馮紹軍，熊友明，高 云

西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610500

圓柱體在一定的來流下，會(huì)在其尾部兩側(cè)形成交替脫落的漩渦，漩渦脫落會(huì)引起圓柱體產(chǎn)生周期性的振動(dòng)，稱為渦激振動(dòng)（Vortex induced vibration，VIV）[1]。圓柱體渦激振動(dòng)現(xiàn)象廣泛存在于工程應(yīng)用中，如處于空氣中的桅桿、煙囪、橋梁懸索以及處于水中的立管、海底管道、錨鏈等結(jié)構(gòu)，均有可能出現(xiàn)渦激振動(dòng)響應(yīng)。當(dāng)尾部漩渦泄放頻率靠近結(jié)構(gòu)固有頻率時(shí)，便會(huì)出現(xiàn)鎖定現(xiàn)象，此時(shí)圓柱體會(huì)發(fā)生大幅的、危險(xiǎn)的渦激振動(dòng)響應(yīng)，這種響應(yīng)會(huì)給結(jié)構(gòu)帶來很大的疲勞損傷。

圓柱體渦激振動(dòng)問題是一種典型的非線性流固耦合問題，該問題的研究方法主要分為實(shí)驗(yàn)方法[2-5]、計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（Computational fluid dynamics，以下簡稱CFD） 方法[6-9]以及經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头椒╗10-13]。實(shí)驗(yàn)方法分析數(shù)據(jù)可靠、分析現(xiàn)象直觀，但研究成本較高；CFD方法與經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头椒ㄖg最主要的一個(gè)區(qū)別在于流體力的獲取，CFD方法可通過對(duì)模型的計(jì)算實(shí)時(shí)地獲取流體力，而經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头椒▌t是基于經(jīng)驗(yàn)系數(shù)去近似地模擬流體力；顯然CFD方法在計(jì)算精度上占有一定的優(yōu)勢，但經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头椒ㄔ谟?jì)算資源上更占優(yōu)勢，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头椒ㄓ捎谟?jì)算時(shí)間快，更適用于實(shí)際海洋工程中的多工況問題。尾流振子模型法則是應(yīng)用較為廣泛的一種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头椒ā?/p>

本文以揭示剛性圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)的模態(tài)特性為出發(fā)點(diǎn)，基于改進(jìn)的尾流振子模型對(duì)剛性圓柱體的渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性展開了數(shù)值研究。具體研究內(nèi)容如下：建立了結(jié)構(gòu)以及尾流振子的無量綱耦合方程；對(duì)無量綱方程進(jìn)行了線性簡化，并通過解耦分析得到圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)頻率的實(shí)部、虛部以及升力與位移之間的相位差等參數(shù)；研究了不同質(zhì)量比的圓柱體在不同折合速度下的渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性。

1 圓柱體與尾流振子耦合模型

在圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)的模態(tài)特性分析過程中通常會(huì)出現(xiàn)4個(gè)特征頻率[14]：第一個(gè)特征頻率為圓柱體的結(jié)構(gòu)固有頻率ωn，該頻率反映的是圓柱體的結(jié)構(gòu)固有屬性；第二個(gè)特征頻率為依據(jù)斯脫哈爾漩渦泄放關(guān)系式計(jì)算得到的斯脫哈爾漩渦泄放頻率ωf，值得注意的是該頻率僅為一參考特征頻率；第三個(gè)特征頻率為結(jié)構(gòu)發(fā)生渦激振動(dòng)響應(yīng)時(shí)結(jié)構(gòu)的真實(shí)振動(dòng)頻率ωs；第四個(gè)特征頻率為結(jié)構(gòu)發(fā)生渦激振動(dòng)響應(yīng)時(shí)尾部流場的真實(shí)漩渦泄放頻率ωw。

單位長度直徑為D的剛性圓柱體在均勻來流U作用下引起的橫流方向的渦激振動(dòng)響應(yīng)模型如圖1所示。

圖1 剛性圓柱體渦激振動(dòng)模型

取x方向?yàn)轫樍鞣较?，z方向?yàn)殂U直方向，x、y以及z三個(gè)方向形成右手直角坐標(biāo)系。剛性圓柱體在y方向產(chǎn)生橫向位移Y，圓柱體的結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程可以寫為：

式中：T為時(shí)間；FL為升力；r為結(jié)構(gòu)阻尼；h為結(jié)構(gòu)剛度；m為單位長度的圓柱體質(zhì)量，包括結(jié)構(gòu)質(zhì)量ms以及附加流體質(zhì)量mf，可表示如下：

