楊瑞麗，郭 瑩

（沈陽工業(yè)大學(xué)，遼寧 沈陽 110870）

0 引 言

聲學(xué)回聲一直是影響通信質(zhì)量的關(guān)鍵問題[1-2]。目前，典型的回聲消除器的設(shè)計(jì)是假設(shè)回聲路徑是線性的，可以采用有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器進(jìn)行建模。然而，近幾年，隨著低成本的小型設(shè)備在免提手機(jī)和視頻會(huì)議等應(yīng)用中廣泛使用，放大器和揚(yáng)聲器引入的非線性回聲問題日益嚴(yán)峻[3-4]。這種非線性回聲難以由傳統(tǒng)的線性回聲消除器消除，且回聲路徑中存在非線性會(huì)限制線性濾波器的性能，干擾聲學(xué)脈沖響應(yīng)的正確估計(jì)，降低語音信號(hào)的感知質(zhì)量[5-6]。因此，如何消除非線性回聲日益成為信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[7-10]。

非線性可以粗略分為兩種類型：有記憶非線性和無記憶非線性。當(dāng)揚(yáng)聲器機(jī)電系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)大于采樣率時(shí)，有記憶非線性通常出現(xiàn)在高質(zhì)量音頻設(shè)備中[11]，而無記憶非線性則通常出現(xiàn)在移動(dòng)設(shè)備的低成本功率放大器或揚(yáng)聲器中[12]。

以Volterra濾波器為代表的有記憶非線性回聲消除方法的權(quán)系數(shù)數(shù)目，會(huì)隨著記憶長(zhǎng)度、階次的增加而大幅度增多，導(dǎo)致計(jì)算量增大，收斂速度減慢，難以得到實(shí)際應(yīng)用。而無記憶濾波器的計(jì)算成本很低，且模型設(shè)計(jì)較為靈活，實(shí)際應(yīng)用將相對(duì)便捷。因此，本文采用無記憶非線性濾波器和FIR濾波器的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)來建模非線性系統(tǒng)。其中，無記憶非線性濾波器用來模擬非線性器件，而FIR濾波器用來模擬線性聲學(xué)回聲路徑。

此外，噪聲問題是所有通信系統(tǒng)中無法避免的問題。除了普遍存在的高斯噪聲外，在語音信號(hào)處理、實(shí)時(shí)交通檢測(cè)等環(huán)境中，也廣泛存在著非高斯噪聲[13]。這些非高斯噪聲的強(qiáng)沖激性嚴(yán)重影響了基于l2范數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則的自適應(yīng)濾波算法的性能，從而導(dǎo)致采用此類算法的回聲消除系統(tǒng)性能退化甚至失效。同時(shí)，在免提通話、視頻會(huì)議等通信場(chǎng)合中存在著回聲，其回聲路徑往往具有稀疏特性，而結(jié)合系統(tǒng)的稀疏特性可有效降低算法計(jì)算量。因此，本文將文獻(xiàn)[14]修正的改進(jìn)比例歸一化最小均方誤差（Mdoified Improved Proportionate Normalized Least Mean Square，MIPNLMS）算法中的比例矩陣的思想融合到符號(hào)算法（Sign Algorithm，SA）中，提出一種更穩(wěn)健的新算法，即修正的改進(jìn)比例歸一化符號(hào)算法（Modified Improved Proportionate Normalized Sign Algorithm，MIPNSA），并將該算法應(yīng)用到非線性回聲消除系統(tǒng)里的線性濾波器，實(shí)現(xiàn)了在各種環(huán)境噪聲背景下都具有適用性的低復(fù)雜度的非線性回聲消除方案。

1 級(jí)聯(lián)方案

本文采用如圖1所示的Hammerstein模型級(jí)聯(lián)方式，將非線性濾波器和線性濾波器進(jìn)行級(jí)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)回聲消除。前端的自適應(yīng)無記憶非線性濾波器用于模擬由放大器與揚(yáng)聲器構(gòu)成的非線性模型，其后的線性FIR濾波器用于模擬線性聲學(xué)回聲路徑。

