張大朋，白 勇，劉科偉，朱克強(qiáng)

1.浙江大學(xué)建工學(xué)院，浙江杭州 310058

2.寧波大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，浙江寧波 315211

深海石油勘探開發(fā)興起于20世紀(jì)70年代末[1]，至今已有30多年的歷史。海洋平臺(tái)上生產(chǎn)的油氣要通過管道來輸運(yùn)，由于波流作用，管道受到水動(dòng)力、慣性力和彈性力的耦合作用而發(fā)生運(yùn)動(dòng)，這是管道水彈性的體現(xiàn)。

水彈性理論是把液體和固體彈性系統(tǒng)作為一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系統(tǒng)來研究它們之間相互作用的理論[2-7]，解決水彈性問題的重要關(guān)鍵是找到流體和固體彈性系統(tǒng)的耦合條件。在水彈性作用過程中，流體的動(dòng)壓力是一種作用于彈性系統(tǒng)的外加載荷，其大小取決于彈性系統(tǒng)振動(dòng)的位移、速度和加速度；另一方面，流體動(dòng)壓力又會(huì)改變彈性系統(tǒng)振動(dòng)的位移、速度和加速度。這種互相作用表現(xiàn)為流體對于彈性系統(tǒng)在慣性、阻尼和彈性諸方面的耦合現(xiàn)象。由慣性耦合產(chǎn)生附連質(zhì)量，在有流速場存在的條件下，由阻尼耦合產(chǎn)生附連阻尼，由彈性耦合產(chǎn)生附連剛度。它們?nèi)Q于流場條件及液體和彈性系統(tǒng)相連接的邊界條件，不易求解。本文以海洋中的管道為研究對象，將其簡化為一彈性懸臂梁，采用廣義坐標(biāo)法[2]，即將系統(tǒng)的慣性與彈性特性轉(zhuǎn)化到一些振型上去，采用國際水動(dòng)力分析軟件OrcaFlex建立模型[4，7-8]并進(jìn)行靜態(tài)分析及動(dòng)態(tài)運(yùn)算，用Matlab得出管道曲率、運(yùn)動(dòng)速度、斯特哈爾數(shù)、雷諾數(shù)、振動(dòng)幅度與直徑之比和剪切力隨時(shí)間的變化曲線。

1 基本理論

采用假設(shè)模態(tài)法，使用有限個(gè)假設(shè)模態(tài)的振動(dòng)來近似地線性描述彈性體的振動(dòng)。在梁的振動(dòng)問題中，設(shè)梁的位移（或撓度）可表示為：

式中：φi（x）為假設(shè)模態(tài)函數(shù)，是指定邊值問題的容許函數(shù)；qi（t）是相應(yīng)的廣義坐標(biāo)，單位為m。利用拉格朗日方程，得出關(guān)于廣義坐標(biāo)qi（t）的一組（n個(gè)）運(yùn)動(dòng)微分方程。

梁在振動(dòng)時(shí)的動(dòng)能T為：

式中：l為梁的總長度，m；ρ（x）在這里指的是梁在某一位置的密度，kg/m3；T為動(dòng)能，J。

寫成矩陣形式有：

在彎曲振動(dòng)中，梁的勢能可表示為：

式中：U為勢能，J；EI為彎曲剛度，N·m2。

寫成矩陣形式有：

式中：q為廣義位移矩陣，m；K為廣義剛度矩陣，N/m。且有

由于梁受外部激擾的作用，這時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)是非保守的，故拉格朗日方程取如下形式：

式中：Qi（t）為對應(yīng)于廣義坐標(biāo)qi的廣義力，N。按廣義力的定義，激擾力在系統(tǒng)虛位移上所作的虛功就等于各個(gè)廣義力在虛位移上所作的虛功。由此可求出各個(gè)廣義力。

設(shè)作用在系統(tǒng)上的激擾力可表示為：

式中：f（x，t）表示分布力，N/m；Fr（t）δ（x-xr）表示作用于xr處的集中力，N；δ（x-xr）是δ函數(shù)：

Fr（t）δ（x-xr）的量綱與分布力相同。

由式（1）可知，系統(tǒng)的虛位移可取為：

于是，激擾力在系統(tǒng)虛位移上所作的虛功為：

按照廣義力的定義，有：

所以有下式：

即對應(yīng)于qi的廣義力Qi的表達(dá)式。

將式（2）、（5） 和（12） 代入方程（8） 中可得：

寫成矩陣形式為：

2 算例與分析

以橫跨海溝的某水下輸油管道為例，將其簡化為圓柱形，管道模型見圖1。模型的幾何參數(shù)：直徑D=0.107 m，長度L=17 m，單位長度質(zhì)量m=16 kg/m，彎曲剛度為 0.25 kN·m2，軸向剛度為1.05×102kN，扭轉(zhuǎn)剛度為10 kN·m2，阻力系數(shù)Cd=1.2，附加質(zhì)量系數(shù) Cm=1.0，泊松比 0.3，流體密度為 1.024×103kg/m3，運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù) 1.2×10-6m2/s。水流的速度為6 m/s，模擬時(shí)間為120 s，計(jì)算管道曲率、運(yùn)動(dòng)速度、振動(dòng)幅度與直徑之比等在管道和流體耦合過程中的變化。

