鄧逸飛， 鄧中民， 柯 薇

(武漢紡織大學(xué) 紡織纖維及制品教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430073)

隨著人們生活水平的提高，對(duì)于羊毛衫的要求除保暖之外，更多的在于追求時(shí)尚。在購買羊毛衫時(shí)，其花型品種的多樣性具有決定性作用。而在設(shè)計(jì)羊毛衫的過程中，由于成圈、集圈、移圈和浮線這4種基本線圈結(jié)構(gòu)的相互組合，使組織搭配變得多種多樣[1]。但是通過手工方式設(shè)計(jì)羊毛衫繁瑣且復(fù)雜[2]，因?yàn)椴煌€圈組合后整個(gè)組織的結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變，當(dāng)組合改變，也許是1個(gè)線圈的位置變換或是線圈數(shù)量的增減，可使得整個(gè)結(jié)構(gòu)發(fā)生很大改變。正是因?yàn)榻M織搭配的多樣性和復(fù)雜性[3]，現(xiàn)有的羊毛衫CAD系統(tǒng)都是通過意匠圖設(shè)計(jì)花型[4-5]，但不能體現(xiàn)出真實(shí)的紗線結(jié)構(gòu)與變形，造成仿真的效果并不理想。

近年來，針織物的仿真和變形模擬[6-8]取得了很大的進(jìn)步:Peirce模型及其衍生紗線模型、結(jié)構(gòu)可控的非均勻有理B樣條曲線、NURBS曲線、彈簧質(zhì)點(diǎn)模型[9]等都被應(yīng)用到針織物仿真與變形研究中，但是對(duì)于直接使用線圈模型設(shè)計(jì)羊毛衫花型少有研究。本文構(gòu)建羊毛衫的成圈、集圈、移圈和浮線的線圈結(jié)構(gòu)模型，在此基礎(chǔ)上研究不同線圈組合后的組織結(jié)構(gòu)，并推導(dǎo)出紗線排列邏輯關(guān)系，利用 VC++將組織搭配的過程數(shù)據(jù)化，完成了羊毛衫CAD的基礎(chǔ)開發(fā)，運(yùn)用彈簧質(zhì)點(diǎn)模型模擬織物內(nèi)部不同組織相互作用下產(chǎn)生的變形，基于OpenGL使二維模型具有三維仿真效果。使用線圈模型設(shè)計(jì)羊毛衫花型，在設(shè)計(jì)花型的過程中可直觀地體現(xiàn)織物紗線的排列規(guī)律，并能夠進(jìn)行準(zhǔn)確的變形模擬，使仿真效果更加真實(shí)。

1 線圈模型

1.1 羊毛衫的基本組織

羊毛衫的基本花紋組織除成圈外，有集圈、移圈、浮線[10]。集圈組織是緯編針織物中花色組織的1種，結(jié)構(gòu)單元是線圈和懸弧，其中集圈線圈不成圈，只是套在上1個(gè)線圈的針編弧上形成懸弧，通過集圈組織的不同放置可形成較多的花色效應(yīng)。移圈組織是通過轉(zhuǎn)移線圈部分形成的組織，其在轉(zhuǎn)移過程中，線圈結(jié)構(gòu)、線圈圈干都有一定的傾斜，而且針編弧的合并處有重疊。浮線屬于緯編花式組織，編織時(shí)紗線在某些織針上不參加編織而在舊線圈背面形成浮線，一般浮線不宜太長。

1.2 羊毛衫線圈模型的建立

本文在Peirce線圈模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，采用7個(gè)控制點(diǎn)對(duì)線圈的形狀進(jìn)行定義，分別繪制沉降弧P0P1、P5P6，針編弧P2P3、P3P4和圈干P1P2、P4P5。將圈干簡化成直線，貝塞爾(Bezier)曲線部分就是沉降弧和針編弧，模型如圖1所示。

圖1 成圈模型Fig.1 Loop model. (a) Peirce classic loop model; (b) Improved loop model

實(shí)際操作中以屏幕左下角為原點(diǎn)，為方便描述，假設(shè)圖 1(b)中網(wǎng)格左下頂點(diǎn)為原點(diǎn)。圖中h為圈高，w為圈距。根據(jù)織物實(shí)際形狀并參考文獻(xiàn)[11],結(jié)合程序多次驗(yàn)證，最后利用SPSS進(jìn)行回歸分析得到最優(yōu)數(shù)據(jù)，從而確定圖中相應(yīng)控制點(diǎn)的位置坐標(biāo)為：P0(0，-0.14h)；P1(0.39w，0.16h)；P2(0.13w，0.86h)；P3(0.50w，1.19h)；P4(0.87w，0.86h)；P5(0.63w，0.16h)；P6(w，-0.14h)。

