王夢(mèng)醒， 劉 丹， 熊興崟， 李宗偉， 韓可都

(1.中國(guó)科學(xué)院 地質(zhì)與地球物理研究所 中國(guó)科學(xué)院油氣資源研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100029； 2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引 言

Σ-Δ閉環(huán)力反饋微機(jī)電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system,MEMS)加速度計(jì)不僅可以實(shí)現(xiàn)高精度模/數(shù)轉(zhuǎn)換，還能夠獲得較好的帶寬、動(dòng)態(tài)范圍和線性性能[1～4]。高精度的MEMS加速度計(jì)需要在環(huán)路濾波器中級(jí)聯(lián)積分器構(gòu)成高階Σ-Δ閉環(huán)力反饋系統(tǒng)，但高精度和穩(wěn)定性難以同時(shí)滿足。遺傳算法[5](genetic algorithm,GA)已應(yīng)用于MEMS加速度計(jì)敏感元件參數(shù)設(shè)計(jì)[6]及Σ-Δ MEMS加速度計(jì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)[7～8]，但缺少對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的考慮，設(shè)計(jì)的系統(tǒng)往往不是最優(yōu)。

為此，本文提出并采用了多目標(biāo)遺傳算法對(duì)高階Σ-Δ MEMS加速度計(jì)環(huán)路濾波器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，該算法將信噪比和∞—范數(shù)作為設(shè)計(jì)目標(biāo)。相比傳統(tǒng)單目標(biāo)遺傳算法設(shè)計(jì)目標(biāo)只有信噪比，本文算法在確保高信噪比的同時(shí)，提高了系統(tǒng)的相位裕度，使得最大穩(wěn)定輸入信號(hào)范圍增幅超過1倍，并增強(qiáng)了系統(tǒng)對(duì)MEMS敏感元件工藝誤差的魯棒性。

1 設(shè)計(jì)原理

高階Σ-Δ MEMS加速度計(jì)的系統(tǒng)框圖如圖1所示[9]。

加速度計(jì)中的MEMS敏感元件工作于欠阻尼狀態(tài)時(shí)，在Σ-Δ閉環(huán)系統(tǒng)中，環(huán)路濾波器設(shè)計(jì)的2個(gè)目標(biāo)為增強(qiáng)噪聲整形能力和提高閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決由于前置補(bǔ)償器引入的額外極點(diǎn)而影響系統(tǒng)的噪聲整形效果的問題，本文采用非限定性Σ-Δ MEMS加速度計(jì)，非限定性結(jié)構(gòu)具有足夠的自由度設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)以維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性而無(wú)需添加前置補(bǔ)償器[10,11]。

圖1 高階Σ-Δ MEMS加速度計(jì)系統(tǒng)框圖

以三階非限定性Σ-Δ MEMS加速度計(jì)為例，其等效線性模型如圖2所示。

圖2 三階非限定性Σ-Δ MEMS加速度計(jì)等效線性模型

由圖可推導(dǎo)出量化噪聲傳遞函數(shù)(noise transfer function,NTF)為

(1)

式中Hm(z)為敏感元件離散時(shí)間域傳遞函數(shù)；kxc為位移—電容比例系數(shù)；kcv為電容—電壓比例系數(shù)；k1,k2,k3為環(huán)路濾波器參數(shù)；I(z)為積分器傳遞函數(shù)；kfb為靜電力反饋系數(shù)；kq為量化器近似等效增益，由仿真得到的量化器輸入值y和輸出值v確定[12]即

(2)

Σ-Δ MEMS加速度穩(wěn)定性，必須滿足帶外噪聲增益不能過大，因此，選擇噪聲傳遞函數(shù)的∞—范數(shù)作為調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定性的參數(shù)[13]，∞—范數(shù)定義為

‖NTF‖∞=max|NTF(ejω)|

(3)

式中 max|NTF(ejω)|為噪聲傳遞函數(shù)在所有頻率上的最大增益，一般選擇∞—范數(shù)小于1.5[13]。

2 基于多目標(biāo)遺傳算法的環(huán)路濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)

本文采用的多目標(biāo)遺傳算法設(shè)計(jì)流程如圖3所示，算法具有2個(gè)目標(biāo)函數(shù)值：由輸出比特流的功率譜密度計(jì)算得到的信噪比和噪聲傳遞函數(shù)的∞—范數(shù)。

圖3 多目標(biāo)遺傳算法流程

初始種群中的個(gè)體在參數(shù)設(shè)定范圍內(nèi)采用浮點(diǎn)數(shù)編碼隨機(jī)產(chǎn)生，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的信噪比和∞—范數(shù)并求得相應(yīng)適應(yīng)度，再計(jì)算總適應(yīng)度。每代根據(jù)個(gè)體總適應(yīng)度選擇種群中的個(gè)體進(jìn)行交叉、變異操作。為加速收斂過程，確保每代最優(yōu)個(gè)體能遺傳到下一代，保留原種群中的部分優(yōu)秀個(gè)體，和經(jīng)過交叉、變異操作后形成的新個(gè)體一起組成新種群，種群更新比例為0.9。

為避免算法陷入局部最優(yōu)，個(gè)體適應(yīng)度f(wàn)由目標(biāo)函數(shù)值的排序確定，其公式如下[13]

(4)

式中N為種群中個(gè)體數(shù)量;P為個(gè)體按照目標(biāo)函數(shù)值排序后的位置，信噪比最高和∞—范數(shù)最小的個(gè)體分別對(duì)應(yīng)最大的適應(yīng)度。多目標(biāo)遺傳算法采用權(quán)重系數(shù)變換法，總適應(yīng)度函數(shù)為[14]

fT=w1·f1(SNR)+w2·f2(‖NTF‖∞)

