夏澤斌，段富海,※，金 霞，安 瑋

行星輪減速器因其體積小，傳動比大，承載能力強和傳動效率高等特點，越來越廣泛應用在航空航天、工程機械、礦山機械、數(shù)控設備等各種機械傳動系統(tǒng)中。飛機功率電傳用機電作動器（Electro-Mechanical Actuator，EMA）要求功率重量比大、運行可靠穩(wěn)定且使用壽命長[1-2]，這對其行星輪減速器的設計提出了很高要求。行星輪減速器的性能是EMA高質(zhì)量完成工作的關鍵，而體積、強度及剛度等都是衡量行星輪減速器性能優(yōu)劣的重要指標，這些指標往往是相互沖突的，所需的約束條件又耦合在一起，使得行星輪減速器的設計變得復雜。如何兼顧上述性能目標和質(zhì)量目標，并求得總體設計的最優(yōu)解是工程設計人員不斷研究與探討的問題。

一直以來，設計人員常用遺傳算法、罰函數(shù)法等對減速器的各參數(shù)進行優(yōu)化。楊奇[3]等人基于遺傳算法對行星輪減速器進行了優(yōu)化設計，提出了以單參數(shù)最大效能體積比來確定最佳短幅系數(shù)的方法，并得到了設計結果。西慶坤[4]等人利用MATLAB遺傳工具箱解決了擺線針輪行星減速器傳動效率低，結構不緊湊的問題。于明[5]等人以體積最小為優(yōu)化目標，對減速器進行了優(yōu)化設計，但只考慮減速器的外部尺寸，沒有考慮內(nèi)部結構對減速器的影響。隨著學者們對優(yōu)化算法的深入研究，人們發(fā)現(xiàn)遺傳算法存在對新空間的探索能力有限、計算復雜、難以處理非線性約束、穩(wěn)定性差等缺點；罰函數(shù)法存在起始點難以選擇、罰因子難以確定等缺點。另外對EMA的研究多集中在電機與控制學科，對機械學科的文獻相對較少。為進一步提高行星輪減速器的性能，本文探索利用多學科協(xié)同優(yōu)化設計（Collaborative Optimization，CO）方法來完成行星輪減速器的優(yōu)化設計。

CO方法充分利用不同學科之間的相互作用以及協(xié)同機制，將單個學科的分析與優(yōu)化同整個系統(tǒng)中互為耦合的其他學科的分析與優(yōu)化結合起來，能夠將涉及的幾個學科之間的耦合關系分析清楚，可很好地解決不同學科之間的沖突性以及約束的復雜性，從而得到適合條件的全局最優(yōu)解[6]。利用多學科CO設計方法來完成行星輪減速器優(yōu)化，可以將復雜的行星輪減速器設計分解為若干簡單子任務，來完成原有的設計任務，這樣可減少原有設計復雜度，更易得到全局優(yōu)化解。設計空間縮減協(xié)同優(yōu)化算法（Design Space Decrease Collaborative Optimization，DSDCO）是一種改進的協(xié)同優(yōu)化方法[7]，它根據(jù)子空間優(yōu)化結果，刪除不可行求解空間，選取系統(tǒng)級優(yōu)化解，通過子空間循環(huán)迭代優(yōu)化計算，直至系統(tǒng)級優(yōu)化解符合收斂條件。

本文以EMA擺線針輪行星輪減速器為研究對象，以符合設計要求的結構尺寸和應力約束條件為基礎，以行星輪減速器體積最小為目標，建立數(shù)學模型，使用DSDCO算法對EMA進行多學科協(xié)同優(yōu)化，并對優(yōu)化結果進行分析。

1 行星輪減速器的數(shù)學模型

1.1 確定設計變量

某型飛機EMA所用減速器為擺線針輪行星減速器，其結構如圖1所示。通過分析影響擺線針輪行星減速器的主要參數(shù)，同時考慮優(yōu)化設計的建模，選擇針輪分布圓直徑DZ、針齒套外徑dZ、擺線輪寬度B、轉臂軸承外徑D1和柱銷直徑dp作為設計變量，其他參數(shù)均為設計常量，這5個設計變量分別獨立，決定了擺線針輪行星減速器的體積，即擺線針輪行星減速器優(yōu)化設計的設計變量：

