劉益申 管文建

（上海天臣防偽技術(shù)股份有限公司互聯(lián)網(wǎng)事業(yè)部 上海 200433）

1 引言

現(xiàn)在廣大商家在售賣自己的產(chǎn)品時(shí)，通常會(huì)采取購(gòu)買有獎(jiǎng)的促銷方式，即消費(fèi)者在購(gòu)買商品后可獲得額外獎(jiǎng)品，有獎(jiǎng)促銷行為已經(jīng)成為現(xiàn)代商業(yè)營(yíng)銷的一種重要手段［1］。過(guò)去傳統(tǒng)的兌獎(jiǎng)方案是將實(shí)體兌獎(jiǎng)卡放入商品包裝內(nèi)，消費(fèi)者在購(gòu)買商品后，獲取包裝內(nèi)的兌獎(jiǎng)卡，憑兌獎(jiǎng)卡找商家進(jìn)行相應(yīng)兌獎(jiǎng)。隨著互聯(lián)網(wǎng)和移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的興起，公開(kāi)號(hào)為CN202472742U的實(shí)用新型專利設(shè)計(jì)了一種網(wǎng)絡(luò)驗(yàn)證兌獎(jiǎng)信息系統(tǒng)［1］，公開(kāi)號(hào)為CN103150806A的發(fā)明專利發(fā)明了一種網(wǎng)絡(luò)的發(fā)票自助兌獎(jiǎng)方法［2］，很多商家也開(kāi)始使用類似的新型電子兌獎(jiǎng)方案，即消費(fèi)者在購(gòu)買商品后，根據(jù)商品包裝內(nèi)的電子兌獎(jiǎng)碼，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)入商家的網(wǎng)上兌獎(jiǎng)平臺(tái)，通過(guò)輸入兌獎(jiǎng)碼來(lái)進(jìn)行兌獎(jiǎng)。比起傳統(tǒng)的實(shí)體兌獎(jiǎng)卡兌獎(jiǎng)方案，電子兌獎(jiǎng)方案使消費(fèi)者不受時(shí)間、地域的限制，隨時(shí)進(jìn)行兌獎(jiǎng)［3］，免去實(shí)體兌獎(jiǎng)卡的制作成本，另外將整個(gè)兌獎(jiǎng)流程交由商家后臺(tái)的計(jì)算機(jī)程序來(lái)管理，使傳統(tǒng)的兌獎(jiǎng)方案數(shù)字化，使兌獎(jiǎng)卡與商品實(shí)現(xiàn)數(shù)字關(guān)聯(lián)，并可根據(jù)市場(chǎng)銷售情況動(dòng)態(tài)設(shè)置獎(jiǎng)項(xiàng)內(nèi)容，最大有利于市場(chǎng)營(yíng)銷。

然而電子兌獎(jiǎng)方案也存在一定風(fēng)險(xiǎn)，即僅僅通過(guò)網(wǎng)上的兌獎(jiǎng)平臺(tái)輸入兌獎(jiǎng)碼來(lái)確認(rèn)消費(fèi)者是否中獎(jiǎng)是不夠安全的，通常兌獎(jiǎng)碼由若干位數(shù)字和字母構(gòu)成，由于位數(shù)固定，那么兌獎(jiǎng)碼所有的排列情況也是確定的，這樣在商家的網(wǎng)上兌獎(jiǎng)平臺(tái)上，存在某些人不購(gòu)買商品卻通過(guò)猜測(cè)恰好輸入正確兌獎(jiǎng)碼從而假冒兌獎(jiǎng)的情況，毫無(wú)疑問(wèn)，這樣的行為不僅損害了本該中獎(jiǎng)的消費(fèi)者利益，也給商家?guī)?lái)嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失。公開(kāi)號(hào)為CN101894343A的發(fā)明專利也指出當(dāng)前公開(kāi)的電子兌獎(jiǎng)方案不能完全杜絕假冒兌獎(jiǎng)的缺陷［4］，該發(fā)明專利雖然提出了一種通過(guò)事先采集消費(fèi)者指紋和增設(shè)兌獎(jiǎng)密碼來(lái)進(jìn)行兌獎(jiǎng)驗(yàn)證的方法，但該方法實(shí)施過(guò)于繁瑣復(fù)雜，極大增加了消費(fèi)者的購(gòu)物流程和驗(yàn)證兌獎(jiǎng)系統(tǒng)的復(fù)雜度，實(shí)用性不高。

