朱慶垚，余諒

（四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都 610065）

0 引言

一般來(lái)說(shuō)，現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)都是帶噪信號(hào)，由于干擾噪聲的影響，這些信號(hào)很可能產(chǎn)生畸變，甚至可能面目全非，所以，在對(duì)信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步的分析以前，需要把有效的信號(hào)提取出來(lái)。如何從強(qiáng)噪聲中恢復(fù)原始信號(hào)的波形，做到信噪分離是很重要的研究課題。小波變換是空間（時(shí)間）和頻率的局部變換，能夠通過(guò)變換充分反映出信號(hào)某些方面的特性，因此被用于信號(hào)的去噪。

小波去噪有多種方法，其中，1992年Donoho和Johnstone提出的小波閾值收縮（WaveShrink）方法在最小均方誤差意義下可達(dá)到近似最優(yōu)并且可以取得較好的視覺(jué)效果[1]。該方法的兩個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的選取和閾值函數(shù)的構(gòu)造，小波去噪的效果直接受到了這兩種因素的影響。傳統(tǒng)的小波閾值去噪算法分為硬閾值函數(shù)去噪法和軟閾值函數(shù)去噪法，但是這兩種閾值函數(shù)方法都存在相應(yīng)的缺點(diǎn)[2]。文獻(xiàn)[3-7]都對(duì)小波閾值去噪函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的研究和改進(jìn)，但是部分還存在著硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性以及軟閾值函數(shù)的固定偏差的問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]提出了一種新雙閾值函數(shù)下的小波去噪方法，去噪效果相對(duì)于軟、硬閾值方法有著很大的提升，但是還是存在固定偏差的問(wèn)題；因此，本文針對(duì)這一問(wèn)題，對(duì)新雙閾值函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，保證了函數(shù)的連續(xù)性并且去除了函數(shù)的固定偏差，從信噪比SNR和均方誤差MSE兩項(xiàng)數(shù)據(jù)來(lái)看，改進(jìn)后的閾值函數(shù)效果有著明顯的提升。

1 小波去噪原理

經(jīng)過(guò)小波分解后，信號(hào)的能量在小波域集中在一些大的小波系數(shù)中；而噪聲的能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi)，可以認(rèn)為，幅值比較大的小波系數(shù)以信號(hào)為主，而幅值比較小的系數(shù)很大程度上是噪聲。因此，可以選取合適的閾值，將大于閾值的部分作為信號(hào)予以保留（硬閾值），或者是以一個(gè)固定量向零收縮（軟閾值），而小于閾值的信號(hào)視為噪聲予以舍棄從而達(dá)到去噪的目的。

假設(shè)原始信號(hào)為 f(t)，被污染后的噪聲信號(hào)為s(t)，那么基本的噪聲模型就可以表示為：

其中e(t)為噪聲，σ為噪聲強(qiáng)度，一般來(lái)說(shuō)可以假設(shè)e(t)為高斯白噪聲。對(duì)染噪信號(hào)進(jìn)行離散的小波變化可以得到：

其中，ws( j，k) 、wf(j ，k) 、we( j，k)分別為染噪信號(hào)、原始信號(hào)和噪聲在第j層上的小波系數(shù)，分別記為wj,k、uj,k、ej,k，J表示小波變換最大分階層；N表示信號(hào)長(zhǎng)度。

由上式可知，經(jīng)過(guò)小波變換后，小波系數(shù)可以由原始信號(hào)小波系數(shù)uj,k以及噪聲小波系數(shù)ej,k組成。因此，選取合適的閾值λ對(duì)小波系數(shù)wj,k進(jìn)行處理，得到處理后的小波系數(shù)，最后將處理后的小波系數(shù)w?j,k進(jìn)行重構(gòu)，就可以得到去噪過(guò)后的信號(hào)s?j,k，具體的處理過(guò)程如下：

圖1 小波去噪算法流程圖

經(jīng)過(guò)上述流程圖和描述可知，閾值的選取和閾值函數(shù)的設(shè)計(jì)對(duì)于最終的去噪處理效果有著非常大的影響。

2 閾值函數(shù)

2.1 傳統(tǒng)的閾值函數(shù)