圖1 Hammerstein模型

本文采用的基于Hammerstein模型的無記憶非線性回聲消除方案，如圖2所示。圖2中，x(n)為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，s^(n)為非線性濾波器的輸出，也是線性濾波器的輸入，y^(n)為線性濾波器的輸出，u^(n)為非線性濾波器的輸入，a為非線性器件參數(shù)，h為線性回聲路徑，v(n)為背景噪聲，d(n)為系統(tǒng)的期望信號(hào)。

具體參數(shù)如下：

x(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-L+1)]T表示系統(tǒng)的輸入向量；

圖2 本文采用的無記憶非線性回聲消除級(jí)聯(lián)方案

對(duì)于無記憶非線性濾波器，本文采取一種級(jí)數(shù)展開的截?cái)嗄Ｐ蛠砻枋?，即?/p>

其中，f (a^(n),x(n))表示非線性器件的非線性變換函數(shù)，aj( j=1,2…p)為相應(yīng)n時(shí)刻的參數(shù)矢量，由實(shí)際中揚(yáng)聲器的非線性特性和放大器的輸出功率確定。

非線性濾波器的輸出s^(n)通過輸入xi(n)（i=1,2,…,P）和非線性濾波器參數(shù)的線性組合得到。而FIR濾波器的輸出

由式（1）可以推導(dǎo)出n時(shí)刻對(duì)應(yīng)的非線性濾波器的輸出s^(n)，即線性濾波器的輸入為：

其中：

非線性濾波器的輸入向量u^(n)由式（4）表示：

這里：

由式（2）、式（3）、式（4）可以得到：

本文所用的兩個(gè)濾波器的自適應(yīng)算法采用基于MMSE準(zhǔn)則的NLMS算法，分別求取非線性和線性的殘余誤差能量e2(n)的梯度值。

非線性殘余誤差能量e2(n)的梯度值為：

其中，誤差信號(hào)：

所以，綜合式（1）和式（4）可得出非線性濾波器系數(shù)的級(jí)聯(lián)NLMS迭代方程：

其中，歸一化步長(zhǎng)參數(shù)為：

φ為一個(gè)小的正參量，是為了避免大的步長(zhǎng)參數(shù)趨于未知方向。

因此，式（10）可以改寫為：

相似地，由誤差信號(hào)e(n)可求得線性殘余誤差能量e2(n)的梯度值為：

其中，誤差信號(hào)e(n)=d(n)-h^T(n)s^(n)

所以，線性濾波器系數(shù)的迭代方程可以表示為：

其中，歸一化步長(zhǎng)參數(shù)為：

2 非高斯噪聲條件下的新算法

以上所作分析和推導(dǎo)均是在高斯噪聲背景下進(jìn)行的。然而，實(shí)際應(yīng)用中，非線性回聲消除系統(tǒng)的背景噪聲不一定都呈高斯分布，非高斯噪聲同樣廣泛存在，如由于自然因素（如颶風(fēng)、宇宙電磁波脈沖、雷電、太陽磁暴、天電干擾等）和人為因素（如報(bào)警器、電動(dòng)機(jī)、柴油機(jī)、發(fā)動(dòng)機(jī)、發(fā)電機(jī)等）的影響，噪聲往往呈現(xiàn)出強(qiáng)脈沖性，其分布比高斯分布具有更厚重的拖尾。這里，本文采用α穩(wěn)定分布來描述非高斯噪聲[15]。

非高斯噪聲具有較強(qiáng)的脈沖性，嚴(yán)重影響了基于l2范數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則的自適應(yīng)濾波算法的性能，而符號(hào)算法則對(duì)脈沖噪聲具有很好的抑制效果[15]。同時(shí)，考慮到語音通信系統(tǒng)中回聲路徑的稀疏特性，因此將比例矩陣的思想融入到符號(hào)算法中。

在非高斯噪聲背景下，已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用的符號(hào)算法（NSA）[16]的迭代公式為：