本文針對(duì)電子兌獎(jiǎng)方案存在的風(fēng)險(xiǎn)，提出一種簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的方案，即在商家生產(chǎn)商品時(shí)應(yīng)使用多批次生產(chǎn)，并設(shè)計(jì)了批次數(shù)量值的選值算法，最后使用了C#語(yǔ)言和Math.Net開(kāi)源數(shù)學(xué)庫(kù)實(shí)現(xiàn)了該算法，可在絕大多數(shù)情況下計(jì)算出較優(yōu)的批次數(shù)量值范圍，供商家來(lái)參考。

2 使用多批次生產(chǎn)來(lái)降低猜中兌獎(jiǎng)碼的概率

首先假設(shè)電子兌獎(jiǎng)碼由d位（d＞0）數(shù)字（0～9）或者英文字母組合構(gòu)成（英文字母不區(qū)分大小寫，由于英文字母I和O和數(shù)字的1和0外形十分相似，為了避免給消費(fèi)者帶來(lái)混淆，將不包含字母I和O），因此兌獎(jiǎng)碼的每一位有10種數(shù)字和24種英文字母選擇，共34種選擇，根據(jù)這種兌獎(jiǎng)碼的長(zhǎng)度和場(chǎng)合數(shù)計(jì)算中的“相乘法則”［5］，d位兌獎(jiǎng)碼共有34d種組合。然后假設(shè)商家一次性共生產(chǎn)了n（n＞0）件商品，每件商品都含有唯一的兌獎(jiǎng)碼，所以共有n個(gè)正確的兌獎(jiǎng)碼。另外假設(shè)商家采用的是購(gòu)買即中獎(jiǎng)的促銷方式，即只要消費(fèi)者在網(wǎng)上兌獎(jiǎng)平臺(tái)輸入正確的兌獎(jiǎng)碼，就視為成功中獎(jiǎng)。在這種情況下，猜測(cè)1次就猜對(duì)兌獎(jiǎng)碼的概率為P1，這種猜測(cè)符合古典概型［6］的定義：

這個(gè)概率隨著n值遞增，當(dāng)n值較大時(shí)，概率也會(huì)較大，考慮到很多商家的產(chǎn)品產(chǎn)量非常大，因此這種帶給商家的風(fēng)險(xiǎn)不可小視。

然而商家在生產(chǎn)商品時(shí)使用多批次生產(chǎn)時(shí)，即將生產(chǎn)的商品并非一次性投入市場(chǎng)而是將商品分批次投入市場(chǎng)可以降低這種風(fēng)險(xiǎn)?，F(xiàn)在來(lái)計(jì)算采取多批次生產(chǎn)后，某個(gè)時(shí)刻猜測(cè)一次就成功猜測(cè)出商品兌獎(jiǎng)碼的概率。雖然無(wú)法確定猜中的兌獎(jiǎng)碼來(lái)源于哪個(gè)批次，但這個(gè)猜中的商品兌獎(jiǎng)碼一定來(lái)源于所有批次中的一個(gè)批次，基于這個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)，利用全概率公式［6］，設(shè)商家共分為m個(gè)（2≤m≤n）批次生產(chǎn)，每個(gè)批次的商品投入市場(chǎng)的時(shí)間相同，每個(gè)批次的商品數(shù)量為可得某個(gè)時(shí)刻猜測(cè)1次就猜中兌獎(jiǎng)碼的概率為

可見(jiàn)P2和n成正比，和d以及m成反比，P2與式（1）中的P1相比后，可以得出：

因此采用多批次生產(chǎn)可降低猜測(cè)1次就猜中商品兌獎(jiǎng)碼的概率m倍。

3 多批次生產(chǎn)對(duì)海量猜測(cè)兌獎(jiǎng)碼的影響

很多時(shí)候，某些人會(huì)安裝一些計(jì)算機(jī)腳本程序，這些腳本程序會(huì)自動(dòng)海量嘗試猜測(cè)兌獎(jiǎng)碼，并可能得到大量正確的商品兌獎(jiǎng)碼。這種行為給商家?guī)?lái)的危害更大。那么多批次生產(chǎn)是否也能降低這種危害，是很值得考慮的。

