姚莉娟

(蘇州高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校機(jī)電工程系，江蘇 蘇州 215011)

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)的不斷發(fā)展，生產(chǎn)過(guò)程復(fù)雜程度逐步加深,系統(tǒng)建模方法越來(lái)越多樣化。集中式建模控制方法[1-3]考慮了系統(tǒng)的整體性，但會(huì)出現(xiàn)模型結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜、模型精度難以保證和計(jì)算繁瑣等諸多問(wèn)題。分散式建模方法降低了模型的復(fù)雜度[4-5]，但由于其沒(méi)有考慮到各子系統(tǒng)間的相互作用，系統(tǒng)的全局性無(wú)法得到滿足，分布式建模方法能較好地克服這些問(wèn)題。本文提出了一種基于核典型相關(guān)分析(nuclear canonical correlation analysis,KCCA)和動(dòng)態(tài)偏最小二乘(dynamic partial least squares，DPLS)的分布式建模方法。

胡蓓蓓等[6]提出了一種基于典型相關(guān)分析(canonical correlation analysis,CCA)[7]的系統(tǒng)分解方法。在分解過(guò)程中，該方法考慮了變量之間的關(guān)聯(lián)性。但該方法只針對(duì)線性系統(tǒng)。由于目前實(shí)際工業(yè)過(guò)程以非線性為主，所以本文采用KCCA對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分解。分解前，將非線性過(guò)程線性化，分解后的子系統(tǒng)有多種建模方式。趙曌[8]采用偏最小二乘(partial least squares，PLS)進(jìn)行建模，能夠降低大系統(tǒng)的維數(shù)，消除共線性。然而PLS只是純代數(shù)結(jié)構(gòu)，無(wú)法應(yīng)對(duì)實(shí)際工業(yè)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)性能。為了滿足動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型精度要求，更真實(shí)地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，本文采用DPLS方法[9]。該方法對(duì)分解后的關(guān)聯(lián)子系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模，降低了系統(tǒng)的建模難度，同時(shí)提高了建模精度。

1 分布式建模算法描述

1.1 KCCA算法原理

KCCA是一種非線性數(shù)據(jù)分析算法[10-11]。數(shù)據(jù)集通過(guò)核函數(shù)進(jìn)行隱式非線性映射，將輸入空間的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為特征空間的線性關(guān)系，并通過(guò)核函數(shù)在核函數(shù)空間進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析。KCCA具有很強(qiáng)的線性擬合能力，其原理如圖1所示。

圖1 KCCA原理圖 Fig.1 Principle of KCCA

圖1中：φ(X)和φ(Y)分別為隨機(jī)變量組X和Y通過(guò)核函數(shù)，從觀測(cè)空間R映射到高維特征空間F的隱式映射。

(1)

則核函數(shù)為：

K(X,Y)=[φ(X),ψ(Y)]

(2)

建立線性CCA模型：

u=cTφ(X)
v=dTψ(Y)

(3)

式中：cT和dT為兩組投影向量，使得u和v的相關(guān)系數(shù)達(dá)到最大。

(4)

(5)

分別利用Lagrangian函數(shù)對(duì)c和d進(jìn)行求導(dǎo)，可得：

(6)

式中：α和β分別為與高維空間中的權(quán)重c和d相對(duì)應(yīng)的權(quán)重。

將式(6)代入式(3)，可得：

(7)

分別計(jì)算u和v的方差和協(xié)方差：

(8)

最后可以得到相關(guān)系數(shù)ρ：

(9)

式中：Kx=XXT;Ky=YYT。

使相關(guān)系數(shù)ρ達(dá)到最大值，求解如下優(yōu)化問(wèn)題：

(10)

根據(jù)Lagrangian函數(shù)，可得：

(11)

分別對(duì)α、β進(jìn)行求導(dǎo)，可得：

(12)

由上式可得λ=λα=λβ，引入核函數(shù)后，得:

(13)

即：

(14)

令：

式(14)可化簡(jiǎn)為：

B-1Aw=λw

(15)

只需求解B-1A的最大特征值λmax，即可得到α、β以及相關(guān)系數(shù)ρ。

1.2 DPLS建模算法原理

通過(guò)將ARX動(dòng)態(tài)模型應(yīng)用到PLS內(nèi)模型的動(dòng)態(tài)描述中，系統(tǒng)的輸入和輸出變量之間采用動(dòng)態(tài)回歸的方式，形成一種動(dòng)態(tài)建模算法。PLS內(nèi)部模型采用的動(dòng)態(tài)ARX模型形式為：

y=H(t)