圖1 管道模型示意

模擬開始后，管道曲率、運(yùn)動(dòng)速度、振動(dòng)幅度與直徑之比和剪切力的變化，如圖2所示。

圖2 管道速度-時(shí)間關(guān)系曲線

從圖2的管道速度-時(shí)間關(guān)系曲線可以看出：模擬開始后，在速度為6 m/s的流體的水動(dòng)力作用下，管道由于流體的作用力變得不穩(wěn)定，在大約20 s以后，管道右端開始出現(xiàn)明顯的振動(dòng)，且振幅越來越大，最后穩(wěn)定在一個(gè)范圍。管道在沿Y軸方向的速度迅速增加到最大，隨后逐漸減小，在模擬時(shí)間（20 s）以后沿Y軸（速度）在0附近上下浮動(dòng)（0.002 m/s），大小可以忽略。X軸方向速度在開始時(shí)增加緩慢，但在30 s后速度增加，直至在 -0.25 ～ 0.5 m/s范圍內(nèi)變化。

將圖3、圖4分別與圖1進(jìn)行對比，不難發(fā)現(xiàn)在管道的右端盡管運(yùn)動(dòng)幅度比左端大，但是管道的曲率半徑在左端（0.25～1 m范圍內(nèi)） 的變化比右端大得多。而管道的振動(dòng)幅度與直徑之比的變化卻與曲率半徑變化相反，管道的左端運(yùn)動(dòng)幅度較小，所以橫截面無明顯變化；管道的右端運(yùn)動(dòng)幅度較大，故管道的振動(dòng)幅度與直徑之比變化比較大，在大約14 m處管道橫截面變化最大。換句話說，盡管右端比左端運(yùn)動(dòng)幅度大，但是由于左端固定，故管道在順流向發(fā)生舞動(dòng)時(shí)，左端的剪切力比右端明顯要大。此外，從速度-時(shí)間關(guān)系曲線上可以發(fā)現(xiàn)，管道運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，只剩下沿X軸方向的速度，故管道的主運(yùn)動(dòng)是在OXZ面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

圖3 管道運(yùn)動(dòng)過程中曲率隨管道長度變化

圖4 管道運(yùn)動(dòng)過程中管道振動(dòng)幅度與直徑之比隨管系長度變化

以上的變化趨勢表明管道在順流向時(shí)需要注意以下三點(diǎn)：

（1）管道的彈性模量對順流向管道的振幅產(chǎn)生影響，若考慮不慎，在大流速情況下，管道會(huì)由于持續(xù)而猛烈地反復(fù)振動(dòng)而導(dǎo)致管道截面的急劇變化，進(jìn)而會(huì)使連接端的截面產(chǎn)生復(fù)雜的變化和徑向驟縮，甚至導(dǎo)致管道的連接端直接斷裂；同時(shí)為了減小管道順流向的振動(dòng)，可增加管道的單位浸水重量，使管道埋入海床，減小海流的沖刷。對于與連接端相連的管道段而言，由于曲率變化較大，管道易在反彎點(diǎn)附近受損，因此在此段的設(shè)計(jì)上應(yīng)根據(jù)曲率變化給予優(yōu)化。管道的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致管道徑向應(yīng)力和應(yīng)變的變化，而高頻的振動(dòng)會(huì)造成應(yīng)力過大和管道的失效。

（2）發(fā)生以上現(xiàn)象正是由于管道為細(xì)長撓性構(gòu)件，管道與流體相互作用，管道在水流的拖曳作用下順流舞動(dòng)，這正是水彈性的體現(xiàn)。

（3）由于管道右端的橫截面變化較大，管道在此處也容易折損，在管道設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)針對性地選取材料，以此綜合考慮保障管道的安全可靠性能。

3 結(jié)束語

本文采用廣義坐標(biāo)法建立水中管道順流時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)模型，結(jié)合假設(shè)模態(tài)法利用拉格朗日廣義力的平衡方程推導(dǎo)水動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算公式，并得到了管道振動(dòng)的控制方程。模擬了水中管道順流舞動(dòng)的時(shí)間歷程，得到了管道在X、Y軸方向的運(yùn)動(dòng)速度圖，以及整根管道的曲率、橫截面變化和管道的運(yùn)動(dòng)軌跡，分析了水中管道的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵點(diǎn)，可為相關(guān)工程實(shí)踐提供一定的理論參考。

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