設(shè)計(jì)算機(jī)腳本每次嘗試都是獨(dú)立的，那么現(xiàn)在來(lái)計(jì)算一下恰好猜中n個(gè)兌獎(jiǎng)碼出現(xiàn)的概率。在概率學(xué)中，如果在一次試驗(yàn)中只關(guān)心某個(gè)事件是否發(fā)生，那么稱這個(gè)試驗(yàn)為貝努利試驗(yàn)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努利概型［6］。另外，在n重貝努利實(shí)驗(yàn)中，設(shè)隨機(jī)變量X表示n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，可以得出X的概率函數(shù)為［6］

稱這個(gè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記做X～B（n，p），其中0＜p＜1。當(dāng)n值較大，n×p值適中時(shí)，通常當(dāng)n≥10，p≤0.01時(shí)，這個(gè)時(shí)候可以利用泊松定理［6］來(lái)使用泊松分布來(lái)近似模擬二項(xiàng)分布，設(shè) λ=np ，0＜p＜1，k≥ 1：

稱這個(gè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布［6］，記作X～P（λ），其中，λ＞0。

為了更方便并直觀的比較采用多批次生產(chǎn)前后的猜中多個(gè)兌獎(jiǎng)碼的概率區(qū)別，將使用Octave來(lái)模擬繪制兩者的分布圖像。Octave作為一款免費(fèi)軟件，語(yǔ)法和Matlab十分相似，主要用于數(shù)值計(jì)算［7］。這里假設(shè)商家共生產(chǎn)了20000000件商品，兌獎(jiǎng)碼為6位長(zhǎng)度，通過(guò)計(jì)算機(jī)腳本程序嘗試猜測(cè)兌獎(jiǎng)碼1000次，根據(jù)式（1），猜測(cè)1次猜中兌獎(jiǎng)碼的概率np=1000×0.0129=12.9。如果商家采用10個(gè)生產(chǎn)批次，采用10個(gè)生產(chǎn)批次后，根據(jù)式（3），猜測(cè)1次猜中兌獎(jiǎng)碼的概率np=1000×0.00129=1.29。這里由于 n≥10，p≤0.01，因此可使用泊松分布來(lái)觀察猜中n個(gè)兌獎(jiǎng)碼的概率分布，使用Oc?tave來(lái)模擬該分布的情況如圖1。

圖1 2種不同的生產(chǎn)方式下的概率函數(shù)值

從圖1可以看出，雖然采用多批次生產(chǎn)時(shí)，猜中兌獎(jiǎng)碼的數(shù)量大于5的概率更低，但猜中兌獎(jiǎng)碼的數(shù)量小于5的概率明顯更高，由此可見(jiàn)采用多批次生產(chǎn)后，可降低猜測(cè)1次猜中兌獎(jiǎng)碼的概率，但在使用計(jì)算機(jī)腳本程序海量嘗試時(shí)，可能存在猜中某些數(shù)量?jī)丢?jiǎng)碼的概率反而會(huì)更高的現(xiàn)象，因此一個(gè)合適的批次數(shù)量值選值是非常重要的。

4 批次數(shù)量值的選值算法設(shè)計(jì)

現(xiàn)在設(shè)商家共生產(chǎn)了C（C＞0）件商品，使用計(jì)算機(jī)腳本程序至多嘗試nx（nx≥1）次，未采用多批次生產(chǎn)時(shí)的猜測(cè)1次猜中兌獎(jiǎng)碼的概率為 p1（0＜p1＜1），猜中 k（1≤ k≤ nx）個(gè)兌獎(jiǎng)碼的概率為 P1，采用多批次生產(chǎn)后，分為m（2≤m≤C）個(gè)批次，猜測(cè)1次猜中兌獎(jiǎng)碼的概率為 p2（0＜p2＜1），猜中k（1≤k≤nx）個(gè)兌獎(jiǎng)碼的概率為 P2，根據(jù)式（3），p2=p1/m。如果商家采用多批次生產(chǎn)，現(xiàn)在需要選擇一個(gè)合適的m值，即這個(gè)m值能夠始終使P2≤P1。