(16)

DPLS建模流程如圖2所示。

圖2 DPLS建模流程圖 Fig.2 DPLS modeling process

圖2中：Wx和Wy為PLS建模之前的對(duì)角縮放矩陣；R為映射矩陣，將原始變量X轉(zhuǎn)換成得分向量t；Q為u的負(fù)載矩陣。

DPLS模型為：

(17)

系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

(18)

將N轉(zhuǎn)化為隱空間的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

(19)

式中：u(k)為k時(shí)刻隱變量空間中的實(shí)際輸出；uDPLS(k)為ARX-PLS內(nèi)模型的輸出。

uDPLS=φ(k)θ(k)

(20)

φ(k)=[u(k-1),u(k-2),…,u(k-n),

t(k-1),t(k-2),…,t(k-m)]

θ(k)=[-a1(k),-a2(k),…,-an(k),

-b1(k),-b2(k),…,-bm(k)]T

(21)

式中：t(k)為當(dāng)前時(shí)刻對(duì)應(yīng)的輸入；φ(k)為輸入和輸出的當(dāng)前及前一段時(shí)刻的信息；m和n為輸入向量、輸出向量維數(shù)；θ(k)為k時(shí)刻所建ARX模型的系統(tǒng)回歸參數(shù)。

將θ(k)代入式(18)中，可得優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

(22)

利用最小二乘(least squares,LS)辨識(shí)方法，可得：

θ(k)=[φT(k)φ(k)]-1φT(k)u(k)

(23)

將變量投影到PLS隱空間，逆矩陣求解時(shí)的病態(tài)問(wèn)題得到了消除。

然后通過(guò)將內(nèi)模型的輸出投影到原始空間，確定原始空間內(nèi)系統(tǒng)的模型辨識(shí)誤差是否超過(guò)了允許的閾值ε，即：

(24)

uDPLS(k)QT]≤ε

(25)

當(dāng)輸出誤差超過(guò)了允許范圍(即E>ε)，則辨識(shí)過(guò)程被重新啟動(dòng)，直到輸出誤差E≤ε。

模型更新流程如圖3所示。

圖3 模型更新流程圖 Fig.3 Process of model updating

2 算法流程

KCCA和DPLS的分布式建模算法分為兩個(gè)階段：基于KCCA的非線性大系統(tǒng)分解和基于DPLS的各子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)建模。算法流程如下。

①分析工業(yè)過(guò)程質(zhì)量指標(biāo)，選擇與質(zhì)量指標(biāo)密切相關(guān)的關(guān)鍵變量作為輸入、輸出變量，采集相應(yīng)的數(shù)據(jù)得到輸入變量集X和輸出變量集Y。

②對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù){X,Y}進(jìn)行歸一化處理，利用KCCA方法得到各輸入變量、輸出變量間的權(quán)值系數(shù)ρ。

③設(shè)定門(mén)檻值ζi和ζj，選擇ρ大于等于門(mén)檻值ζi的輸入變量為子系統(tǒng)的獨(dú)立輸入變量，小于ζi且大于等于ζj的作為子系統(tǒng)的相互作用輸入變量，對(duì)大系統(tǒng)進(jìn)行劃分，得到若干子系統(tǒng)。

④根據(jù)所分解后的子系統(tǒng)相應(yīng)的輸入輸出變量，對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)收集輸入輸出數(shù)據(jù)集{Xi,Yi}，采用ARX-PLS方法建模。

⑤確定原始空間內(nèi)系統(tǒng)的模型辨識(shí)誤差E是否超過(guò)了允許的閾值ε。若在允許范圍內(nèi)，則建模結(jié)束，否則返回步驟④。

根據(jù)上述步驟，得到基于KCCA和DPLS的分布式建模算法的基本結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 分布式建模算法結(jié)構(gòu)圖 Fig.4 Structure of distributed modeling algorithm

