■范運(yùn)靈

一、任意角

重難點(diǎn)主要有任意角的概念、終邊相同的角、角的終邊對(duì)稱問(wèn)題、象限角的確定、區(qū)域角的表示和任意角的應(yīng)用等。

例 1 求所有與角-210°終邊相同的角的集合,并求出其中的最小正角、最大負(fù)角。

分析:寫出角的集合→給k賦值→確定符合條件的角。

因?yàn)?-210°=-360°+150°,所以與-210°終邊相同的角的集合為{α|α=k·360°+150°,k∈Z}。其中最小正角為150°,最大負(fù)角為-210°。

注意:①α為任意角;②k·360°與α之間是“+”號(hào),k·360°-α可理解為k·360°+(-α);③相等的角終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍;④k∈Z這一條件不能少。

二、任意角的三角函數(shù)

重難點(diǎn)主要有三角函數(shù)定義的應(yīng)用、三角函數(shù)的定義域和值域、三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)、三角函數(shù)線的應(yīng)用、用單位圓解決三角函數(shù)問(wèn)題等。

分析:求出sinα→分類討論各種情況。

當(dāng)y=0時(shí),sinα=0,cosα=-1,tanα=0。

①三角函數(shù)值是比值,是一個(gè)實(shí)數(shù),其大小和點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置無(wú)關(guān),只與角α的終邊位置有關(guān)。②符號(hào)sinα、cosα或tanα是一個(gè)整體,離開(kāi)“α”,“sin”“cos”或“tan”不表示任何意義,更不能把“sinα”當(dāng)成“sin”與“α”的乘積。③誘導(dǎo)公式的實(shí)質(zhì)是說(shuō)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等,作用是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0～2π(或0°～360°)之間的角的三角函數(shù)值。

三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

重難點(diǎn)主要有利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值、化簡(jiǎn)、證明,弦切互化,與sinα±cosα,sinαcosα有關(guān)的求值,與參數(shù)有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題。

(sinβ-cosβ)2=1-2sinβcosβ=

因?yàn)閟inβcosβ＜0且0＜β＜π,所以sinβ＞0,cosβ＜0。于是sinβ-cosβ=。

①靈活運(yùn)用公式(sinα±cosα)2=1±2sinα·cosα求解。②同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,它的精髓在“同角”二字上,如sin22α+cos22α=1=tan8α等都成立。③已知角α的某一種三角函數(shù)值,求角α的其余三角函數(shù)值時(shí),要注意選擇合理的公式。一般先選用平方關(guān)系,再用商數(shù)關(guān)系。在應(yīng)用平方關(guān)系求sinα或cosα?xí)r,其正、負(fù)號(hào)是由角α所在的象限決定的,切不可憑想象亂寫公式。進(jìn)行三角函數(shù)式的求值時(shí),要細(xì)心觀察題目的特征,靈活、恰當(dāng)?shù)剡x用公式,統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關(guān)系變形的出發(fā)點(diǎn)。

四、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

重難點(diǎn)主要有正(余)弦、正切函數(shù)圖像的作法和性質(zhì),定義域、值域及正(余)弦函數(shù)的最值,與其他函數(shù)的綜合運(yùn)用。

例 4 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)調(diào)函數(shù),求ω和φ的值。

分析:求出φ值→得出k,ω的范圍→分類討論所有情況。

因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以y軸是其對(duì)稱軸,即x=0時(shí)函數(shù)取得最大值或最小值。故f(0)=sinφ=±1。又因0≤φ≤π,故φ=。由f(x)的k∈Z。

①正、余弦曲線在研究正、余弦函數(shù)的性質(zhì)中有著非常重要的應(yīng)用,是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)。②“五點(diǎn)法”是畫三角函數(shù)圖像的基本方法,與“五點(diǎn)法”作圖有關(guān)的問(wèn)題是高考常考的試題。

五、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像

重難點(diǎn)主要有φ、ω、A(φ≠0,ω＞0且ω≠1,A＞0且A≠1)對(duì)y=Asin(ωx+φ),x∈R的圖像的影響,y=sinx的圖像與y=Asin(ωx+φ)的圖像的關(guān)系,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的各量的物理意義,以及由圖像確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式。

圖1

(1)求函數(shù)f(x)的解析式。

(2)如何由函數(shù)y=2sinx的圖像通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q得到函數(shù)f(x)的圖像,寫出變換過(guò)程。

分析:(1)根據(jù)圖像推出ω和f(x)的解析式。(2)根據(jù)三角函數(shù)變換法則進(jìn)行變換。

由y=sinx的圖像通過(guò)變換可得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像,其變化途徑有兩條:一y=Asin(ωx+φ)。

三角函數(shù)的重難點(diǎn)除上文提到的外,還有三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,也是一個(gè)難點(diǎn),同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①明確各誘導(dǎo)公式的作用:公式一的作用是將任意角轉(zhuǎn)化為0～2π之間的角求值,公式二的作用是將0～2π之間的角轉(zhuǎn)化為0～π之間的角求值,公式三的作用是將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值,公式四是將角轉(zhuǎn)化為0～之間的角求值。②誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“角變名不變,符號(hào)看象限”,其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱一致,符號(hào)則是將α看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào)。將α看成銳角,只是為了方便公式記憶,實(shí)際上α可以是任意角。誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“k·±α(k∈Z)”的誘導(dǎo)公式。當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),得α的同名函數(shù)值;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),得α的異名函數(shù)值,在前面加一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。誘導(dǎo)公式統(tǒng)一成“k·±α(k∈Z)”后,記憶口訣為“奇變偶不變,符號(hào)看象限”。

提示:因?yàn)榻铅潦堑诙笙藿?所以k·360°+90°＜α＜k·360°+180°(k∈Z),即2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°(k∈Z),故2α是第三或第四象限角或終邊在y軸的非正半軸上。因?yàn)閗·180°+45°＜＜k·180°+90°(k∈Z),當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),在第一象限,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)在第三象限,故為第一或第三象限角。