由于有效的批次數(shù)量值m≥2并且小于等于產(chǎn)量總值，直觀地，可以遍歷每個(gè)可能的批次數(shù)量值，計(jì)算在該批次數(shù)量值下，P2≤P1是否成立。如果成立，那么這就是一個(gè)合適的批次數(shù)量值。但這樣的做法耗時(shí)較多，效率較低，特別是當(dāng)商家的產(chǎn)量總值較大的時(shí)候，需要遍歷的數(shù)目也會(huì)非常大。為了提高算法的效率，可做如下優(yōu)化：

結(jié)論1 無(wú)論是使用二項(xiàng)分布還是泊松分布計(jì)算概率函數(shù)值，如果要使 P2≤P1，那么顯然P2(k=1)≤P1(k=1)也必然成立。另外如果能在使用計(jì)算機(jī)腳本程序嘗試nx的情況下使P2(k=1)≤P1(k=1)，那么當(dāng)嘗試次數(shù)小于nx時(shí)（使用 n=nx-t來(lái) 表 示 ，1 ≤ t≤ nx-1） ，P2(k=1)≤P1(k=1)仍然成立。

證明如下：

對(duì)于二項(xiàng)分布：

∴當(dāng)n=nx-t時(shí)，P2(k=1)≤P1(k=1)

現(xiàn)在觀察P(k=1)的單調(diào)情況，根據(jù)n和 p1的值，可分為兩種情況：

1）當(dāng)0＜n＜10或者 p1＞0.1時(shí)，使用二項(xiàng)分布的概率函數(shù)值更好。

無(wú)論是否采取多批次生產(chǎn)，恰好猜中1個(gè)兌獎(jiǎng)碼的概率為

此時(shí)對(duì)P(p)求導(dǎo)：

結(jié)論2 當(dāng)k=1時(shí)，P(p0=)是P（p）上的一個(gè)最大值，并且在np＜1時(shí)遞增，在np＞1時(shí)遞減。

根據(jù)這個(gè)結(jié)論2和結(jié)論1，可以首先計(jì)算nxp1的值，如果小于1，那么為了使采用多批次生產(chǎn)后能 使 P2(k=1)≤P1(k=1)，只 需 nxp2≤nxp1，即可使m=2，3，4，…，C，即批次數(shù)量值從2到總產(chǎn)量值C都可以滿足條件。

結(jié)論3 現(xiàn)在考慮猜中的兌獎(jiǎng)碼個(gè)數(shù)為k（2≤k≤ nx）時(shí)，當(dāng)滿足 P2(k=1)≤P1(k=1)時(shí)，是否仍然能使P2≤P1。結(jié)論是肯定的，證明如下：

綜上，可以得出當(dāng)nxp1≤1時(shí)，批次數(shù)量值范圍為[2 ，C ]上的所有整數(shù)。

現(xiàn)在考慮當(dāng)nxp1＞1時(shí)的情況，根據(jù)結(jié)論2，當(dāng)k=1時(shí)，P(k=1)在 np＞1的時(shí)候是遞減的，而p2＜p1，所以如果 nxp2仍然大于1，那么 P22(k=1)將會(huì)大于P1(k=1)，這是不符合要求的。因此符合要求的nxp2必然小于1。根據(jù)結(jié)論2，P(k=1)在np＜1的時(shí)候是遞增的，p最小值為，所以當(dāng)批次數(shù)量值取總產(chǎn)量值C時(shí)，P2(k=1)是最小的。

如果此時(shí)的P2(k=1)＞P1(k=1)，那么說(shuō)明在這個(gè)嘗試次數(shù)nx下，合適的批次數(shù)量值并不存在，這樣就繼續(xù)考慮嘗試次數(shù)為nx-1的情況下，合適的批次數(shù)量值是否存在。

