景弋洋,章躍進(jìn)

(上海大學(xué),上海 200072)

0 引 言

目前表貼式永磁電機(jī)的永磁體充磁方式主要有徑向充磁、平行充磁和 Halbach 磁化結(jié)構(gòu)3種，內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)選擇平行充磁，既可提高氣隙磁密的正弦分布程度，又能得到較高磁密峰值[1]。無(wú)論采用何種充磁方式，準(zhǔn)確計(jì)算電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布都是設(shè)計(jì)電機(jī)并分析性能時(shí)所需的基本條件。計(jì)算磁場(chǎng)時(shí)通常用精度較高的有限元法，但其剖分復(fù)雜、計(jì)算耗時(shí)較多。解析法需要一定的前提假設(shè)，幾何結(jié)構(gòu)較單一，但能明確地反映參數(shù)對(duì)磁場(chǎng)的作用，同時(shí)由于其不需要大量的前處理，降低調(diào)整難度的同時(shí)加快了計(jì)算速度，是電機(jī)性能預(yù)評(píng)估和設(shè)計(jì)優(yōu)化的有利工具。

在氣隙磁場(chǎng)分布的計(jì)算中必須考慮定子的開(kāi)槽效應(yīng)。定子槽的存在使氣隙磁場(chǎng)發(fā)生很大改變，因而對(duì)電動(dòng)機(jī)性能如徑向力和齒槽轉(zhuǎn)矩引起的噪聲、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和振動(dòng)等都有較大的影響。解析法用于考慮開(kāi)槽效應(yīng)的氣隙磁場(chǎng)測(cè)定的研究，已經(jīng)發(fā)展出了許多方法，主要使用的有3種。最早采用保角變換法，文獻(xiàn)[2-3]分析了徑向氣隙磁密分量在開(kāi)槽處所受到的影響；文獻(xiàn)[4]使用復(fù)數(shù)型比磁導(dǎo)，能夠計(jì)算出切向磁密分量，但該方法不能把電機(jī)中各個(gè)槽之間的影響分析出來(lái)。第二種方法將數(shù)值和解析法結(jié)合，因?yàn)闅庀犊烧J(rèn)為近似線性，用解析法分析準(zhǔn)確，再通過(guò)邊界條件將其與用數(shù)值法分析的槽磁場(chǎng)聯(lián)系起來(lái)[5]，這樣分析電機(jī)時(shí)就可以采用任意槽型，但同時(shí)又增加了前處理過(guò)程，計(jì)算時(shí)間受到影響。第三種是全局解析法，將電機(jī)劃分為各個(gè)子域，通過(guò)交界條件可分析各個(gè)子域間的影響[6]，但其所使用的模型仍與實(shí)際電機(jī)差別較大。

文獻(xiàn)[7]采用全局解析法分析了外轉(zhuǎn)子半閉口槽永磁電機(jī)，并采用Halbach磁化結(jié)構(gòu)?；谠撐幕舅悸罚疚牟捎冒腴]口槽內(nèi)轉(zhuǎn)子平行充磁結(jié)構(gòu)，應(yīng)用全局解析法分析表貼式永磁無(wú)刷電機(jī)的磁場(chǎng)以及性能參數(shù)。利用 MATLAB優(yōu)化工具箱中的遺傳算法對(duì)電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化，目標(biāo)是減小齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢(shì)非正弦度。并將得到的結(jié)果與二維有限元法和實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果相對(duì)比，證明其正確性。

1 電機(jī)解析模型

1.1 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)材料和結(jié)構(gòu)屬性，將整個(gè)電機(jī)劃分為4個(gè)求解區(qū)域：氣隙區(qū)域1、平行充磁永磁體區(qū)域2、i槽口區(qū)域Si和j槽深區(qū)域Sj，由于采用雙層繞組，j槽深區(qū)域Sj由上層區(qū)域Sj1和下層區(qū)域Sj2組成 (i，j=1,2,…，Q)。如圖1所示。

圖1 電機(jī)求解區(qū)域幾何模型

1.2 永磁體平行充磁解析模型

永磁體平行充磁磁鋼磁化方向如圖2所示。在極坐標(biāo)系下，永磁體的磁化強(qiáng)度M可用如下公式表示：

圖2 平行充磁磁化方向

M=Mrr+Mθθ

(1)

式中：r,θ為徑向與切向矢量符號(hào)。Mr，Mθ分別為永磁體磁化強(qiáng)度的徑向和切向分量，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式[8]：

(2)

式中：h為極對(duì)數(shù)p和槽數(shù)Q的最大公約數(shù)；θ0為永磁體與初始設(shè)定基準(zhǔn)位置間的夾角。若為平行充磁，則：

(3)

式中：

式中：Br為永磁體剩余磁通密度；μ0為真空磁導(dǎo)率；αp為永磁體極弧系數(shù)。

2 全局解析法空載磁場(chǎng)計(jì)算

2.1 矢量磁位方程組，子域邊界條件

(4)

根據(jù)電磁場(chǎng)分界面銜接條件，使用分離變量法[9]，各區(qū)域矢量磁位通解表示如下：

(C1nrnh+D1nr-nh)sin(nhθ)]