傳統(tǒng)的閾值函數(shù)中，由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單并且去噪效果良好，軟、硬閾值去噪方法得到比較廣泛的應(yīng)用。

（1）硬閾值

硬閾值函數(shù)將小波系數(shù)絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)予以保留而小于閾值的小波系數(shù)置零。

（2）軟閾值

軟閾值函數(shù)將小波系數(shù)絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)置為它與閾值的差值，而小于閾值的小波系數(shù)置零。

軟、硬閾值法雖然應(yīng)用廣泛，但是它們?nèi)匀淮嬖谥恍┤秉c(diǎn)。硬閾值法得到的在±λ處是不連續(xù)的，然后利用不連續(xù)的重構(gòu)得到的信號(hào)很有可能造成Pseudo-Gibbs現(xiàn)象，導(dǎo)致最終得到的信號(hào)在不連續(xù)點(diǎn)處以及快速變化處存在震蕩；軟閾值法得到的雖然連續(xù)性比較好，并且去噪后的信號(hào)相對(duì)平滑但是和wj,k總是存在恒定偏差，導(dǎo)致了信號(hào)在某些尖峰點(diǎn)處過(guò)于光滑，也會(huì)丟掉原始信號(hào)的某些特征。

2.2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

為了克服軟、硬閾值各自的缺點(diǎn)，大量學(xué)者或者提出了改進(jìn)方案，或者提出了新的閾值函數(shù)，文獻(xiàn)[5]提出了一種新的閾值函數(shù)：

但是該函數(shù)在±λ處是不連續(xù)的，容易產(chǎn)生Pseudo-Gibbs現(xiàn)象。

文獻(xiàn)[6]提出了一種新的雙閾值法：

其中，λ2為上閾值，λ1為下閾值，滿足 λ1=kλ2，0＜k＜1，該函數(shù)在兩個(gè)閾值點(diǎn)均連續(xù)，并且在的情況下，隨著w變大不斷減小，符合指數(shù)衰j,k減特性；但是在的情況下是固定不變的，依然存在差值恒定的問(wèn)題，所以，針對(duì)以上函數(shù)存在的問(wèn)題，本文提出改進(jìn)的雙閾值函數(shù)表達(dá)式如下：

其中 λ1=kλ2，0＜k＜1。很容易可以得到，改進(jìn)后的函數(shù)不僅在兩個(gè)閾值λ1、λ2處連續(xù)，并且在的情況下，函數(shù)是逼近于的，因此克服了恒定偏差的問(wèn)題。

如圖2所示，硬閾值函數(shù)在閾值點(diǎn)wj,k=±λ是不連續(xù)的，重構(gòu)的信號(hào)容易造成Pseudo-Gibbs現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)連續(xù)性比較好，但是||wj,k≥λ的情況下會(huì)有恒定偏差；文獻(xiàn)[6]的連續(xù)性好，并且在閾值處的過(guò)度光滑，然而隨著 wj,k值的不斷變大，始終與函數(shù)存在著差值，不利于信號(hào)的重構(gòu)；本文的函數(shù)連續(xù)，在閾值點(diǎn)處的過(guò)渡區(qū)域保持光滑，另外隨著wj,k變大，不斷逼近函數(shù)達(dá)到近似重合，消除了文獻(xiàn)[6]所存在的差值問(wèn)題，使得重構(gòu)后的信號(hào)在突變點(diǎn)處的Pseudo-Gibbs現(xiàn)象得到抑制，而且控制了尖銳點(diǎn)處過(guò)度平滑的問(wèn)題，有效的控制了信號(hào)的突變和丟失。

圖2 函數(shù)圖比較

3 閾值選取

它是根據(jù)D.L.Donoho等人所提出的關(guān)于閾值估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)定理確定的閾值。其中σ表示噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差（度量噪聲的強(qiáng)弱），N表示信號(hào)的長(zhǎng)度。由于σ在實(shí)際環(huán)境中是一般是未知的，通常需要進(jìn)行估計(jì)。由于噪聲主要集中在最高分辨集J-1，所以我們可以利用小波