如果此時(shí)的P2(k=1)=P1(k=1)，那么說(shuō)明批次數(shù)量值取總產(chǎn)量值C是唯一合適的批次數(shù)量值。

如果此時(shí)的P2(k=1)＜P1(k=1)，則說(shuō)明合適的批次數(shù)量值存在，并可能存在多個(gè)，所以這時(shí)需要找到一個(gè)最小的能使P2(k=1)≤P1(k=1)的值m1，根據(jù)結(jié)論3，說(shuō)明m1是個(gè)合適的批次數(shù)量值。又因?yàn)橹暗贸龇弦蟮膎xp2必然小于1并且根據(jù)結(jié)論2，P(k=1)在np＜1的時(shí)候是遞增的，比m1更大的批次值必能使 p2更小也能使P(k=1)更小，所以最終的批次數(shù)量值范圍為[m1，C ]上的所有整數(shù)。

通過(guò)這些結(jié)論，在nxp1＞1的情況下，可以預(yù)先判斷出合適的批次數(shù)量值是否存在或者只存在唯一合適的批次數(shù)量值，省去了依次遍歷每個(gè)可能的批次數(shù)量值，提高了算法的時(shí)間效率。

綜上這就是當(dāng)0＜n＜10或者 p1＞0.1時(shí)，使用二項(xiàng)分布的批次數(shù)量值選值的主要流程。

2）當(dāng)n≥10并且 p1≤0.1時(shí)，設(shè) λ=np（λ＞0），二項(xiàng)概率可使用泊松分布的概率函數(shù)值來(lái)近似，泊松分布在n值較大時(shí)的計(jì)算相比二項(xiàng)分布更加簡(jiǎn)單，可以減少一定的計(jì)算量。

無(wú)論是否采取多批次生產(chǎn)，恰好猜中1個(gè)兌獎(jiǎng)碼的概率為

此時(shí)對(duì) P(λ)求導(dǎo)：

由此可知，唯一的駐點(diǎn)λ0=1，即np=1。當(dāng)λ＜λ0時(shí)（即 np＜1時(shí)），P′(λ)＞0，而當(dāng)p＞ λ0時(shí)（即 np＞1時(shí)），P′(p)＜0 ，由此可說(shuō)明［8］：

結(jié)論4 當(dāng)k=1時(shí)，P(λ0=1)是 P(λ)上的一個(gè)最大值，并且在np＜1時(shí)遞增，在np＞1時(shí)遞減。

根據(jù)這個(gè)結(jié)論4和結(jié)論6，可以首先計(jì)算nxp1的值，如果小于1，那么為了使采用多批次生產(chǎn)后能 使 P2(k=1)≤P1(k=1)，只 需 nxp2≤nxp1，即可使m=2，3，4，…，C，即批次數(shù)量值從2到總產(chǎn)量值C都可以滿足條件。

結(jié)論5 現(xiàn)在考慮當(dāng)猜中的兌獎(jiǎng)碼個(gè)數(shù)為k（2≤k≤nx）時(shí)，當(dāng)滿足 P2(k=1)≤P1(k=1)時(shí)，是否仍然能使P2≤P1。結(jié)論是肯定的。

證明如下：

綜上，可以得出當(dāng)nxp1≤1時(shí)，批次數(shù)量值范圍為[2 ， C ]上的所有整數(shù)。

現(xiàn)在考慮當(dāng)nxp1＞1時(shí)的情況，將結(jié)論4、結(jié)論5和使用二項(xiàng)分布的結(jié)論2、結(jié)論3進(jìn)行類比，可以發(fā)現(xiàn)接下來(lái)的流程和使用二項(xiàng)分布完全一致。這里不再贅述。