X=[X1X2X3X4X5]T=[DZdZB D1dp]T

圖1 擺線針輪行星減速器結構示意圖Fig.1 Cycloid reducer structure diagram

1.2 建立目標函數(shù)

擺線針輪行星減速器優(yōu)化設計的目標既可以是性能指標，也可以是總體的結構尺寸。本文采用在給定傳動功率和傳動比時，滿足強度及其他幾何尺寸要求條件下擺線輪的體積最小，作為擺線針輪行星減速器設計的目標函數(shù)[8-10]，以便使減速器結構緊湊，功重比大。擺線輪的尺寸決定了擺線針輪行星減速器的結構大小。

擺線輪的體積可認為是齒根圓內(nèi)的圓盤體積加上擺線齒部分的體積，減去轉臂軸承占據(jù)的體積和柱銷孔的尺寸，可推得擺線輪體積為：

于是得到擺線針輪行星減速器優(yōu)化設計的目標函數(shù):

式（2）中：Zb為針輪齒數(shù)，其數(shù)值為傳動比加1；ZW為柱銷數(shù)目；Δ2為柱銷套壁厚；K1為短幅系數(shù)。

1.3 建立約束條件方程

1.3.1 擺線輪齒廓不根切條件

為避免齒廓發(fā)生根切，針齒套外徑dZ與針輪分布圓直徑DZ的比值應當小于理論齒廓最小曲率

半徑系數(shù)amin，即

得約束條件為：

式（3）中：Zg為擺線輪齒數(shù)；K1為短幅系數(shù)，是擺線針輪行星傳動的重要系數(shù)。1.3.2擺線輪厚度的限制條件

擺線輪厚度一般為：

得約束條件為：

1.3.3 擺線輪與針齒的接觸強度條件

1.3.4 針齒銷的彎曲強度條件

對于雙支點針齒銷的彎曲應力為：

式（6）中： MV為輸出軸的阻力矩，

式 （7） 中 ： dz1

針齒銷上最大的彎矩數(shù)值為：

式中：δ0為擺線輪與針齒殼側面間的間隙，一般取δ0=4 mm；δ為兩擺線輪間隔環(huán)的厚度，δ=B-b，b為軸承的寬度；Δ為針齒殼側面的壁厚，一般為dZ＜Δ＜B。

約束條件為：

1.3.5 針輪分布圓直徑的限制條件

針輪分布圓直徑的設計對減速器結構尺寸和承載能力有很大的影響，一般是根據(jù)輸出軸的阻力矩，由經(jīng)驗來確定和選擇的。其經(jīng)驗公式為:

1.3.6 柱銷的彎曲強度

臥式結構的柱銷常規(guī)設計是懸臂安裝的[11]，其柱銷所受的最大彎曲應力需滿足:

式（9）中：柱銷分布圓半徑RW：

約束條件為：

1.3.7 柱銷套與柱銷孔的接觸強度條件

柱銷套與柱銷孔的接觸應力由赫茲公式，經(jīng)整理得到，接觸強度條件為:

式（11）中：柱銷套半徑rp=0.5dp+Δ2。

約束條件為：

1.3.8 柱銷孔最大直徑的限制條件

為保證擺線輪有足夠的強度，在兩個柱銷孔之間，柱銷孔與轉臂軸承外徑孔之間，又有一定的厚度Δ0，工程中一般取Δ0=0.03DZ，其限制條件為：

約束條件為：

2 多學科協(xié)同設計優(yōu)化及其算法

2.1 多學科協(xié)同設計優(yōu)化

多學科協(xié)同優(yōu)化（CO）是一種針對復雜系統(tǒng)設計問題的多級式優(yōu)化方法，它將復雜的系統(tǒng)設計問題分解為一個系統(tǒng)級和并行的幾個子系統(tǒng)級問題，并通過系統(tǒng)級約束條件來協(xié)調(diào)各子系統(tǒng)之間的共享設計變量和耦合狀態(tài)變量[12-13]。CO主要思想是：在子系統(tǒng)優(yōu)化時可以暫時不考慮其它學科的影響，只需要滿足該子系統(tǒng)級約束，子系統(tǒng)級優(yōu)化目標是使該子系統(tǒng)優(yōu)化結果與系統(tǒng)級優(yōu)化提供的目標差異值達到最??；而各個子系統(tǒng)級優(yōu)化結果的不一致性由系統(tǒng)級優(yōu)化來協(xié)調(diào)，通過系統(tǒng)級優(yōu)化和子系統(tǒng)級優(yōu)化之間多次迭代，最終得到一個符合學科間一致性要求的系統(tǒng)最優(yōu)化設計方案。根據(jù)CO思想，減速器的子系統(tǒng)劃分可以按照約束條件所屬學科進行，由減速器優(yōu)化模型可知，約束條件包含了機械結構以及力學兩個不同的學科?？蓪p速器優(yōu)化問題劃分為兩個子系統(tǒng)：機械結構學科和力學學科。在兩個子系統(tǒng)內(nèi)分別進行優(yōu)化設計，并把子系統(tǒng)優(yōu)化結果傳遞到減速器系統(tǒng)級優(yōu)化。相比于其他優(yōu)化過程，CO可解決復雜耦合問題并簡化復雜計算過程。

將多學科協(xié)同優(yōu)化應用于減速器，其本身就是考慮滿足不同學科下的約束條件所需目標的最優(yōu)解，減速器設計也由直覺、經(jīng)驗設計變?yōu)楦行?、更符合使用要求的理性設計。

2.2 DSDCO算法求解思路及其特點

多學科協(xié)同優(yōu)化有多種算法，如ECO、CLA-CO、DSDCO等。金霞[7]等提出的設計空間縮減協(xié)同優(yōu)化算法（DSDCO）適用變量有界的多學科優(yōu)化問題，具有對起始點無要求、計算時間快、對約束條件凸凹性沒有要求等特點。DSDCO根據(jù)子系統(tǒng)優(yōu)化結果，在原問題的求解空間中去除子系統(tǒng)計算所得的不可行域，將剩余的求解空間作為系統(tǒng)級優(yōu)化的求解空間進行系統(tǒng)級優(yōu)化計算。隨著迭代的繼續(xù)，求解空間不斷更新系統(tǒng)級變量邊界，在原求解空間中不斷去除不可行域，但始終包含完整的原問題可行域。當系統(tǒng)級優(yōu)化解滿足收斂條件時，得到原問題的全局最優(yōu)解。該方法對于原問題約束函數(shù)的凸性沒有限制，在系統(tǒng)級優(yōu)化公式中，用變量邊界代替了傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化中的一致性等式約束，使系統(tǒng)級優(yōu)化得到有效的簡化，很好地解決了傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化設計系統(tǒng)級優(yōu)化求解困難的問題。但該算法需要在原問題的設計空間內(nèi)不斷更新優(yōu)化設計空間，故僅適用于變量有界的多學科設計優(yōu)化問題[7,14-15]。

某多學科優(yōu)化問題含有n個系統(tǒng)級設計變量，z個子系統(tǒng)。在k-1次迭代優(yōu)化時，系統(tǒng)級優(yōu)化點為，對應的子系統(tǒng)優(yōu)化空間為OBJ*(k-1)，系統(tǒng)級求解得到的子空間集為L*(k-1)。因子系統(tǒng)個數(shù)為z，子系統(tǒng)級優(yōu)化可得到z個子系 統(tǒng) 優(yōu) 化 解（i=1,2,…,n）。 定 義為

