孫婧祎，周德亮，張思宇

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

井水位計(jì)算在地下水工作中具有重要的作用，目前已有多種計(jì)算井水位的方法。一些從事地下水?dāng)?shù)值模擬的人員直接將傳統(tǒng)方法求得的節(jié)點(diǎn)水位看做是該點(diǎn)的井水位。這是不正確的[1]。因?yàn)閭鹘y(tǒng)方法計(jì)算得到的井水位只能代表井點(diǎn)所在節(jié)點(diǎn)均衡區(qū)域上的平均水位[2]，并非井的真實(shí)水位，所以應(yīng)修正傳統(tǒng)地下水模擬中對井的處理。在已經(jīng)產(chǎn)生的多種無網(wǎng)格方法中，徑向基函數(shù)配點(diǎn)法[3][4]具有易實(shí)施、高精度、高效率、與空間維數(shù)無關(guān)、不受背景網(wǎng)格限制等優(yōu)點(diǎn)，是一種真正的無網(wǎng)格方法。本文的工作是將徑向基函數(shù)配點(diǎn)法用于求解承壓穩(wěn)定流井水位計(jì)算的問題中，并對傳統(tǒng)方法、傳統(tǒng)方法的校正方法[6]及奇點(diǎn)磨光法[7]這三種計(jì)算井水位的方法進(jìn)行了比較。

1 徑向基函數(shù)配點(diǎn)法

具體考慮如下平面承壓穩(wěn)定井流混合問題[5]

(1)

該問題中依次出現(xiàn)的函數(shù)及變量的含義為：T是導(dǎo)水系數(shù)，h(x，y)是給定的水頭函數(shù)，ε(x，y)和q分別表示為越流補(bǔ)給強(qiáng)度和補(bǔ)給量，qk和ρk則分別表示第口井的開采量和井口半徑的大小。

(2)

在上式中Cj(j=1,2,…,N)是待求系數(shù)，令x=(x，y)，xj=(xj，yj)。

(3)

(4)

(5)

進(jìn)而，可寫成線性方程組的形式，即

Ac=b

(6)

其中A=[Lφ L2φ φ]，b為(5)式中方程的右端項(xiàng)。

由(6)式得到方程組的系數(shù)，代入到(4)式中即可得到該混合問題的數(shù)值解。

2 井水位計(jì)算的傳統(tǒng)方法

傳統(tǒng)方法是將問題(1)轉(zhuǎn)化為如下的等價(jià)問題，即

(7)

3 對井水位計(jì)算的傳統(tǒng)方法的校正

實(shí)際水流是徑向入流，水頭呈非線性分布。因此，用傳統(tǒng)方法模擬得到的井點(diǎn)水位h，并不能代表井中的真實(shí)水位hw，而是相當(dāng)于距離井點(diǎn)rf為處的實(shí)際水頭，如圖1[6]。這里需要注意的是，本文所討論的僅是矩形網(wǎng)格中井水位校正的問題。

圖1 井點(diǎn)附近水頭剖面分布

對于井點(diǎn)附近劃分的網(wǎng)格間距恒為Δx，Δy的矩形網(wǎng)格，根據(jù)Theim公式，井中水位hw與節(jié)點(diǎn)j，k，l，m(包圍井點(diǎn)所在節(jié)點(diǎn)的四周節(jié)點(diǎn))分別對應(yīng)的水位hj，hk，hl，hm之間滿足如下關(guān)系，即

(8)

(9)

其中，Q為抽水井的流量，rw為抽水井的有效半徑，T為含水層導(dǎo)水系數(shù)。

數(shù)值法模擬得到i點(diǎn)水位為h，并且從周圍單元進(jìn)入i點(diǎn)單元的流量與井流量相同，那么由達(dá)西定律可得

(10)

把(8、9)式代入到(10)式中，求出hw，得到如下校正公式

(11)

4 奇點(diǎn)磨光法

(12)

由此便求得w,進(jìn)而得到問題(1)的解h，即h=w+v。

圖2 計(jì)算域及節(jié)點(diǎn)配置圖

圖3 井水位計(jì)算的傳統(tǒng)方法的近似解 圖4 傳統(tǒng)方法校正方法的近似解

圖5 奇點(diǎn)磨光法的近似解 圖6 解析解

5 數(shù)值算例

(13)

6 結(jié)語

本文所列舉的三種方法雖然可以滿足一般地下水模擬與預(yù)測中對井水位計(jì)算的需要，但傳統(tǒng)方法在井點(diǎn)處的計(jì)算誤差較大，并且為了計(jì)算井點(diǎn)的控制域面積，就需在井點(diǎn)附近進(jìn)行局部的網(wǎng)格剖分，這破壞了無網(wǎng)格方法的特性；傳統(tǒng)方法的校正方法在計(jì)算井水位時(shí)可以達(dá)到很好的模擬效果，但在求解精度上低于奇點(diǎn)磨光法，另外需要注意的是本文所說的校正方法還僅是針對在井點(diǎn)附近進(jìn)行矩形網(wǎng)格剖分的情況。因此，結(jié)合以上敘述并針對本文所做的實(shí)例，在基于徑向基函數(shù)配點(diǎn)法計(jì)算井水位的問題中，采用奇點(diǎn)磨光法效果最好。該數(shù)值例子也說明了奇點(diǎn)磨光法的有效性。本文所給出的三種井水位計(jì)算方法也可應(yīng)用到徑向基函數(shù)配點(diǎn)法中的其它問題，這將在以后的工作中進(jìn)一步討論。

[1]陳崇希,唐仲華.地下水流動問題數(shù)值方法[M].武漢:中國地質(zhì)大學(xué)出版社.1990:239.

[2]薛禹群,謝春紅.地下水?dāng)?shù)值模擬[M].北京:科學(xué)出版社.2007:246.

[3]Sharan M, Kansa E J, Gupta S. Application of multiquadric method for numerical solution of elliptic partial differential equations[J]. Appl Math Comput, 1997, 84: 275-303.

[4]Franke C, Schaback R. Solving partial differential equations by collocation using radial basis functions[J]. Appl Math Comput, 1998, 93: 73-82.

[5]孫訥正.地下水流的數(shù)學(xué)模型和數(shù)值方法[M]. 北京:地質(zhì)出版社.1981.7-48,110.

[6]陳崇希,王旭升,胡立堂.地下水?dāng)?shù)值模擬中抽水井水位校正[J].水利學(xué)報(bào).2007,38(4)：481-485.

[7]吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系計(jì)算服務(wù)站地下水小組.地下水非穩(wěn)定流計(jì)算的有限元方法(I)[J].吉林大學(xué)報(bào);自然科學(xué)版.1977(1):15-27.