綜上這就是當(dāng)n≥10并且p1≤0.1時(shí)，使用泊松分布的批次數(shù)量值選值的主要流程。

5 基于C#和Math.Net庫(kù)實(shí)現(xiàn)多批次生產(chǎn)的批次數(shù)量值選值算法

根據(jù)第3節(jié)的批次數(shù)量值選值的流程，現(xiàn)在使用C#語(yǔ)言和Math.Net庫(kù)通過(guò)計(jì)算機(jī)程序來(lái)實(shí)現(xiàn)該批次數(shù)量值的選值算法。Math.Net是.Net平臺(tái)上一款開(kāi)源的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具箱，主要分為幾個(gè)子項(xiàng)目，其中的Math.Net Numerics的核心功能是數(shù)值計(jì)算，主要是提供日?？茖W(xué)工程計(jì)算相關(guān)的算法，包括一些特殊函數(shù)，線性代數(shù)，概率論，隨機(jī)函數(shù)，微積分，插值，最優(yōu)化等相關(guān)計(jì)算功能［9］。另外程序?qū)⒒赪PF 技術(shù)，WPF（Windows Presentation Foundation）是基于。Net的新一代界面開(kāi)發(fā)平臺(tái)［10］，商家用戶可以方便地在界面上進(jìn)行相關(guān)輸入操作，輸入生產(chǎn)總產(chǎn)量、兌獎(jiǎng)碼長(zhǎng)度、猜測(cè)嘗試最大次數(shù)之后，可得出相應(yīng)的批次數(shù)量值范圍，商家可根據(jù)實(shí)際的生產(chǎn)情況綜合考慮，決定最后的批次數(shù)量值。

調(diào)用Math.net其中的Binomial和Poisson類，可以非常方便地進(jìn)行相應(yīng)的二項(xiàng)分布和泊松分布的概率函數(shù)值計(jì)算。

調(diào)用Poisson類：

Poisson newPoi=new Poisson（oldLambda/currentTryBatch?Number）；

double newP=newPoi.Probability（1）；

調(diào)用Binomial類：

Binomial newBin=new Binomial（oldp/currentTryBatchNum?ber，n）；

double newP=newBin.Probability（1）；

另外根據(jù)第3節(jié)的論述，在查找一個(gè)最小的能使 P2(k=1)≤P1(k=1)的批次值m1的過(guò)程中，根據(jù)第3節(jié)的結(jié)論2和結(jié)論4，P(k=1)在np＜1時(shí)是遞增的，也就是有序的，而在有序數(shù)列中二分查找最為常用［11］，因此可以使用二分查找，可以極大提升查找的效率。代碼如下：

///＜summary＞

///二分查找法確定最小的批次數(shù)量值使P（k=1）小于原來(lái)

///＜/summary＞

///＜param name=“oldP1”＞p，即未采用多批次生產(chǎn)，猜中兌獎(jiǎng)碼的概率＜/param＞

///＜param name=“oldLambda”＞np，n為嘗試次數(shù)＜/param＞

///＜param name=“startNum”＞當(dāng)前查找的批次數(shù)量值的下界＜/param＞

///＜param name=“endNum”＞當(dāng)前查找的批次數(shù)量值的上界＜/param＞

///＜returns＞＜/returns＞

private int PoiSelectFirstCorrectBatchNumber（double oldP1，double oldLambda，int startNum，int endNum）

｛

int currentTryBatchNumber=（startNum+endNum）/2；//確定用于比較的折半點(diǎn)

Poisson newPoi=new Poisson（oldLambda/currentTry?BatchNumber）；

double newP=newPoi.Probability（1）；//計(jì)算泊松分布的概率函數(shù)值P（k=1），即當(dāng)np=oldLambda時(shí)猜中一個(gè)兌獎(jiǎng)碼的概率

Poisson newPoiCheck=new Poisson（oldLambda/（currentTryBatchNumber-1））；

double newPCheck=newPoiCheck.Probability（1）；

if（newP ＜=oldP1）//使用 currentTryBatchNumber作為批次數(shù)量值，P（k=1）是否小于原來(lái)

｛

if（newPCheck ＞ oldP1）//使 用 currentTryBatch?Number-1作為批次數(shù)量值，P（k=1）是否大于原來(lái)

｛

return currentTryBatchNumber；//說(shuō) 明 current?TryBatchNumber是一個(gè)符合要求的最小的批次數(shù)量值，返回

｝

else

｛

endNum=currentTryBatchNumber-1；//說(shuō)明可以找到比currentTryBatchNumber更小的符合要求的批次數(shù)量值