1.3 Bezier曲線的應(yīng)用

假定紗線在織物上呈現(xiàn)的是一段自由曲線，因Bezier 曲線與自由曲線的特征能夠較好吻合，且多段拼接的Bezier曲線可展現(xiàn)出連續(xù)的線圈路徑，甚至可構(gòu)造出花式紗線形態(tài)輪廓等復(fù)雜自由曲線，因此，本文用三階Bezier 曲線繪制羊毛衫線圈模型的曲線部分。

三階Bezier曲線[12]由4個(gè)點(diǎn)定義：B0、B1、B2和B3，其中B0為起始點(diǎn)，B3為終止點(diǎn)，B1和B2為Bezier 曲線的中間點(diǎn)，為曲線提供走向趨勢(shì)，曲線并不會(huì)經(jīng)過B1和B2。隨著參數(shù)t在0到1之間取不同的值，點(diǎn)B會(huì)不斷變化位置，其軌跡就是Bezier 曲線。以沉降弧P0P1的繪制為例，點(diǎn)P0(x0,y0) 作為Bezier 曲線的起點(diǎn)，P1(x1,y1)作為終點(diǎn)。繪制線圈模型如圖2所示。

圖2 Bezier曲線繪制線圈模型Fig.2 Loop model drawn by bezier curve

另外2個(gè)中間點(diǎn)，通過輸入表示曲線彎曲程度的參數(shù)b，可由式(1)、(2)計(jì)算出其坐標(biāo)位置(見圖2 中A和C)。為簡化模型，構(gòu)造的4個(gè)點(diǎn)為矩形的4個(gè)頂點(diǎn)。

(1)

(2)

式中：H為線段AP0的距離，即矩形的寬；W為線段P0P1的距離，即矩形的長。通過二元二次方程組求解點(diǎn)A(xA,yA)和C(xC,yC)的坐標(biāo)，方程有2組解，根據(jù)點(diǎn)的位置關(guān)系，可舍去1組解。沉降弧P0P1段的表達(dá)式由三階Bezier曲線公式的參數(shù)方程得出。

(3)

式中：t為取值在0到1之間的參數(shù)；x(t)和y(t)為對(duì)應(yīng)t取值的橫縱坐標(biāo)，表示的點(diǎn)的軌跡為沉降弧P0P1。其余弧線部分的繪制與此類似。

1.4 其他組織的模型建立

圖3 集圈模型Fig.3 Tuck stitch model

2 組織搭配的設(shè)計(jì)

2.1 編織圖的數(shù)學(xué)模型

成圈、集圈、浮線和移圈是緯編針織物的基本線圈結(jié)構(gòu)單元，不同形式的組合構(gòu)成了各種緯編單面復(fù)合組織。在計(jì)算機(jī)中為方便準(zhǔn)確地描述各種組織，本文利用二維數(shù)組的方法[13]，將各種狀態(tài)的線圈存儲(chǔ)在數(shù)組中，以此構(gòu)建編織圖的數(shù)學(xué)模型，并引用二維網(wǎng)格的概念，實(shí)現(xiàn)線圈單元以數(shù)字的形式進(jìn)行存儲(chǔ)，智能地在網(wǎng)格的二維區(qū)域內(nèi)進(jìn)行織物設(shè)計(jì)。建立二維數(shù)組Z

式中：i=1,2,3，…，n;j=1,2,3，…，m;zi，j表示二維網(wǎng)格在第i行、第j列，同時(shí)也表示此位置上線圈的狀態(tài)。定義zi，j=0表示成圈線圈，zi，j=1表示浮線，zi，j=2表示集圈線圈，Zi，j=3表示右移1個(gè)針距的移圈線圈，zi，j=4表示右移2個(gè)針距的移圈線圈，依此類推。

將成圈線圈看作是基本線圈，默認(rèn)狀態(tài)下所有線圈為成圈線圈，即二維數(shù)組中每個(gè)元素的值都為0。通過改變目標(biāo)線圈對(duì)應(yīng)的數(shù)組中元素的值，即可得到所需要的組織。圖4示出一個(gè)3×3的二維數(shù)組所代表的組織。正中間的網(wǎng)格在數(shù)組中的位置為zi,j，使zi,j=3得到移圈線圈，其上方zi,j=0、右邊zi+1,j=0、右上角zi+1,j-1=0、左下角zi+1,j=0等表示移圈組織周圍的成圈組織。并且可觀察到，其上方zi,j-1處的成圈線圈，根部圈干由于沒有線圈握持會(huì)向兩邊張開。