(5)

(C2nrnh+D2nr-nh)sin(nhθ)]+

sin[nh(θ-θ0)]

(6)

(7)

(8)

2.2 空載氣隙磁密、齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢(shì)

根據(jù)磁矢量位和磁通密度的關(guān)系，在極坐標(biāo)系下，對(duì)氣隙區(qū)域的矢量磁位按式(9)，即可求得磁通密度的徑向分量和切向分量：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Lef為氣隙軸向長(zhǎng)度；Re為計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩積分路徑的半徑；Nturn為雙層繞組每層導(dǎo)體數(shù)；Sslot為槽身區(qū)域的面積；ω為電機(jī)旋轉(zhuǎn)機(jī)械角速度。

3 遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 解析法與遺傳算法優(yōu)化的優(yōu)勢(shì)

在解析法與有限元法結(jié)果準(zhǔn)確一致的前提下，采用解析法進(jìn)行優(yōu)化有很多優(yōu)點(diǎn)：1) 電機(jī)被完全的參數(shù)化，變量更改方便，范圍廣；2) 有限元法在電機(jī)參數(shù)改變后需要重新設(shè)置網(wǎng)格剖分方式，否則計(jì)算結(jié)果將不準(zhǔn)確，而每改一次參數(shù)就重新剖分一次的前處理過(guò)程十分的復(fù)雜和難以自動(dòng)實(shí)現(xiàn)，效率也大大降低，不利于優(yōu)化的進(jìn)行；3) 解析法物理概念明確，計(jì)算量小、速度快。因此在進(jìn)行電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，采用解析法而非有限元法有很大優(yōu)勢(shì)。

遺傳算法是一類借鑒生物界的進(jìn)化規(guī)律演化而來(lái)的隨機(jī)化搜索方法。與傳統(tǒng)算法相比，它魯棒性強(qiáng)，對(duì)目標(biāo)函數(shù)及其約束條件不做連續(xù)性上的要求，搜索區(qū)域遍及整個(gè)解空間，具有全局優(yōu)化的特點(diǎn)[10]。全局解析法的計(jì)算模型參數(shù)化，與遺傳算法結(jié)合可實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過(guò)程自動(dòng)化，無(wú)需人工參與。本文將MATLAB優(yōu)化工具箱中的遺傳算法運(yùn)用到永磁無(wú)刷電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，較有限元法省去了復(fù)雜的前處理，大大縮短了優(yōu)化計(jì)算時(shí)間，且更加方便有效。

3.2 設(shè)計(jì)變量的選取

選取對(duì)平行充磁表貼式永磁電機(jī)設(shè)計(jì)和性能指標(biāo)影響較大的基本參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，根據(jù)電機(jī)的特點(diǎn)，有幾個(gè)變量對(duì)電機(jī)的磁場(chǎng)影響較為突出：首先是氣隙長(zhǎng)度，氣隙長(zhǎng)度大小的變化能直接影響到磁路的狀態(tài)和磁場(chǎng)的大??；其次是永磁體厚度，永磁體越厚則磁場(chǎng)越強(qiáng)，反之越弱，過(guò)厚的永磁體會(huì)增大成本及影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性；槽口的存在是齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的原因，但槽口越小卻會(huì)對(duì)電機(jī)其他性能產(chǎn)生影響。

綜上選取永磁體半徑Rm，定子內(nèi)半徑Rs，槽口半徑Rs1，槽口張開(kāi)角度β為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。

3.3 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建

目標(biāo)函數(shù)即是優(yōu)化設(shè)計(jì)中需要解決的問(wèn)題，本文重點(diǎn)關(guān)注的是在保證電機(jī)性能的前提下減小齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢(shì)的非正弦畸變率，即：

Min fitness=Min(Tcog&δe)

(14)

式中：fitness為計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值的M文件。即上文中的齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢(shì)的解析計(jì)算過(guò)程。

3.4 主程序函數(shù)

MATLAB遺傳算法工具箱中的遺傳算法主函數(shù)：

(15)

式中：左端為輸出參數(shù)，右端為輸入?yún)?shù)。輸出參數(shù)中x為最終變量值，fval為最優(yōu)解；輸入?yún)?shù)中nvars為變量的個(gè)數(shù)。

3.5 遺傳算法參數(shù)選擇

遺傳算法參數(shù)的選擇對(duì)遺傳算法的準(zhǔn)確性有很大影響，其中主要的有以下幾個(gè)。

群體規(guī)模是影響算法效能的主要因素之一。取值太小采樣點(diǎn)不足，算法性能將大大下降；反之若該值取得過(guò)大，則算法的計(jì)算量與完成時(shí)間顯著增加，一般在20～100范圍內(nèi)選取。具體設(shè)置是在options中更改PopulationSize，本文設(shè)為25。

算法中用于控制產(chǎn)生后代的交叉操作頻度的參數(shù)稱為交叉概率。當(dāng)交叉概率取得過(guò)大時(shí)，種群更新太快，合適的函數(shù)取值將很容易被破壞；概率取得太小，產(chǎn)生后代的操作將減少，導(dǎo)致算法停滯不前，一般在0.4～0.9之間選取。工具箱中有離散重組等多種交叉函數(shù)可供選擇。具體設(shè)置是在options中更改CrossoverFraction，本文設(shè)為0.9。