其中,x(n)是系統(tǒng)的輸入向量，h(n)是濾波器系數(shù)向量，e(n)是誤差信號(hào)，μ是固定的步長(zhǎng)參數(shù)。

現(xiàn)有的IPNLMS算法[15]對(duì)系統(tǒng)稀疏性具有良好的適應(yīng)能力，其迭代更新方程為：

其中，G(n)為IPNLMS算法中的對(duì)角矩陣，ζ、φ分別表示正參數(shù)。

因此，考慮到回聲路徑的稀疏特性和非高斯噪聲的干擾，將IPNLMS中的系數(shù)比例矩陣融入到符號(hào)算法SA中，即將式（17）與式（16）相結(jié)合，可得到IPNSA算法，其迭代方程為：

其中，G(n)為IPNSA算法中的對(duì)角矩陣，ζ、φ分別表示正參數(shù)。

由式（17）可知，IPNLMS算法的收斂速度會(huì)受到比例項(xiàng)權(quán)重的影響，但其比例項(xiàng)的權(quán)重與系統(tǒng)稀疏度之間的關(guān)系尚不清晰，仍然沒有明確的措施來決定該參數(shù)值，導(dǎo)致算法性能未能達(dá)到最優(yōu)。而文獻(xiàn)[14]通過仿真實(shí)驗(yàn)得出一種關(guān)于比例項(xiàng)權(quán)重與系統(tǒng)稀疏度之間較為明確的關(guān)系，提出了一種修正的IPNLMS（MIPNLMS）算法。本文則將該算法中的比例矩陣思想融入到SA中，從而得到MIPNSA的迭代公式。具體分析過程如下。

MIPNLMS算法面對(duì)的主要問題是如何將系統(tǒng)稀疏度轉(zhuǎn)化為數(shù)值，以便將系統(tǒng)稀疏度與權(quán)值的最優(yōu)值聯(lián)系起來，進(jìn)而說明系統(tǒng)稀疏度與比例項(xiàng)權(quán)重的最優(yōu)值之間的關(guān)系，而式（19）解決了該問題。

其中，L表示h的長(zhǎng)度，||h||1和||h||2分別表示h的L1范數(shù)和L2范數(shù)，分別定義如下：

S(h)表示系統(tǒng)脈沖響應(yīng)即回聲路徑h的稀疏度，數(shù)值范圍為[0,1]。

S(h)數(shù)值的轉(zhuǎn)換可以通過β=(α+1)/2得到，其中α的轉(zhuǎn)換范圍是從[-1,1)到[0,1)，具體表示為：

其中，γ和δ分別表示正參數(shù)。

由式（19）、式（22）、式（23）可得到該算法中的對(duì)角矩陣K(n)：

綜上可得，MIPNLMS算法的迭代更新方程為：

將式（25）與式（16）結(jié)合，可得MIPNSA的迭代更新方程：

綜上所述，在非高斯噪聲背景下，本文提出的新算法的自適應(yīng)過程可以總結(jié)如下：

3 非高斯噪聲條件下的新算法

3.1 仿真條件

實(shí)驗(yàn)中，分別采用兩種形式的輸入信號(hào)進(jìn)行MATLAB仿真，即隨機(jī)輸入信號(hào)和語音輸入信號(hào)。仿真中，無記憶非線性濾波器的階數(shù)取3，F(xiàn)IR濾波器的長(zhǎng)度和線性聲學(xué)回聲路徑的長(zhǎng)度一致，均為128。非線性信道是由前置方程和線性聲學(xué)回聲路徑構(gòu)成。其中，無記憶非線性系數(shù)向量定義為a=[1.0,0.1,0.33]T，線性聲學(xué)回聲路徑可以由式（32）產(chǎn)生[17]：

其中，n,i=0,1,…,L-1，L為脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度，r(n)為[-0.2,0.2]的隨機(jī)數(shù)，δ為Dirac函數(shù)，本文中L取128。初始化時(shí)，a^(n)與h^(n)不同，h^(n)初始化為零向量，而a^(n)初始化為a^(n)=[1,0,…,0]T。