(5)

式中w1,w2為權(quán)重因子。

3 系統(tǒng)仿真分析

搭建三階非限定性Σ-Δ MEMS加速度計(jì)的Simulink模型，如圖4所示，分別采用本文的多目標(biāo)遺傳算法和傳統(tǒng)單目標(biāo)遺傳算法對(duì)環(huán)路濾波器參數(shù)k1,k2,k3進(jìn)行搜索。選擇環(huán)路濾波器k1,k2,k3共3個(gè)參數(shù)的范圍分別為[0.1,50]，[0.1,50]，[0.1,10]。搜索終止條件為進(jìn)化代數(shù)，綜合考慮計(jì)算效率和種群多樣性，選擇種群個(gè)體數(shù)為60個(gè)，進(jìn)化代數(shù)為25代。

圖4 三階非限定性Σ-Δ MEMS加速度計(jì)Simulink模型

為了更好地說明多目標(biāo)遺傳算法的優(yōu)勢(shì)，本文在4個(gè)方面對(duì)2種算法的搜索結(jié)果進(jìn)行對(duì)比仿真分析:

1)遺傳進(jìn)化特性對(duì)比。圖5給出了2種算法的歷代種群中個(gè)體的平均信噪比和最優(yōu)信噪比的仿真結(jié)果。圖5(a)所示單目標(biāo)遺傳算法平均信噪比始終波動(dòng)較大，而圖5(b)所示多目標(biāo)遺傳算法的平均信噪比在16代后趨于穩(wěn)定，具有更好的遺傳進(jìn)化特性。

圖5 歷代搜索結(jié)果

2)最后一代個(gè)體的∞—范數(shù)對(duì)比分析。如圖6，單目標(biāo)遺傳算法得到的最后一代個(gè)體的∞—范數(shù)平均值約為3.2，而多目標(biāo)遺傳算法得到的最后一代個(gè)體的∞—范數(shù)平均值約為1.3，可見多目標(biāo)遺傳算法設(shè)計(jì)系統(tǒng)的噪聲傳遞函數(shù)增益得到了限制。

圖6 最后一代個(gè)體∞—范數(shù)分布對(duì)比

圖7為多目標(biāo)遺傳算法搜索得到的個(gè)體A和單目標(biāo)遺傳算法搜索得到的個(gè)體B的輸出功率譜密度，個(gè)體A的信噪比為121.9 dB，個(gè)體B的信噪比為124.5 dB，可以看出2種算法都可以獲得較高的信噪比。根據(jù)∞—范數(shù)定義計(jì)算得到個(gè)體A的∞—范數(shù)為1.41，個(gè)體B的∞—范數(shù)為3.18。

圖7 功率譜密度對(duì)比

3)系統(tǒng)相位裕度對(duì)比分析。對(duì)比如表1所示，個(gè)體A的相位裕度為41.8°，個(gè)體B的相位裕度為18.7°，多目標(biāo)遺傳算法搜索得到的個(gè)體相位裕度明顯提高，系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有較大改善。

表1 個(gè)體性能參數(shù)比較

4)系統(tǒng)最大穩(wěn)定輸入信號(hào)范圍對(duì)比分析。圖8為個(gè)體A與個(gè)體B的輸入加速度和信噪比的關(guān)系。個(gè)體A的最大穩(wěn)定輸入信號(hào)約為0.4gn，個(gè)體B的最大穩(wěn)定輸入信號(hào)約為0.19gn，多目標(biāo)遺傳算法搜索得到的系統(tǒng)最大穩(wěn)定輸入信號(hào)范圍增幅超過1倍。個(gè)體A與個(gè)體B的參數(shù)對(duì)比如表1所示，可見多目標(biāo)遺傳算法設(shè)計(jì)得到的系統(tǒng)信噪比雖略有降低，但系統(tǒng)穩(wěn)定性明顯提高。

圖8 系統(tǒng)輸入加速度和信噪比的關(guān)系

5)系統(tǒng)對(duì)MEMS敏感元件工藝誤差魯棒性對(duì)比分析。由于非限定性MEMS加速度計(jì)對(duì)敏感元件中的彈性系數(shù)較為敏感[12]，因此，將彈性系數(shù)變化范圍設(shè)為±40 %進(jìn)行魯棒性分析。圖9給出了個(gè)體A與個(gè)體B的魯棒性分析仿真結(jié)果。對(duì)兩個(gè)體的信噪比分別進(jìn)行最小二乘擬合，由擬合曲線可以看出，與單目標(biāo)遺傳算法得到的個(gè)體B相比，隨著彈簧系數(shù)變化增大，多目標(biāo)遺傳算法得到的個(gè)體A的擬合曲線下降更加緩慢，即個(gè)體A對(duì)彈性系數(shù)變化較為不敏感，有更好的魯棒性。

圖9 彈性系數(shù)變化與信噪比的關(guān)系

4 結(jié) 論

本文采用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)高階Σ-Δ MEMS加速度計(jì)環(huán)路濾波器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，將∞—范數(shù)和信噪比同時(shí)作為設(shè)計(jì)目標(biāo)。仿真結(jié)果表明：相比單目標(biāo)遺傳算法，多目標(biāo)遺傳算法提高了系統(tǒng)的相位裕度，使得系統(tǒng)最大穩(wěn)定輸入信號(hào)范圍增加超過1倍，增強(qiáng)了對(duì)MEMS敏感元件參數(shù)偏差的魯棒性。本文提出的方法同樣適用于四階及四階以上的高階系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和其他結(jié)構(gòu)Σ-Δ MEMS加速度計(jì)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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