式中：ρ為流體密度；CM為附加質(zhì)量系數(shù)，對(duì)于圓柱體，CM=1.0。

剛性圓柱體阻尼r包括結(jié)構(gòu)阻尼rs和流體阻尼rf，可表示如下：

式中：γ為黏滯力系數(shù)，γ=CD/（4πSt），St為斯脫哈爾數(shù)。式（3） 中ωf為根據(jù)斯脫哈爾關(guān)系式計(jì)算得到的斯脫哈爾漩渦泄放頻率（單位為rad/s），可表示為：

采用改進(jìn)的Van der pol方程來滿足尾流振子的非線性特性，表達(dá)式如下：

式中：ε為非線性項(xiàng)中的小參數(shù)；A為結(jié)構(gòu)對(duì)流體的耦合動(dòng)力參數(shù)；q為無量綱尾流振子變量，可表為：

式中：CL為流體對(duì)結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)升力系數(shù)；CL0是對(duì)應(yīng)的靜態(tài)圓柱體的橫向升力系數(shù)幅值[15]。

將方程（1）和（5）轉(zhuǎn)換成無量綱形式。令：

式中：所有的參數(shù)均為無量綱參數(shù)，其中t為無量綱時(shí)間，y為無量綱位移，ξ為圓柱體的結(jié)構(gòu)阻尼比，以及μ為無量綱頻率以及質(zhì)量比，可表示如下：

式中：ωn為結(jié)構(gòu)的固有頻率，Ur為折合速度。式（8）中M可寫作：

2 耦合模型線性簡化

由于本文側(cè)重研究圓柱體系統(tǒng)響應(yīng)的模態(tài)特性（頻率特性），由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)[16]可知，阻尼對(duì)系統(tǒng)頻率特性影響較小。因此為了方便公式推導(dǎo)，假設(shè)式（8）以及式（9）的第二項(xiàng)（阻尼項(xiàng)）均為0，簡化后表達(dá)式如下：

方程（12）和（13）的解表示為如下形式：

式中：y0為無量綱結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移幅值，q0為無量綱升力振子幅值，φ為位移與升力振子之間的相位角；ω為無量綱頻率，可表示為：

式中：ωs以及ωw分別表示圓柱體發(fā)生渦激振動(dòng)響應(yīng)時(shí)結(jié)構(gòu)的真實(shí)振動(dòng)頻率以及尾部流場的真實(shí)漩渦泄放頻率。將式（14）代入式（12）以及式（13）得到：

式（16）恒為0可得到左邊第一項(xiàng)矩陣構(gòu)成的行列式為恒為0，對(duì)其進(jìn)行展開可得到頻率特征方程：

式（17）的解可表示為：

聯(lián)合式（18）和式（19）可知：

3 分析與討論

本文分析了質(zhì)量比μ對(duì)圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性的影響，分析過程中研究了4種不同的質(zhì)量比μ，分別為2、5、30、250。對(duì)于每種質(zhì)量比μ，折合速度Ur區(qū)間取為0～15。圖2到圖5分別給出了μ=2、5、30、250這四種質(zhì)量比時(shí)不同折合速度Ur下的圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性，包括頻率實(shí)部Re[ω]，頻率虛部 Im[ω]、頻率比值 -Im[ω]/Re[ω]以及升力與位移之間的相位差φ。

由圖2～5可以看出：對(duì)于某個(gè)特定質(zhì)量比、特定折合速度，圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)的頻率實(shí)部Re[ω]存在兩個(gè)值，第一個(gè)值接近圓柱體的斯脫哈爾漩渦泄放頻率ωf（粉紅色點(diǎn)劃線），為流場模態(tài)的頻率，即圖中的尾部流場的漩渦泄放頻率ωw（紅色實(shí)線）；第二個(gè)值接近圓柱體的固有頻率ωn（水平黑色虛線），為結(jié)構(gòu)模態(tài)的頻率，即圖中的圓柱體的結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率ωs（藍(lán)色虛線）。當(dāng)折合速度較小時(shí)，ωw小于ωs；隨著折合速度的上升，ωw會(huì)偏移斯脫哈爾漩渦泄放頻率ωf，而逐漸偏向圓柱體固有頻率ωn，該現(xiàn)象便是鎖定現(xiàn)象，當(dāng)折合速度處于鎖定區(qū)間時(shí)，ωw等于ωs且出現(xiàn)在ωn附近；隨著折合速度的進(jìn)一步上升，ωw會(huì)再次偏移到斯脫哈爾漩渦泄放頻率ωf附近，從而進(jìn)入非鎖定區(qū)間。針對(duì)鎖定特性的研究主要有三方面：鎖定開始點(diǎn)、鎖定結(jié)束點(diǎn)以及鎖定區(qū)間寬度。

圖2 圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性（μ=2）

圖3 圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性（μ=5）

圖4 圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性（μ=30）

圖5 圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性（μ=250）

表1給出了四種質(zhì)量比情況下圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)發(fā)生鎖定的開始點(diǎn)、結(jié)束點(diǎn)以及鎖定區(qū)間寬度。

