虞 懿

浙江省金華市第六中學(xué) (321000)

我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題，解題教學(xué)更是數(shù)學(xué)教學(xué)的重心，從而例題的選擇與講解就顯得尤為重要．競(jìng)賽(高考)試題是命題專(zhuān)家集體智慧的結(jié)晶，其背后蘊(yùn)藏的知識(shí)、思想與內(nèi)在本質(zhì)，體現(xiàn)出學(xué)科課程教學(xué)的重心和導(dǎo)向.因此，研究競(jìng)賽(高考)試題具有非?，F(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義和教學(xué)價(jià)值．本文通過(guò)對(duì)一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽題的深入研究，旨在挖掘試題背后的內(nèi)涵，彰顯其數(shù)學(xué)魅力．

1.考題呈現(xiàn)

(1)求滿(mǎn)足上述條件的點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程；

(2)設(shè)A(-1,0),F(2,0)，問(wèn)是否存在常數(shù)λ(λ>0)，使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？證明你的結(jié)論．

2.解析品讀

(2)在第一象限內(nèi)作PF⊥x軸，則P(2,3)，此時(shí)∠PFA=90°,∠PAF=45°,λ=2．

品讀：本題第(1)問(wèn)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這是解析幾何的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、邏輯推理、合理運(yùn)算、分類(lèi)討論及創(chuàng)新思維能力．第(2)問(wèn)是一道返璞歸真的探索性問(wèn)題，其立意之新、內(nèi)涵之廣、選材之妙不得不令人嘆服．以新穎的視角、創(chuàng)新的手法進(jìn)行精心的構(gòu)思，彰顯新課程的理念，所以是一道創(chuàng)新而不落俗套的好試題，有利于甄別學(xué)生的思維層次，具有較好的區(qū)分度．

3.引申拓展

“探幽重門(mén)深鎖無(wú)尋處，疑有碧桃千樹(shù)花．”對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要多角度的剖析、探究．對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究思考，最基本的切入點(diǎn)就是對(duì)條件與結(jié)論進(jìn)行變式思考，可以考慮在這些情況下結(jié)論是否成立．

圖1

證明：如圖1所示，設(shè)A(-a,0),F(c,0),B(x0,y0)(x0≥a).

當(dāng)x0=c時(shí)，易得∠BFA=2∠BAF,綜上可得∠BFA=2∠BAF.

(充分性)由必要性的證明過(guò)程可證．

4.題源鏈接

(Ⅰ)求C的離心率e；

(Ⅱ)設(shè)A為C的左頂點(diǎn)，Q為第一象限內(nèi)C上的任意一點(diǎn)，問(wèn)是否存在常數(shù)λ(λ>0),使得∠QF2A=λ∠QAF2恒成立若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

cos∠F1PF2,即4c2=16a2,從而e=2.

(Ⅰ)求雙曲線(xiàn)方程；

(Ⅱ)設(shè)Q為雙曲線(xiàn)C右支上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)，在x軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)M使得∠QFM=2∠QMF?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(Ⅱ)由雙曲線(xiàn)離心率為2,得b2=3a2,再由上述結(jié)論1可知存在定點(diǎn)M(-1,0)使得∠QFM=2∠QMF.

5.探究感悟

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家G·波利亞曾說(shuō)過(guò)：“解題是一種實(shí)踐性的技術(shù)，就像游泳滑雪或者彈鋼琴一樣，只能通過(guò)模仿和實(shí)踐學(xué)到它……你想游泳就必須下水，你想成為解題能手就必須去解題．”然而過(guò)多機(jī)械化地、重復(fù)地訓(xùn)練，會(huì)導(dǎo)致忽略問(wèn)題的本質(zhì)，忽視問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，積極尋找問(wèn)題的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的多樣聯(lián)系，掌握數(shù)學(xué)思維方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神，通過(guò)追根溯源，觸類(lèi)旁通，去探究問(wèn)題的本質(zhì)，以達(dá)到提高解題效率，提升解題能力的目地．