對(duì)于閾值函數(shù)而言，如果閾值取得過(guò)大，就會(huì)導(dǎo)致在過(guò)濾掉噪聲的同時(shí)也把一部分關(guān)于信號(hào)的信息也過(guò)濾掉了，造成去噪后的信號(hào)過(guò)度平滑；而閾值選取過(guò)小，又會(huì)保留噪聲，達(dá)不到去噪的目的，目前常用的閾值選取方法有[8]：

（1）固定閾值：系數(shù){wj-1,k，k=1,2，…，2J-1}估計(jì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差[1]，取

（2）Stein無(wú)偏似然估計(jì)閾值

（3）啟發(fā)式閾值

啟發(fā)式閾值是前兩種閾值的綜合，所選擇的是最優(yōu)預(yù)測(cè)變量閾值。如果信噪比很小時(shí)，選取固定閾值，如果信噪比很大時(shí)，選取Stein無(wú)偏似然估計(jì)閾值。假設(shè)sum為N個(gè)小波系數(shù)的平方和，令 μ=(sum-N)/N，ν=(lbN)3/2×N1/2，則：（4）最小最大準(zhǔn)則閾值

最小最大準(zhǔn)則閾值也是一種固定的閾值選擇形式，它所產(chǎn)生的是一個(gè)最小均方差的極值，而不是無(wú)誤差。

4 閾值函數(shù)仿真分析

4.1 去噪性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了驗(yàn)證改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪效果，一般來(lái)說(shuō)有兩種方法：主觀評(píng)論和客觀評(píng)論。主觀評(píng)論是人的主觀感受來(lái)判斷去噪信號(hào)的還原程度。客觀評(píng)價(jià)是指輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之間誤差來(lái)判斷去噪的質(zhì)量[11]。本文引入信噪比和均方誤差來(lái)評(píng)價(jià)去噪性能。信噪比的公式為：

均方誤差MSE的公式為：

其中信噪比SNR的單位為dB；yi為原始信號(hào)為去噪過(guò)后的信號(hào)；N表示信號(hào)的長(zhǎng)度。去噪后的信號(hào)信噪比越大，說(shuō)明去噪效果越好。MSE為均方誤差，MSE越小，去噪后的信號(hào)能更好地重現(xiàn)原始信號(hào)。

4.2 不同閾值函數(shù)之間的去噪性能比較

為了檢驗(yàn)本文與其他閾值函數(shù)之間的去噪性能，本文選取小波函數(shù)在db2，分解層數(shù)為5層，上閾值函數(shù)選取改進(jìn)后的閾值，下閾值系數(shù)選取為k=0.5。

為了更有效地比較本文閾值函數(shù)與其他閾值函數(shù)的性能，本文分別選取blocks信號(hào)、bumps信號(hào)以及heavy sine信號(hào)來(lái)進(jìn)行比較。

首先生成信號(hào)長(zhǎng)度為1024的blocks信號(hào)，然后加入信噪比為12的高斯白噪聲，原始信號(hào)、加噪信號(hào)以及不同閾值函數(shù)對(duì)blocks加噪信號(hào)的處理效果如圖所示：

圖3 blocks加噪信號(hào)不同閾值函數(shù)去噪比較

其次生成信號(hào)長(zhǎng)度為1024的bumps信號(hào)，加入信噪比為12的高斯白噪聲，原始信號(hào)、加噪信號(hào)以及不同閾值函數(shù)對(duì)bumps加噪信號(hào)的處理效果如圖所示：

圖4 bumps加噪信號(hào)不同閾值函數(shù)去噪比較

最后生成信號(hào)長(zhǎng)度為1024的heavy sine信號(hào)，加入信噪比為12的高斯白噪聲，原始信號(hào)、加噪信號(hào)以及不同閾值函數(shù)對(duì)heavy sine加噪信號(hào)的處理效果如圖所示：

圖5 heavy sine加噪信號(hào)不同閾值函數(shù)去噪比較

由圖 3（c）、圖 4（c）、圖 5（c）可以看出，硬閾值函數(shù)方法容易出現(xiàn)明顯的震蕩點(diǎn)，這是由于硬閾值函數(shù)不連續(xù)造成的；又由圖 3（d）、圖 4（d）、圖 5（d）可以看出，信號(hào)整體都非常平滑，并且在尖銳處也過(guò)于平滑，這是由于軟閾值函數(shù)存在固定偏差所造成的；三圖中的（e）、（f）、（g）分別代表文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]以及本文的閾值函數(shù)去噪結(jié)果，可以看出，三者去噪效果都要強(qiáng)于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)，并且本文的方法相較于其他兩種閾值函數(shù)方法也較為優(yōu)秀，下面從客觀角度，也就是信噪比和均方誤差來(lái)考察閾值函數(shù)如表1所示。