表1 不同質(zhì)量比下的圓柱體渦激振動(dòng)鎖定響應(yīng)特性

由表1可以看出：隨著質(zhì)量比的增加，鎖定開始點(diǎn)逐漸延后，鎖定結(jié)束點(diǎn)逐漸提前，鎖定區(qū)間逐漸變窄。表1同樣給出了當(dāng)折合速度處于鎖定區(qū)間時(shí)的圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)頻率的最小值以及最大值。可以看出：當(dāng)折合速度處于鎖定區(qū)間時(shí)，此時(shí)結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率ωs（尾部漩渦泄放頻率ωw）會(huì)出現(xiàn)在固有頻率ωn附近，但是并不完全吻合。對(duì)于質(zhì)量比較大（μ=250、300） 的圓柱體，ωs以及ωw與ωn吻合非常良好；但對(duì)于質(zhì)量比較?。é豱=2、5）的圓柱體，ωs以及ωw明顯偏移ωn，此時(shí)鎖定區(qū)間的最小頻率為0.8 ωn，而最大頻率達(dá)到了 1.5 ωn。針對(duì)這種偏移現(xiàn)象，Sarpkaya給出了很好的解釋[17]：圓柱體固有頻率是處在靜止流體中的結(jié)構(gòu)固有頻率。但當(dāng)圓柱體發(fā)生振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)的真實(shí)固有頻率會(huì)逐漸偏移靜止流體中的結(jié)構(gòu)固有頻率，這會(huì)導(dǎo)致與結(jié)構(gòu)真實(shí)固有頻率吻合的結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率逐漸偏移靜止流體中的結(jié)構(gòu)固有頻率，偏移量會(huì)隨著質(zhì)量比的減小而呈現(xiàn)上升趨勢。對(duì)處于高質(zhì)量比流體（如空氣）中，偏移量可以忽略[18]，這就會(huì)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率非常接近結(jié)構(gòu)在靜止流體中的固有頻率；但當(dāng)結(jié)構(gòu)處在低質(zhì)量比流體（如水）中，這個(gè)偏移量則較為明顯[19]。

圖2到圖5同樣給出了頻率的虛部Im[ω]，頻率虛部反映了振動(dòng)的特性?？梢钥闯觯涸阪i定區(qū)間內(nèi)，頻率虛部存在一個(gè)正值以及一個(gè)與正值相反的負(fù)值。對(duì)于本文中的y=y0eiαt形式，頻率虛部為正值（圖中虛線）意味著圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)為衰減振動(dòng)，反應(yīng)結(jié)構(gòu)模態(tài)特性；頻率虛部為負(fù)值（圖中實(shí)線）意味著圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)為不穩(wěn)定振動(dòng)，反應(yīng)流場模態(tài)特性。鎖定區(qū)間內(nèi)，流場模態(tài)導(dǎo)致的振動(dòng)為不穩(wěn)定振動(dòng)，且占主導(dǎo)。當(dāng)折合速度歷經(jīng)鎖定區(qū)間時(shí)，相位角φ由0逐漸變?yōu)棣校▓D中實(shí)線）。當(dāng)折合速度處于非鎖定區(qū)間時(shí)，此時(shí)頻率虛部為0，意味著結(jié)構(gòu)模態(tài)以及流場模態(tài)均為穩(wěn)定振動(dòng)。

4 結(jié)論

本文基于改進(jìn)尾流振子模型對(duì)剛性圓柱體的渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性進(jìn)行了研究，研究了質(zhì)量比對(duì)剛性圓柱體渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)特性的影響。通過研究得到如下結(jié)論：

（1）圓柱體的渦激振動(dòng)響應(yīng)模態(tài)可分為結(jié)構(gòu)模態(tài)和流場模態(tài)兩種。結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率靠近圓柱體固有頻率，而流場模態(tài)頻率則靠近斯脫哈爾漩渦泄放頻率。

（2）根據(jù)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率與流場模態(tài)頻率是否相互吻合可以將渦激振動(dòng)響應(yīng)區(qū)間分為鎖定區(qū)間以及非鎖定區(qū)間。鎖定區(qū)間寬度隨著質(zhì)量比的增加逐漸變窄。折合速度無論是處于鎖定區(qū)間還是非鎖定區(qū)間，流場模態(tài)均占主導(dǎo)。

（3）當(dāng)折合速度處于非鎖定區(qū)間時(shí)，由流場模態(tài)所產(chǎn)生的主導(dǎo)頻率分布在斯脫哈爾漩渦泄放頻率附近；當(dāng)折合速度進(jìn)入鎖定區(qū)間時(shí)，主導(dǎo)頻率會(huì)明顯偏移斯脫哈爾漩渦泄放頻率，而轉(zhuǎn)移到結(jié)構(gòu)固有頻率附近。

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