PoiSelectFirstCorrectBatchNumber（oldP1， old?Lambda，startNum，endNum）；//繼續(xù)查找

｝

｝

else

｛

startNum=currentTryBatchNumber+1；//該 cur?rentTryBatchNumber不符合要求，過(guò)小

PoiSelectFirstCorrectBatchNumber（oldP1，oldLamb?da，startNum，endNum）；//繼續(xù)查找

｝

return 0；

｝

整個(gè)程序的流程如下（使用二項(xiàng)分布和泊松分布的流程一致，這里的流程不再作出）：

圖2 批次數(shù)量值選值算法流程圖

該批次數(shù)量值的選值算法主要優(yōu)勢(shì)在于：

1）較好的時(shí)間復(fù)雜度。二項(xiàng)分布的計(jì)算有時(shí)相當(dāng)麻煩，計(jì)算量相當(dāng)大［12］。在最大嘗試次數(shù)和猜中兌獎(jiǎng)碼的概率符合相應(yīng)條件的情況下，使用泊松分布來(lái)近似二項(xiàng)分布的概率函數(shù)值以簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)嘗試次數(shù)和猜中兌獎(jiǎng)碼的概率的乘積進(jìn)行預(yù)先判斷，時(shí)間復(fù)雜度最高不超過(guò)O（N2），最短只需O（1）。在查找最小符合要求的批次數(shù)量值時(shí)使用了二分查找，也大大優(yōu)化了算法的時(shí)間效率。

2）較好的空間復(fù)雜度。如果合適的批次數(shù)量值存在，根據(jù)第3節(jié)的論述，最后的批次值為C或[2 ， C ]或[m1，C ]，對(duì)于 [2 ， C ]或[m1，C ]，只用一個(gè)最小的批次數(shù)量值2或者m1存儲(chǔ)結(jié)果，實(shí)質(zhì)表示從2或者m1到總產(chǎn)量值C的一個(gè)范圍，極大減少了內(nèi)存占用。

該批次數(shù)量值的選值算法主要局限性在于：

1）程序要求商家用戶輸入嘗試猜測(cè)次數(shù)的最大值nx，理想情況下，計(jì)算得出的批次數(shù)量值可使當(dāng)嘗試猜測(cè)兌獎(jiǎng)碼次數(shù)分別為1，2，3，…，nx時(shí)，猜中k（1≤k≤nx）個(gè)兌獎(jiǎng)碼的概率降低。但根據(jù)圖2，在嘗試猜測(cè)兌獎(jiǎng)碼次數(shù)分別為 nx，nx-1，nx-2，…，nx-i（0≤i≤nx-1）時(shí)，符合要求的批次數(shù)量值可能不存在，得出的批次數(shù)量值只能滿足部分嘗試次數(shù)下，猜中k個(gè)兌獎(jiǎng)碼的概率降低。

表1為程序運(yùn)行的部分結(jié)果。

表1 批次數(shù)量值選值算法程序的部分運(yùn)行結(jié)果

6 結(jié)語(yǔ)

本文指出了現(xiàn)在電子兌獎(jiǎng)方案中存在某些人猜測(cè)兌獎(jiǎng)碼假冒兌獎(jiǎng)的風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算了采用多批次生產(chǎn)后，某個(gè)時(shí)刻猜中兌獎(jiǎng)碼的概率，并指出了該概率和兌獎(jiǎng)碼長(zhǎng)度、生產(chǎn)總產(chǎn)量和生產(chǎn)批次數(shù)量之間的關(guān)系。

另外，本文指出了多批次生產(chǎn)也并非毫無(wú)缺點(diǎn)，批次數(shù)量的取值問(wèn)題是很重要的。某些批次數(shù)量值可能導(dǎo)致某些人利用計(jì)算機(jī)腳本程序進(jìn)行海量嘗試兌獎(jiǎng)碼時(shí)，猜中某些個(gè)數(shù)的兌獎(jiǎng)碼的概率反而提高了，并利用了一款免費(fèi)的數(shù)學(xué)軟件Octave通過(guò)繪圖說(shuō)明了該問(wèn)題。

對(duì)此，本文進(jìn)一步提出了一種計(jì)算合適批次數(shù)量值范圍的算法，算法根據(jù)二項(xiàng)和泊松分布來(lái)計(jì)算相關(guān)的概率函數(shù)值，并利用了二分查找、二項(xiàng)分布和泊松分布相關(guān)的單調(diào)特性優(yōu)化了算法，使算法具有較好地時(shí)間和空間復(fù)雜度，并且最后使用C#編程語(yǔ)言和。Net平臺(tái)的一款開(kāi)源數(shù)學(xué)工具M(jìn)ath.Net實(shí)現(xiàn)了該批次數(shù)量值選值算法，該算法能夠在商家決定生產(chǎn)批次數(shù)量時(shí)提供一個(gè)批次數(shù)量值的區(qū)間范圍，雖然算法存在一定局限性并且仍然無(wú)法完全杜絕某些人通過(guò)猜測(cè)兌獎(jiǎng)碼假冒兌獎(jiǎng)的情況，但可以大大降低這種情況的發(fā)生，切實(shí)為商家減少經(jīng)濟(jì)損失。