3 試驗(yàn)仿真

田納西-伊士曼(Tennessee-Eastman,TE)化工過(guò)程是一個(gè)基于實(shí)際化工過(guò)程的仿真模擬[11]，它滿足工業(yè)過(guò)程的非線性特點(diǎn)。TE過(guò)程由反應(yīng)器、冷凝器、氣液分離器、汽提塔、循環(huán)壓縮機(jī)5個(gè)操作單元組成。4種氣態(tài)物進(jìn)料分別為A、C、D和E(C中含有少量惰性氣體B)，經(jīng)反應(yīng)后生成G、H兩種主產(chǎn)物和副產(chǎn)品F。反應(yīng)方程式如下：

(26)

整個(gè)TE過(guò)程分為反應(yīng)器溫度、氣液分離器溫度、G/H產(chǎn)率比3個(gè)子系統(tǒng)，相應(yīng)的輸出變量分別為反應(yīng)器溫度、氣液分離器溫度、G/H產(chǎn)率比。采用KCCA方法對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行系統(tǒng)分解。對(duì)所有變量數(shù)據(jù)，采用徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)進(jìn)行非線性映射：

(27)

所有的變量通過(guò)RBF函數(shù)映射到KCCA空間，利用CCA建立線性模型，然后計(jì)算每個(gè)輸出變量與所有輸入變量的最大相關(guān)系數(shù)以及對(duì)應(yīng)某輸入變量在特征提取時(shí)的權(quán)值系數(shù)。確定門(mén)檻值為0.5 和0.8,以此確定各子系統(tǒng)的變量。

采集的工業(yè)數(shù)據(jù)經(jīng)處理后得到300個(gè)樣本點(diǎn)，取其中前150個(gè)樣本點(diǎn)作為建模訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后150個(gè)作為模型測(cè)試數(shù)據(jù)。對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)分別采用DPLS算法和傳統(tǒng)PLS算法建立子模型進(jìn)行比較。比較結(jié)果如圖5～圖7所示。AV為系統(tǒng)實(shí)際輸出值；PV為預(yù)測(cè)輸出值。

圖5 反應(yīng)器溫度建模對(duì)比圖 Fig.5 Comparison of reactor temperature modelings

采用均方根誤差(root mean squared error,RMSE)和最大絕對(duì)誤差(maximum absolute error,MAXE),描述兩種建模方法的精度。

圖6 分離器溫度建模對(duì)比圖 Fig.6 Comparison of separator temperature modelings

圖7 G/H 產(chǎn)率比建模對(duì)比圖 Fig.7 Comparison of G/H ratio modelings

(28)

(29)

式中：yi為測(cè)試樣本的實(shí)際值；f(xi)為測(cè)試樣本的模型預(yù)測(cè)值；n為測(cè)試樣本數(shù)目。

RMSE、MAXE對(duì)比結(jié)果如表1所示。

表1 RMSE、MAXE對(duì)比結(jié)果Tab.1 Comparison of RMSE、MAXE

傳統(tǒng)的PLS建模雖然簡(jiǎn)化了模型結(jié)構(gòu)，降低了計(jì)算難度，但這只是單純的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型，無(wú)法適應(yīng)實(shí)際工業(yè)過(guò)程的動(dòng)態(tài)性能，所以仿真效果較差。從RMSE和MAXE兩個(gè)性能指標(biāo)的對(duì)比中可以看出，采用DPLS的分布式建模算法所建的模型精度更高。因此，分布式DPLS建模算法比傳統(tǒng)PLS建模方法更有優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)實(shí)際化工過(guò)程復(fù)雜多變、非線性強(qiáng)等特點(diǎn)，提出了一種KCCA和DPLS方法相結(jié)合的分布式建模算法。采用KCCA方法進(jìn)行變量間的相關(guān)分析，將復(fù)雜的大系統(tǒng)分解為多個(gè)子系統(tǒng)。然后采用DPLS算法在隱空間得到子系統(tǒng)模型。通過(guò)對(duì)TE過(guò)程的仿真研究表明，所提出的算法降低了復(fù)雜大系統(tǒng)的模型維數(shù)，簡(jiǎn)化了模型結(jié)構(gòu)，滿足了非線性系統(tǒng)的模型需求，更好地適應(yīng)模型的動(dòng)態(tài)性能。同時(shí)，模型的精度也有了提高，系統(tǒng)的整體性能得到提升。但是本文對(duì)系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性還未作研究，這將是下一階段的研究重點(diǎn)。

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