變異概率決定了函數(shù)族群中產(chǎn)生多種不同個(gè)體的可能性，一般取一個(gè)較小值就會(huì)對(duì)種群的各個(gè)基因產(chǎn)生影響，提高種群多樣性。取得過(guò)大或過(guò)小都會(huì)影響算法性能，一般在0.001～0.2范圍內(nèi)選取，可在options中更改MigrationFraction，本文設(shè)為0.01。

終止條件是人為設(shè)置的終止算法的判斷條件，即認(rèn)為在這個(gè)條件下算法已滿足最優(yōu)解。可在工具箱中選擇最大代數(shù)、停滯時(shí)間等，本文采用最大代數(shù)，在options中設(shè)置Generations為80。

4 實(shí)例實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與優(yōu)化效果

4.1 電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)

本文樣機(jī)為一臺(tái)4極6槽的平行充磁表貼式永磁無(wú)刷電機(jī)，具體參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)模型參數(shù)

4.2 空載氣隙磁密

圖3 空載氣隙磁密波形對(duì)比

從圖3中可看出，由于聚磁效應(yīng)解析法相對(duì)有限元法在齒邊緣的計(jì)算結(jié)果要稍有偏差，但整個(gè)磁密波形基本完全吻合，而空載磁密的正確可以反映出其余特性的正確性，從而證明了全局解析法的正確性，可以用它來(lái)優(yōu)化電機(jī)。

4.3 齒槽轉(zhuǎn)矩與優(yōu)化結(jié)果

圖4 齒槽轉(zhuǎn)矩波形對(duì)比

調(diào)用工具箱程序優(yōu)化后的4個(gè)設(shè)計(jì)變量：永磁體半徑Rm=13.5mm，定子內(nèi)半徑Rs=16mm，槽口半徑Rs1=18.5mm，槽口張開(kāi)角度β=16°。

圖4中解析法齒槽轉(zhuǎn)矩最大值為137mN·m，而有限元法為120mN·m，有一定差距，但波形趨勢(shì)較為吻合。

而設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化之后的電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩波形如圖5所示。

圖5 優(yōu)化后的齒槽轉(zhuǎn)矩波形

從圖5中可以看出，采用了優(yōu)化結(jié)構(gòu)的電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩幅值近似為66mN·m，比優(yōu)化前減少了一半，證明本文使用的遺傳算法優(yōu)化在減少齒槽轉(zhuǎn)矩方面是有效的。

4.4 反電動(dòng)勢(shì)與優(yōu)化效果

圖6分別是原尺寸電機(jī)在額定轉(zhuǎn)速下相繞組空載反電動(dòng)勢(shì)的解析計(jì)算、有限元計(jì)算和實(shí)測(cè)波形。

(a) 解析法計(jì)算波形

(b) 有限元法計(jì)算波形

(c) 實(shí)測(cè)波形

采用遺傳算法優(yōu)化時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩與反電動(dòng)勢(shì)是一同優(yōu)化的，所以優(yōu)化后的模型同上文,即永磁體半徑Rm=13.5mm，定子內(nèi)半徑Rs=16mm，槽口半徑Rs1=18.5mm，槽口張開(kāi)角度β=16°。

圖6中，反電動(dòng)勢(shì)實(shí)測(cè)波形幅值約為9.2V，解析計(jì)算幅值近似為10.2V，誤差為10.9%。有限元計(jì)算幅值近似為9.9V,誤差為7.6%。

由于解析模型不能與實(shí)際電機(jī)完全相同，計(jì)算過(guò)程中也采用了一些假設(shè)，導(dǎo)致反電動(dòng)勢(shì)幅值的解析結(jié)果大于實(shí)測(cè)值，但波動(dòng)形狀與趨勢(shì)和實(shí)測(cè)波形一致，證明本文的解析模型與方法依然是合理有效的。

設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化后的電機(jī)模型反電動(dòng)勢(shì)波形如圖7所示。

圖7 優(yōu)化后的反電動(dòng)勢(shì)波形

從圖5和圖7中可以看出，優(yōu)化后的模型在減小了齒槽轉(zhuǎn)矩的同時(shí),也使得反電動(dòng)勢(shì)波形更加接近正弦波，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化目標(biāo)，并且實(shí)現(xiàn)過(guò)程方便快捷，證明本文的這種優(yōu)化設(shè)計(jì)是可行和有效的。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文建立了半閉口槽平行充磁表貼式永磁電機(jī)全局解析模型計(jì)算電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布。將求得的氣隙磁密、齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢(shì)解析計(jì)算波形分別與二維有限元法計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)波形作比較，結(jié)果較為一致，證明了本文全局解析模型是合理正確的。在模型正確的條件下，進(jìn)一步運(yùn)用遺傳算法優(yōu)化工具對(duì)與電機(jī)性能有關(guān)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果顯示電機(jī)的空載性能得到提高，證明了該方法的可行性和有效性。

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