［1］ 鄧 路 沙.一 種 驗(yàn) 證 兌 獎(jiǎng) 信 息 系 統(tǒng)［P］.中 國(guó) ，CN202472742U，2010-10-03.DENG Lusha.Verification award converting information system［P］.China，CN202472742U，2010-10-03.

［2］牛玉山，王培元，段清泉.一種發(fā)票自助兌獎(jiǎng)的方法［P］.中國(guó)，CN103150806A，2013-06-12.NIU Yushan，WANG Peiyuan，DUAN Qingquan.Method of invoice self-service cashing ［P］. China，CN103150806A，2013-06-12.

［3］唐西林，郭海艮.一種基于彩票內(nèi)容保護(hù)的電子彩票方案 的 改 進(jìn)［J］.計(jì) 算 機(jī) 應(yīng) 用 研 究 ，2009，26（4）：1506-1508.TANG Xilin，GUO Haigen.Improvement of electronic lot?tery scheme based on protecting content of lotteries［J］.Application Research of Computers，2009，26（4）：1506-1508.

［4］周娟，曾輝，柴亞輝，等.一種有效安全驗(yàn)證的彩票銷售兌獎(jiǎng)方法［P］.中國(guó)，CN101894343A，2010-11-24.ZHOU Juan，ZENG Hui，CHAI Yahui，et al.Effective and safe verification-based lottery ticket sale and prize ex?change method ［P］. China， CN101894343A，2010-11-24.

［5］小林道正.概率·統(tǒng)計(jì)［M］.盧煒俊，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2014：4-5.Kobayashi Masae.Probability·Statistics［M］.Translated by LU Weijun.Shanghai：Shanghai Scientific&Technical Publishers，2014：4-5.

［6］同濟(jì)大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教研組.概率統(tǒng)計(jì)（第三版）［M］.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2004：24-94.Teaching and research group of probability and statistics at Tongji University.Probability and statistics（Third edi?tion）［M］.Shanghai：Tongji University Press，2004：24-94.

［7］Neeraj Sharma，Matthias K.Gobbert.A Comparative Evalu?ation of Matlab，Octave，F(xiàn)reemat，And Scilab For Re?search and Teaching ［R］.Technical Report HP?CF-2010-7.

［8］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分（第二版上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2003：151-153.Department of applied mathematics at Tongji University.Calculus（Second edition，Volume one）［M］.Beijing：High?er Education Press，2003：151-153.

［9］數(shù)據(jù)之巔.開(kāi)源Math.NET基礎(chǔ)數(shù)學(xué)類庫(kù)使用（01）綜合介 紹 ［EB/OL］. http：//www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html.Peak of Math.The general introduction of using open-source basic mathematics library Math.Net（01）［EB/OL］.http：//www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html.

［10］王媛嬌，孫愷.基于WPF技術(shù)的行情分析軟件設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］.電子設(shè)計(jì)工程，2014，22（18）：20-22.WANG Yuanjiao，SUN Kai.Design and implementation of market quotations analysis system based on WPF［J］.Electronic Design Engineering，2014，22（18）：20-22.

［11］鄒國(guó)霞，何南.一種改進(jìn)的二分查找算法［J］.軟件導(dǎo)刊，2010，9（3）：53-55.ZOU Guoxia，HE Nan.An improved binary-search algo?rithm［J］.Software Guide，2010，9（3）：53-55.

［12］汪紅.用普阿松分布逼近二項(xiàng)分布的誤差估計(jì)［J］.綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，（Z1）：16-18.WANG Hong.The error estimate of using Possion distri?bution to approximate Binomial distribution［J］.Journal of Mianyang Normal University，1997，（Z1）：16-18.