圖4 二維數(shù)組與線圈的關(guān)系圖Fig.4 Relation between array and loop

2.2 控制點(diǎn)的變化

圖5 集圈線圈組合圖Fig.5 Loop combination photo

對(duì)于集圈組織下方的成圈組織，會(huì)在集圈位置進(jìn)行成圈，于是將部分控制點(diǎn)上移某幾個(gè)圈高h(yuǎn)的高度。上移的圈高個(gè)數(shù)取決于成圈線圈上方有多少個(gè)連續(xù)的集圈。若有m個(gè)，則上移m-1個(gè)圈高h(yuǎn)。圖5中zi，j+1和zi+1，j+1處的成圈組織，就是將部分控制點(diǎn)的縱坐標(biāo)增加了1個(gè)圈高h(yuǎn)的高度。

控制點(diǎn)主要就是以圈距w和圈高h(yuǎn)為基本單位進(jìn)行改變，將改變后的控制點(diǎn)用直線或者曲線擬合成線圈，就得到需要的組織結(jié)構(gòu)。

2.3 紗線排列的邏輯

由于緯編織物組織復(fù)雜多變，4種組織搭配后的結(jié)果多不勝數(shù)，考慮出每種搭配后紗線的排列關(guān)系不太現(xiàn)實(shí)，所以，本文通過大量數(shù)據(jù)分析和實(shí)物參考，綜合出了1套關(guān)于組織搭配的基本邏輯關(guān)系原則：1)每1橫行紗線的運(yùn)動(dòng)軌跡最低點(diǎn)是所對(duì)應(yīng)二維網(wǎng)格左下角頂點(diǎn)下方的P0點(diǎn)；2)線圈根部圈干沒有被握持會(huì)向左右兩邊張開；3)集圈兩側(cè)只有為成圈或移圈時(shí)，兩側(cè)的圈干才會(huì)被握持住形成沉降弧，否則圈干會(huì)浮起且浮起程度不同；4)移圈左右上方是集圈或者浮線時(shí)，其針編弧沒有握持點(diǎn)，會(huì)隨著成圈線圈向上移動(dòng)；5)同1橫行的2個(gè)相鄰的成圈線圈，無論二者之間有多少移圈、集圈或者浮線組織，它們的沉降弧都會(huì)經(jīng)過P0點(diǎn)，即紗線終會(huì)回歸。利用此邏輯關(guān)系在VC++平臺(tái)上設(shè)計(jì)出相應(yīng)的算法用于CAD系統(tǒng)的開發(fā)。圖6示出不同組織搭配后的組織結(jié)構(gòu)模型。

圖6 不同線圈組合后的紗線排列圖Fig.6 Yarns arrangement photo of different loops combined.(a)Leno；(b)Fish scale pattern

3 基于彈簧質(zhì)點(diǎn)的變形分析

3.1 羊毛衫線圈的變形機(jī)制

羊毛衫織物在實(shí)際生產(chǎn)過程中，使用不同的紗線材料、不同的規(guī)格或者調(diào)整編織工藝都會(huì)改變織物的結(jié)構(gòu)。這是由紗線之間的相互作用而產(chǎn)生的，織物中紗線處于彎曲狀態(tài)，由彼此之間牽拉形成特殊的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)；而且緯編針織物由于花型的不同，其線圈形態(tài)也不一樣。在有移圈、集圈、浮線的情況下，組織由于某些線圈的拉伸和偏移，并不是保持理想的線圈形態(tài)，而是發(fā)生一定的變形。本文主要通過分析織物內(nèi)部線圈由于不同組織相互作用下產(chǎn)生形變時(shí)，對(duì)這種形變狀態(tài)進(jìn)行模擬研究。

3.2 彈簧質(zhì)點(diǎn)模型

在織物變形研究中，彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型[14]運(yùn)用的比較廣泛，且模擬出的效果較好。本文也選取了此模型來研究線圈變形?？椢镏械膹椈少|(zhì)點(diǎn)模型是將織物假設(shè)為若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)的集合，各質(zhì)點(diǎn)間以彈簧的形式相連接，則織物間的相互作用表現(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)間的彈簧作用。彈簧主要分為3類：彎曲彈簧、結(jié)構(gòu)彈簧和剪切彈簧。