表1 三種信號(hào)在不同閾值函數(shù)下的去噪效果分析表

查看表1中的數(shù)據(jù)可以得到以下的信息，（1）軟閾值函數(shù)在blocks信號(hào)以及bumps信號(hào)中的處理效果明顯的弱于其他的閾值函數(shù)，因?yàn)閎locks信號(hào)以及bumps這兩種信號(hào)所含的凸點(diǎn)較多，軟閾值函數(shù)將大部分凸點(diǎn)處理的過(guò)于平滑，這就導(dǎo)致了軟閾值效果較差；（2）文獻(xiàn)[5]所提出的改進(jìn)方案相對(duì)于軟、硬閾值函數(shù)來(lái)說(shuō)雖然有一定的提升，但是提升較少，并且不夠穩(wěn)定，例如blocks信號(hào)下，文獻(xiàn)[5]的性能就弱于硬閾值函數(shù)；（3）文獻(xiàn)[6]以及本文所提出的改進(jìn)的閾值函數(shù)性能都比較穩(wěn)定，基本優(yōu)于其他閾值函數(shù)，并且k=0.5的情況下性能明顯優(yōu)于k=0.7的情況，另外，本文所提出來(lái)的改進(jìn)閾值函數(shù)提升效果明顯。

5 結(jié)語(yǔ)

首先，本文說(shuō)明了小波閾值去噪的基本原理，解釋了傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)處理方法。針對(duì)閾值函數(shù)的設(shè)計(jì)以及閾值的選取對(duì)去噪效果的影響，本文以近年來(lái)提出的雙閾值方法為基礎(chǔ)，提出了優(yōu)化改進(jìn)方案，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行驗(yàn)證，克服了軟、硬閾值的缺點(diǎn)并且彌補(bǔ)了原雙閾值函數(shù)的固定偏差的問(wèn)題。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文所提出的改進(jìn)的雙閾值函數(shù)有效的抑制了Pseudo-Gibbs現(xiàn)象，并且能盡量保持信號(hào)的光滑性。從信噪比SNR來(lái)看，本文的改進(jìn)閾值函數(shù)有了明顯提升，并且有效地降低了均方誤差MSE，實(shí)用性較高。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉明才.小波分析及其應(yīng)用第1版[M].清華大學(xué)出版社,2005.

[2]Donoho D L.De-noising by soft-thresholding[M].IEEE Press,1995.

[3]張兢，李冠迪，史文進(jìn)，等.基于新閾值函數(shù)的小波去噪算法[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2016，35(17)：20-22，25.

[4]王瑞,張友純.新閾值函數(shù)下的小波閾值去噪[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2013,49(15):215-218.

[5]陳映竹,王玉文,楊巍,等.一種新閾值函數(shù)的小波去噪算法研究[J].通信技術(shù),2017,50(7):1407-1411.

[6]盧仕澤,李星野.新雙閾值函數(shù)下的小波去噪研究[J].計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程,2015(9):1634-1639.

[7]郭繼坤,馬鵬飛,趙肖東.基于新閾值函數(shù)的小波閾值去噪算法及仿真[J].工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置,2015(1):117-121.

[8]葉重元,黃永東.小波閾值去噪算法的新改進(jìn)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2011,47(12):141-145.

[9]趙瑞珍,宋國(guó)鄉(xiāng),王紅.小波系數(shù)閾值估計(jì)的改進(jìn)模型[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2001,19(4):625-628.

[10]Atto A M,Pastor D,Mercier G.Wavelet Shrinkage:Unification of Basic Thresholding Functions and Thresholds[J].Signal Image&Video Processing,2011,5(1):11-28.

[11]唐鵬,郭寶平.改進(jìn)型閾值函數(shù)尋優(yōu)法的小波去噪分析[J].信號(hào)處理,2017,33(1):102-110.