可得

-1≤v(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.

(17)

結(jié)合式(16)、(17)，由式(15)得

這與條件(9)矛盾. 定理證畢.

定理2設(shè)條件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0為常數(shù))，如有函數(shù)φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得當λ≤β時式(6)成立，當λ>β時式(7)成立，并且

(18)

其中函數(shù)Q(t)，π(t)及ζ(t)的定義同定理1，則方程(1)是振蕩的.

證明前面部分的證明完全同定理1，可得式(14)、(16)和(17). 現(xiàn)將式(14)兩邊同時乘以ζλ+1(t)，再從t1到t(t≥t1)積分，注意到ζ′(t)=-a-1/λ(t)，則有

ζλ+1(t)(-w(t))+ζλ+1(t1)w(t1)+

(19)

利用式(16)，可得

|ζλ+1(t)(-w(t))|≤|ζλ(t)w(t)|ζ(t)≤

ζ(t)<+∞，

類似地，利用式(17)，可得

于是，由式(19)得

這與條件(18)矛盾. 定理證畢.

例1考慮方程

(E)

其中ρ0>0為常數(shù). 相當于方程(1)中a(t)=t2，

q(t)=ρ0，p(t)=1+sint，f(u)=u，τ(t)=δ(t)=t/2，λ=β=1，t0=1.顯然有

現(xiàn)取φ(t)=t，t1=1，則

取T=3，則1/2≤Ψ(t,t1)≤1. 注意到L0=1，τ0=1/2，p0=2，于是，當ρ0>1.5時，

且

因此，由定理1知,當ρ0>1.5時方程(E)是振蕩的.

注1實際上，上述計算還可進一步精確. 如取T=3.5，則0.6≤Ψ(t,t1)≤1，當ρ0>1.25時,

于是，由定理1知,當ρ0>1.25時,方程(E)是振蕩的.

注2由于不滿足條件(2)，因此文獻[1,5,9-10]中的結(jié)論對方程(E)不適用，又因不滿足條件0≤p(t)<1，則文獻[3-4]中的結(jié)果也不能用于方程(E)，其他文獻如[2,6-8]中的定理也不能用于方程(E).

參考文獻(References)：

[1] 楊甲山. 二階Emden-Fowler型非線性變時滯微分方程的振蕩準則[J].浙江大學學報(理學版), 2017,44(2)： 144-149.

YANG J S. Oscillation of certain second-order Emden-Fowler-type variable delay neutral differential equations[J].JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition), 2017,44(2)： 144-149.

[2] AGARWAL R P, BOHNER M, LI W T.NonoscillationandOscillation：TheoryforFunctionalDifferentialEquations[M]. New York： Marcel Dekker,2004.

[3] 黃記洲, 符策紅. 廣義Emden-Fowler方程的振動性[J].應(yīng)用數(shù)學學報, 2015,38(6)： 1126-1135.

HUANG J Z, FU C H. Oscillation criteria of generalized Emden-Fowler equations[J].ActaMathematicaeApplicataeSinica, 2015,38(6)： 1126-1135.

[4] 曾云輝, 羅李平, 俞元洪. 中立型Emden-Fowler時滯微分方程的振動性[J].數(shù)學物理學報, 2015,35(4)： 803-814.

ZENG Y H, LUO L P, YU Y H. Oscillation for Emden-Fowler delay differential equations of neutral type[J].ActaMathematicaScientia, 2015, 35(4)： 803-814.

[5] 楊甲山, 方彬. 二階廣義Emden-Fowler型微分方程的振蕩性[J].華中師范大學學報(自然科學版), 2016,50(6)： 799-804.

YANG J S, FANG B. Oscillation of certain second-order generalized Emden-Fowler-type differential equations[J].JournalofCentralChinaNormalUniversity(NaturalSciences), 2016,50(6)： 799-804.

[6] HASANBULLI M, ROGOVCHENKO Y V. Oscillation criteria for second order nonlinear neutral differential equations[J].AppliedMathematicsandComputation, 2010,215(12)： 4392-4399.

[7] YANG J S,QIN X W, ZHANG X J. Oscillation criteria for certain second-order nonlinear neutral delay dynamic equations with damping on time scales [J].MathematicaApplicata, 2015,28(2)： 439-448.

[8] AGARWAL R P, BOHNER M, LI T X, et al. Oscillation of second-order Emden-Fowler neutral delay differential equations[J].AnnaliDiMatematicaPuraEdApplicata, 2014,193(6)： 1861-1875.

[9] 楊甲山. 具非線性中立項的二階變時滯微分方程的振蕩性[J].華東師范大學學報(自然科學版), 2016(4)： 30-37.

YANG J S. Oscillation of second-order variable delay differential equations with nonlinear neutral term[J].JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScience), 2016(4)： 30-37.

[10] 崔萍. 一類新的廣義Emden-Fowler方程的振動準則[J].西南師范大學學報(自然科學版), 2016,41(1)： 1-10.

CUI P. On oscillation of new generalized Emden-Fowler equation [J].JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition),2016,41(1)： 1-10.

[11] 楊甲山. 具可變時滯的二階非線性中立型泛函微分方程的振動性[J].浙江大學學報(理學版), 2016,43(3)： 257-263.

YANG J S. Oscillation of certain second-order nonlinear neutral functional differential equations with variable delay[J].JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition), 2016,43(3)： 257-263.

[12] 于強, 楊甲山. 二階非線性變時滯中立型微分方程的振蕩性分析[J].安徽大學學報(自然科學版), 2016, 40(4)： 22-29.

YU Q,YANG J S. Oscillation analysis of second-order nonlinear variable delay neutral differential equations[J].JournalofAnhuiUniversity(NaturalScienceEdition), 2016, 40(4)： 22-29.

[13] 楊甲山, 黃勁. 時間模上一類二階非線性動態(tài)方程振蕩性的新準則[J].華東師范大學學報(自然科學版),2015,2015(3)： 9-15.

YANG J S, HUANG J. New criteria for oscillation of certain second-order nonlinear dynamic equations on time scales[J].JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScience), 2015,2015(3)： 9-15.

[14] 楊甲山,方彬.時間模上一類二階非線性中立型泛函動態(tài)方程的振蕩性[J].內(nèi)蒙古師范大學學報(自然科學漢文版), 2016,45(5)： 603-609.

YANG J S, FANG B. Oscillation for certain second-order nonlinear neutral functional dynamic equations on time scales[J].JournalofInnerMongoliaNormalUniversity(NaturalScienceEdition), 2016,45(5)： 603-609.

[15] 楊甲山, 張曉建. 具阻尼項的二階擬線性泛函差分方程的振蕩性判別準則[J].浙江大學學報(理學版) ,2015,42(3)： 276-281.

YANG J S, ZHANG X J. Oscillation criteria for a class of second order quasi-linear functional difference equation with damping[J].JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition), 2015,42(3)： 276-281.