結(jié)構(gòu)彈簧描述了相鄰兩質(zhì)點(diǎn)間的連接形式，模擬織物拉伸時(shí)的受力，彈性系數(shù)很大，以阻止織物在經(jīng)緯2個(gè)方向過度的拉壓變形；柔性彈簧描述2個(gè)間隔相鄰的質(zhì)點(diǎn)間的連接形式，模擬織物彎曲受力，其彈性系數(shù)較小，在本文變形模擬中不予考慮；剪切彈簧描述了對(duì)角線上兩相鄰質(zhì)點(diǎn)間的連接形式，提供給織物1個(gè)剪切剛力，彈性系數(shù)較大，以阻止斜向的過度變形并模擬織物的伸展性。

圖7 線圈模型與彈簧質(zhì)點(diǎn)Fig.7 Relationship between loop and spring-mass

3.3 模型受力分析

在彈簧質(zhì)點(diǎn)模型中，質(zhì)點(diǎn)因其受到內(nèi)力和外力作用產(chǎn)生速度和位移。由于本文研究的是在織物內(nèi)部不同組織相互作用所產(chǎn)生的內(nèi)力而導(dǎo)致的變形，屬于二維靜態(tài)仿真，所以只考慮內(nèi)力的影響；內(nèi)力是足夠小的，可假設(shè)影響的范圍是以目標(biāo)網(wǎng)格為中心3×3個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)。

質(zhì)點(diǎn)所受到的內(nèi)力主要有彈簧力Fk和阻尼力Fd。假設(shè)質(zhì)點(diǎn)OI是通過彈簧與質(zhì)點(diǎn)OJ相連接的另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)OI所受該彈簧力Fk可由虎克定律式(4)計(jì)算得到，質(zhì)點(diǎn)OI和OJ之間彈簧的阻尼力可由式(5)計(jì)算得到，由于目標(biāo)質(zhì)點(diǎn)是與多個(gè)質(zhì)點(diǎn)相連接，根據(jù)式(6)可得到質(zhì)點(diǎn)PI所受的內(nèi)力。

(4)

(5)

(6)

根據(jù)牛頓第二定律建立質(zhì)點(diǎn)的受力運(yùn)動(dòng)模型，如式(7)、(8)所示，加速度是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)：

FI=mp·aI(t)

(7)

(8)

式中：FI表示質(zhì)點(diǎn)受到的合力；Fint(t)表示t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)受到的內(nèi)力；aI(t)表示t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量；XI表示t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移矢量。

3.4 模型求解

本文所需要得到的是變形后的最終效果，系統(tǒng)中沒有外力且內(nèi)力較小，是靜態(tài)的二維變形模擬，所以選用顯式歐拉方法求解動(dòng)力方程。該方法表示簡單，求解迅速，雖然精度不高，但是對(duì)于本模型已達(dá)到預(yù)期的效果。其公式為：

(9)

式中，Δt為選取的時(shí)間步長。在給出初始條件下，即t0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的受力與位移，以步長Δt進(jìn)行迭代運(yùn)算可知，初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移XI(t0)=0；改變組織的瞬間受力為初始受力FI(t0)，其值可參考有關(guān)文獻(xiàn)。

3.5 模型的約束條件

由于只有較小的內(nèi)力作用，質(zhì)點(diǎn)的位移不會(huì)很大。給予系統(tǒng)一定的約束條件，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在水平方向的位移ΔOx≤0.3w，在豎直方向的位移ΔOy≤0.3h。在給定的約束條件內(nèi)多次模擬，對(duì)比出最佳的線圈變形效果，此時(shí)終止迭代時(shí)間，獲得最終效果圖。

4 線圈變形及三維效果的實(shí)現(xiàn)

4.1 質(zhì)點(diǎn)對(duì)控制點(diǎn)的聯(lián)動(dòng)

上文中彈簧質(zhì)點(diǎn)模型模擬出了質(zhì)點(diǎn)的位移，對(duì)于線圈的變形需要控制點(diǎn)的改變。經(jīng)過多次模擬與數(shù)據(jù)分析，本文推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)與控制點(diǎn)的聯(lián)動(dòng)關(guān)系：1)控制點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向大致相同，當(dāng)二者的距離ΔSOP較小時(shí)，可認(rèn)為二者運(yùn)動(dòng)方向一致；2)控制點(diǎn)的位移大小與其和質(zhì)點(diǎn)之間的距離ΔSOP有關(guān)，設(shè)比例系數(shù)kOP∈[0,1]，則控制點(diǎn)在水平方向的位移ΔPx=kOP·ΔOx，豎直方向的位移ΔPy=kOP·ΔOy，且ΔSOP=0時(shí)，kOP=1；當(dāng)ΔSOP≥h或者ΔSOP≥w時(shí)，kOP=0。