由圖3可以看出，回聲路徑具有稀疏性的特點(diǎn)，其中只有少部分的系數(shù)具有較大數(shù)值，而大部分系數(shù)的數(shù)值很小，幾乎等于零。

圖3 聲學(xué)回聲路徑脈沖響應(yīng)h

3.2 性能指標(biāo)和參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)是使算法處于等效步長(zhǎng)[15]的條件下進(jìn)行的，且以權(quán)誤差向量范數(shù)（Weight Error Vector Norm，WEVN）和均方誤差（Mean Square Error，MSE）的收斂曲線來評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的好壞。

非線性系數(shù)的WEVN表達(dá)式為：

線性系數(shù)的WEVN表達(dá)式為：

WEVN的值越小，說明自適應(yīng)濾波器越逼近于所跟蹤的未知系統(tǒng)。

MSE的值愈小，則意味著殘留回波愈少，即回聲消除的效果愈好。

高斯環(huán)境下，信噪比的設(shè)置為：

非高斯環(huán)境下，廣義信噪比的設(shè)置為：

其中γ為分散系數(shù)。

本文高斯條件下的信噪比設(shè)置為20 dB，非高斯條件下的信噪比同樣設(shè)置為20 dB，且非高斯噪聲取α=1.5條件下的α穩(wěn)定分布噪聲。

實(shí)驗(yàn)中級(jí)聯(lián)方案采用的各類算法的參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 級(jí)聯(lián)方案采用不同迭代算法時(shí)的參數(shù)設(shè)置

3.3 仿真結(jié)果分析

本文實(shí)驗(yàn)是在公平原則[15]下進(jìn)行的，且為了避免偶然性，每個(gè)仿真都是30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的平均結(jié)果。在以下各類算法的對(duì)比仿真圖中，由于本文應(yīng)用于非線性濾波器的自適應(yīng)算法保持不變，只改變線性濾波器所采用的自適應(yīng)算法，所以圖例名稱指的是應(yīng)用于線性濾波器的各種算法。

3.3.1 隨機(jī)信號(hào)作為輸入

仿真中采用均值為零的高斯白噪聲作為系統(tǒng)的隨機(jī)輸入信號(hào)。

（1）高斯噪聲條件下本文方案與傳統(tǒng)線性濾波方案的性能比較

表2中，N為二階Volterra濾波器的線性項(xiàng)長(zhǎng)度，則非線性項(xiàng)長(zhǎng)度為N(N+1)/2-1，類似可推算出3階Volterra濾波器的總長(zhǎng)度為M=N+N(N+1)/2+N(N+1)(N+2)/6。其中，P為無記憶多項(xiàng)式濾波器的階數(shù)，L為FIR濾波器的長(zhǎng)度。

表2 兩種非線性濾波器的計(jì)算復(fù)雜度

由圖4和表2可以看出，本文級(jí)聯(lián)方案的穩(wěn)態(tài)誤差值要比傳統(tǒng)線性濾波方案大概高出10 dB。此外，與基于Volterra濾波器的方法相比，本文方法的計(jì)算量明顯大幅度降低。

圖4 兩種方案在級(jí)聯(lián)NLMS算法下的性能比較

（2）高斯噪聲條件下各算法性能比較

圖5、圖6分別表示在高斯噪聲條件下，線性系數(shù)和非線性系數(shù)采用以下2種方法的WEVN收斂曲線，而各算法參數(shù)設(shè)置如表1所示。

①非線性濾波器采用NSA算法，線性濾波器同樣采用NSA算法，即圖中1號(hào)線；

②非線性濾波器采用NSA算法，線性濾波器采用本文提出的MIPNSA算法，即圖中2號(hào)線。

圖5 高斯噪聲條件下線性系數(shù)的收斂曲線

圖6 高斯噪聲條件下非線性系數(shù)的收斂曲線

由圖5和圖6可以看出，在高斯噪聲背景下，雖然應(yīng)用于非線性濾波器的自適應(yīng)算法保持不變，但線性系數(shù)收斂性能得到改進(jìn)的同時(shí)，非線性系數(shù)的收斂性能也得到了改善。同樣說明，本文算法MIPNSA在高斯噪聲背景下依然有效，且在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面要優(yōu)于傳統(tǒng)算法NSA。