為去除當前求解子空間L*(k-1)中不可行域，需要沿著各個坐標軸去除不可行域。為最大限度的去除不可行域，每個坐標方向上的上下界限分別為：

將Lknew傳遞到系統(tǒng)級求解子空間并更新系統(tǒng)級求解子空間集Lk。由以上操作得到新的求解空間，進行優(yōu)化求解過程，循環(huán)迭代此過程，直至得到的系統(tǒng)級優(yōu)化結果滿足收斂條件。但是需要注意的是，Lnew中若出現(xiàn)不符合邏輯的空間，需刪除不符合邏輯的求解空間。比如，在更新得到的求解空間中，如果某變量上界或下界超出L*(k-1)中該變量的上下界，則用L*(k-1)中相應界限值將其代替。

綜合DSDCO特點以及其求解思路，該方法適用于優(yōu)化擺線針輪行星減速器的結構設計變量，可以綜合考慮不同學科的影響，滿足特殊設計要求以及約束條件，獲得最優(yōu)設計，有效提高設計質(zhì)量，降低研制費用，縮短設計周期。

3 結果及分析

3.1 減速器優(yōu)化過程及結果

擺線針輪行星減速器輸入功率NH=4 kW，許用彎曲應力[σN]=15 000 N/cm2，許用接觸應力為[σj]=85 000 N/cm2[16]，主動軸轉速 nH=1 440 r/min，傳動比為i=29，針齒殼側面的壁厚Δ=14 mm，針齒套壁厚Δ1=2.5 mm，柱銷套壁厚Δ2=5 mm，短幅系數(shù)K1=0.69，軸承的寬度b=20 mm。

該設計優(yōu)化問題可表示為：

DSDCO算法將原問題分解為一個系統(tǒng)級優(yōu)化問題和兩個子系統(tǒng)級優(yōu)化問題。子系統(tǒng)1的約束為g1、g2、g3、g7、g8，設計變量為X1、X2、 X3、 X4、 X5；子系統(tǒng)2的約束為 g4、g5、 g6，設計變量為 X1、 X2、 X3、 X4、 X5；系統(tǒng)級設計變量為X1、X2、X3、X4、X5。將減速器體積最小作為目標函數(shù)，編寫DSDCO優(yōu)化程序，運行程序，循環(huán)過程中得到部分數(shù)據(jù)如表1。

表1 循環(huán)過程中部分數(shù)據(jù)Table1 Somedatain thecyclic process

最后得到最優(yōu)解如表2所示。

表2 擺線針輪行星減速器優(yōu)化結果Table2 Cycloid reducer optimization results

3.2 優(yōu)化結果分析

與原設計結果比較可得，由DSDCO計算得到的體積相對減少量為（2.448-2.130）/2.448×100%=12.99%。此優(yōu)化結果說明采用DSDCO對擺線針輪行星減速器進行優(yōu)化，能夠在保證減速器接觸強度以及彎曲強度的前提下，使的減速器結構變得更為緊湊。使用該目標函數(shù)、約束條件以及DSDCO算法進行的優(yōu)化設計有效，DSDCO可為減速器優(yōu)化或其他類似結構的多學科優(yōu)化提供參考。

4 結論

（1）以擺線針齒行星輪減速器為研究對象，以減速器體積最小為優(yōu)化目標，以減速器內(nèi)部機構尺寸關系和各個部位的應力要求為約束條件，建立的減速器優(yōu)化設計模型，能夠很好地體現(xiàn)減速器內(nèi)部結構和應力要求，能夠真實地反映減速器的設計情況，切合實際。

（2）采用DSDCO優(yōu)化設計后減速器的體積明顯減小，得到的設計參數(shù)更為科學合理，彌補了當前減速器設計中設計變量主要依據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)驗設計方法的不足。因此達到了優(yōu)化飛機EMA擺線針齒行星輪減速器的目的。

（3）運用DSDCO算法對減速器模型進行優(yōu)化，很好地解決了包含兩個學科的耦合問題，求解簡單方便，減少設計復雜度，更易得到全局優(yōu)化解。

（4）本文研究對EMA行星輪減速器的設計具有一定的理論指導和實際應用價值，所用DSDCO算法為解決含有多個學科的耦合優(yōu)化問題提供了一種新方法，具有一定理論價值。

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