本節(jié)以集圈線圈的變形過程為例，說明線圈的控制點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)聯(lián)動(dòng)的關(guān)系。圖8示出變形示意圖。初始狀態(tài)下，改變組織的瞬間質(zhì)點(diǎn)的受力方向及其速度與位移的方向如圖8(a)所示。將質(zhì)點(diǎn)O(i+1,j)與P3(0.50w，1.19h)相關(guān)聯(lián)，且O(i+1,j)的坐標(biāo)也為(0.50w，1.19h)，則可以得出O(i,j)(0.50w-w，1.19h)、O(i+2,j)(0.50w+w，1.19h)、O(i+1,j+1)(0.50w，1.19h-h)。經(jīng)過時(shí)間Δt后，質(zhì)點(diǎn)的位置從O(Ox,Oy)移動(dòng)到O′(Ox+ΔOx,Oy+ΔOy)，根據(jù)上述的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，相應(yīng)的成圈和集圈線圈的控制點(diǎn)同時(shí)發(fā)生運(yùn)動(dòng)。圖8(b)即為控制點(diǎn)移動(dòng)后的集圈與左半部分成圈線圈的變形。

圖8 線圈變形示意圖Fig.8 Schematic diagram of loop deformation.(a) Loop and tuck stitch before deformation;(b) Loop and tuck stitch after deformation

4.2 基于 VC++和OpenGL的三維效果實(shí)現(xiàn)

本文先利用VC++進(jìn)行二維建模，編譯CAD程序的基本雛形,然后在OpenGL上進(jìn)行模型的渲染，使線圈的最終變形模擬具有三維的仿真效果。圖9示出經(jīng)過OpenGL渲染正常的線圈模型和組織搭配后線圈變形的效果。

圖9 線圈三維仿真圖Fig.9 Three dimensional simulation of loop(a) Loop stitch simulation photo;(b) Stitch simulation photo after mixing and matching

5 結(jié) 論

本文基于羊毛衫線圈的結(jié)構(gòu)特征，建立模型設(shè)計(jì)組織搭配，提出使用線圈模型直接設(shè)計(jì)羊毛衫花型的新方法，相比傳統(tǒng)的意匠圖設(shè)計(jì)羊毛衫花型，可模擬出羊毛衫在內(nèi)力作用下線圈的變形，使仿真效果更加接近實(shí)物。

1)將1段完整的線圈模型切分成若干以控制點(diǎn)為端點(diǎn)的曲線，用Bezier曲線來建立屈曲形態(tài)并利用控制點(diǎn)將曲線擬合成線圈，運(yùn)用這種方法來繪制各種能滿足緯編針織物的線圈模型。使用分段的結(jié)構(gòu)和控制點(diǎn)能夠靈活地改變線圈模型的形態(tài)，這是在設(shè)計(jì)花型進(jìn)行組織搭配時(shí)，繪制復(fù)雜的線圈結(jié)構(gòu)關(guān)鍵所在。

2)針對(duì)羊毛衫織物花型的多變性及其設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，通過實(shí)物分析以及測(cè)試模擬，推導(dǎo)出一套關(guān)于組織搭配的原則和邏輯關(guān)系，并在VC++平臺(tái)編寫了相應(yīng)的算法，能比較準(zhǔn)確和完善地繪制出4種線圈的聯(lián)動(dòng)效果，實(shí)現(xiàn)了以線圈模型直接設(shè)計(jì)羊毛衫花型的CAD基礎(chǔ)開發(fā)。

3)利用彈簧質(zhì)點(diǎn)模型研究了羊毛衫由于不同組織相互作用產(chǎn)生的形變。通過由質(zhì)點(diǎn)的位移帶動(dòng)線圈控制點(diǎn)的改變，實(shí)現(xiàn)了線圈變形效果的模擬。并進(jìn)一步地利用OpenGL渲染二維模型，使變形后的線圈呈現(xiàn)出三維效果，實(shí)現(xiàn)了羊毛衫初步仿真。

FZXB

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