（3）非高斯噪聲條件下各算法性能比較

圖7、圖8分別表示在非高斯噪聲條件下，線性系數(shù)和非線性系數(shù)采用以下4種方法的WEVN收斂曲線，而各算法參數(shù)設(shè)置如表1所示。

①非線性濾波器采用NLMS算法，線性濾波器同樣采用NLMS算法，即圖中1號(hào)線；

②非線性濾波器采用NSA算法，線性濾波器同樣采用NSA，即圖中2號(hào)線；

③非線性濾波器采用NSA算法，線性濾波器采用IPNSA算法，即圖中3號(hào)線；

④非線性濾波器采用NSA算法，線性濾波器采用本文提出的新算法MIPNSA，即圖中4號(hào)線。

圖7 非高斯噪聲條件下線性系數(shù)的收斂曲線

圖8 非高斯噪聲條件下非線性系數(shù)的收斂曲線

由圖7、圖8可以看出，在非高斯噪聲背景下，傳統(tǒng)的NLMS算法失效。同時(shí)，與NSA、IPNSA相比，本文MIPNSA算法性能最佳，穩(wěn)態(tài)誤差改善明顯。

（4）各算法的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

各算法的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比如表3所示（P表示非線性濾波器長(zhǎng)度，L表示線性濾波器長(zhǎng)度）由表3可得，本文改進(jìn)的新算法（MIPNSA）雖然計(jì)算復(fù)雜度略微高于傳統(tǒng)算法，但是從圖5、圖6、圖7和圖8中可以看出，其收斂速度和穩(wěn)態(tài)性能都要優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

表3 各算法的計(jì)算復(fù)雜度

3.3.2 語音信號(hào)作為輸入

當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為真實(shí)的語音信號(hào)時(shí)，其采用采樣頻率為4 kHz、樣本長(zhǎng)度為20 000的非平穩(wěn)語音信號(hào)，如圖9所示。其他條件與高斯白噪聲作為輸入信號(hào)時(shí)保持一致，各算法的仿真參數(shù)設(shè)置與表1保持一致。

圖9 語音信號(hào)

由圖10、圖11、圖12、圖13可以看到，不管是在高斯噪聲環(huán)境下還是在非高斯噪聲環(huán)境下，當(dāng)輸入信號(hào)為語音信號(hào)時(shí)，線性濾波器系數(shù)和非線性濾波器系數(shù)的收斂曲線能夠真實(shí)反映本文提出的級(jí)聯(lián)方案和本文算法MIPNSA的真實(shí)效果。雖然語音信號(hào)的非平穩(wěn)特性會(huì)導(dǎo)致算法的收斂性能有所降低，但仿真結(jié)果仍然能夠驗(yàn)證本文方案的可行性和有效性。

圖10 高斯噪聲條件下線性系數(shù)的收斂曲線

圖11 高斯噪聲條件下非線性系數(shù)的收斂曲線

圖12 非高斯噪聲條件下線性系數(shù)的收斂曲線

圖13 非高斯噪聲條件下非線性系數(shù)的收斂曲線

4 結(jié) 語

通過以上理論分析和實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可以得出以下結(jié)論：（1）本文提出的非線性回聲消除方案比線性濾波方案的回聲消除效果好，其MSE對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差值高出約10 dB，且該方案的復(fù)雜度不高，有利于工程應(yīng)用的實(shí)現(xiàn)；（2）本文新算法MIPNSA對(duì)高斯噪聲和非高斯噪聲均具有良好的抑制能力；（3）通過明確系統(tǒng)的稀疏性與比例項(xiàng)權(quán)重之間的關(guān)系，新算法MIPNSA可以自動(dòng)控制比例項(xiàng)權(quán)重并進(jìn)行選值，從而進(jìn)一步改善了算法性能，且相比于傳統(tǒng)自適應(yīng)濾波算法，具有更佳的收斂速度和穩(wěn)態(tài)性能。

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