劉伯禹

（徐州市第一中學(xué),江蘇徐州，221000）

0 引言

近年來，隨著納米電子學(xué)迅猛的發(fā)展，電路的集成化程度大幅提高。電路及器件的微型化程度已經(jīng)達(dá)到了原子尺寸的數(shù)量級，出現(xiàn)了介觀尺度的電路，人們對介觀電路的量子效應(yīng)有了許多研究。人們主要研究了介觀電路中電荷和電流的量子效應(yīng)和在恒定直流信號作用下介觀電路系統(tǒng)的量子態(tài)。也有對于在脈沖信號作用下介觀LC電路量子態(tài)變化的研究。電流變化和電容變化均會導(dǎo)致勢能突變和電路能量的突變，而環(huán)境擾動導(dǎo)致的電容的變化少有研究。本文主要討論介觀LC回路和考慮電路內(nèi)阻的RLC回路中電容結(jié)構(gòu)變化所產(chǎn)生的影響。

1 介觀LC電路的量子化過程

對于無內(nèi)阻無源LC回路， LC回路的電路方程為：

參照一維諧振子方程，可以解得能量本征值為：

En對應(yīng)的本征態(tài)為：

其中

至此，我們通過類比諧振子，獲得了量子化的介觀LC回路方程的一般形式。

同時(shí)，介觀LC回路也可以被上升下降算符作用，并發(fā)生態(tài)的躍遷。對于本征態(tài)n?，有：

2 電容突變的影響

電路運(yùn)行時(shí)，環(huán)境擾動、信號脈沖或量子漲落等因素的影響，會造成電路能量的突變。能量突變可以是電流突變導(dǎo)致能級的改變，也可以是電容結(jié)構(gòu)變化導(dǎo)致電路的勢能突變。能級改變對電路的影響已經(jīng)有充分的討論，本文主要著重于討論電容結(jié)構(gòu)變化導(dǎo)致的勢能突變對電路的影響。電容結(jié)構(gòu)的改變?nèi)Q于環(huán)境因素和電容材料的選擇，選擇合適的電容結(jié)構(gòu)，可以使介觀量子電路的運(yùn)轉(zhuǎn)更為穩(wěn)定。

考慮電路電感不變的情形下，僅改變電容C，會造成哈密頓量中角頻率的變化。這里取t=0時(shí)刻，電容由C1變化為進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)電路角頻率由ω1變化到 ω2=2ω1。在突變前后，量子化電路的波函數(shù)可以分別表示為：

較大概率仍然停留在基態(tài)。同理可以計(jì)算其他量子態(tài)之間躍遷的概率：

將計(jì)算得到的概率列成表格，如表1所示。

概率 初態(tài)φ0 φ1 φ2末態(tài)ψ0 94.28% 0 5.23%ψ1 0 83.38% 0 ψ2 5.23% 0 65.47%

綜上，我們可以得出，介觀LC電路中，如果初始狀態(tài)不是基態(tài)，就有更大幾率躍遷到其他態(tài)。同時(shí)，穩(wěn)定系統(tǒng)應(yīng)該盡量使量子態(tài)態(tài)處于低能級，這也符合物理學(xué)中的能量最低原理。

3 回路維持初態(tài)的躍遷頻率

假設(shè)在t=0時(shí)刻電容發(fā)生突變，在t=τ時(shí)刻回到原狀態(tài)。t=0時(shí)刻的波函數(shù)為

以 φn(x)表示V2場的本征態(tài)，可以將ψ0展開成φn的線性疊加

當(dāng)0

如要求ψ ( Q ,τ)= Aψ0(Q)，則必須有

滿足這一條件的τ值為：

當(dāng)t=τ時(shí)，電容變回原來狀態(tài)，體系維持初始狀態(tài)不變。

4 電路存在內(nèi)阻時(shí)的影響

相比于無能量損耗的LC電路，存在內(nèi)阻損耗的RLC介觀電路更為常見。對于電路中的阻尼電阻，我們?nèi)匀豢梢詮慕?jīng)典RLC回路方程開始對其進(jìn)行量子化?？紤]若阻尼情形

經(jīng)典情形下方程解為：

參考文獻(xiàn)[7]，引入新的一套力學(xué)量q,p對回路作變換：

假設(shè)RLC回路系統(tǒng)在t=0時(shí)刻發(fā)生電容突變，由基態(tài)躍遷到高能級態(tài)，在t=τ時(shí)刻電容回到原狀態(tài)。同4中推導(dǎo)過程，要求：

其中

5 結(jié)論

研究介觀電路的特性對于電子器件和微電子技術(shù)的發(fā)展有著重大意義，可以推動微型電子元件多方面的應(yīng)用發(fā)展，不論是介觀電路自身變化的影響還是外界變化的影響均有較大的研究價(jià)值和研究空間。本文通過研究介觀電路量子化的效應(yīng)，討論了其中電容結(jié)構(gòu)改變引發(fā)的勢能改變對于其能量突變的影響。在此情形下，初態(tài)若是本征態(tài)，則有較大概率保持在初態(tài)，但不能忽略到其他能級態(tài)的情形。但若初態(tài)高于本征態(tài)，則有較大概率不會保持在當(dāng)前本征態(tài)。因此在小尺度的介觀電路中，應(yīng)該在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中保持較低的電流，使得電路所處的能態(tài)不受能量突變的影響。如果用于制作三極管或運(yùn)算放大器，則要將電路能態(tài)躍遷的影響考慮在內(nèi)。應(yīng)該選取適當(dāng)?shù)臄_動頻率，使電路工作時(shí)所處的量子態(tài)保持不變。在考慮內(nèi)阻損耗的情形下，仍有相同結(jié)論。介觀電路中電容結(jié)構(gòu)的變化較為常見，且其造成的影響不容忽視，本文中的結(jié)論對于介觀電路特性的進(jìn)一步探究具有一定的研究意義和應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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