黃　辰　費繼友,　王麗穎　劉曉東

(1.大連交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 大連 116028； 2.大連交通大學(xué)動車運(yùn)用與維護(hù)工程學(xué)院， 大連 116028)

0　引言

近年來，粒子濾波技術(shù)被廣泛應(yīng)用于處理實際工程問題[1-2]。例如：目標(biāo)跟蹤[3-5]、故障檢測[6-7]、狀態(tài)估計[8]、定位導(dǎo)航[9-12]以及圖像處理[13]等領(lǐng)域。粒子濾波的思想[14]源于蒙特卡洛利用一組加權(quán)隨機(jī)粒子來表示概率分布，借助實際測量值來調(diào)整各個粒子權(quán)值和位置來近似獲得實際概率分布。因此，粒子濾波能有效克服擴(kuò)展卡爾曼濾波在處理高度非線性問題時估計精度急劇下降的缺點。

雖然粒子濾波能解決對模型的非線性和非高斯的約束問題，但算法本身仍存在一些缺陷[15-17]。隨著算法運(yùn)行，粒子的權(quán)值方差會出現(xiàn)遞增，將出現(xiàn)嚴(yán)重的粒子退化現(xiàn)象。為緩解退化問題，GORDON等[18]引入了舍棄小權(quán)值粒子的重采樣方法。但由于在重采樣過程中對大權(quán)值粒子的多次復(fù)制，減弱了粒子多樣性，造成粒子貧化現(xiàn)象。近期，采用群體智能來優(yōu)化粒子濾波算法[19-20]，將生物機(jī)制引導(dǎo)的優(yōu)化理論嵌入粒子濾波算法框架是現(xiàn)代粒子濾波領(lǐng)域中一個嶄新的發(fā)展方向。HAN等[21]提出將布谷鳥算法與粒子濾波算法相結(jié)合，并成功應(yīng)用于故障檢測中，具有較好的魯棒性。

本文提出一種基于改進(jìn)布谷鳥算法的粒子濾波方法(Particle filter based on improved cuckoo search, ICS-PF)。一方面，在Levy飛行過程中引入多策略差分變異來增加算法的多樣性；另一方面，在新解的選擇機(jī)制上采用排隊優(yōu)選與貪心算法相結(jié)合來提高選擇效率，并將改進(jìn)的布谷鳥算法用來優(yōu)化粒子濾波。

1　粒子濾波算法基本原理

假設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型[22]，即狀態(tài)方程和觀測方程為

(1)

式中xk——系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)變量

yk——系統(tǒng)k時刻的測量值

f——系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)

h——系統(tǒng)的觀測函數(shù)

uk-1——系統(tǒng)的過程噪聲

vk——測量噪聲

(2)

其中

Yk={y1,y2,…,yk}

式中Yk——1～k時刻的觀測信息

δ——狄拉克(Dirac-delta)函數(shù)

粒子濾波采用樣本均值來代替積分運(yùn)算，能夠獲得狀態(tài)變量最小方差估計。當(dāng)樣本(粒子)數(shù)量達(dá)到足夠大時，可以逼近真實的概率密度分布。

(3)

在標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法中，重要密度函數(shù)取狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度，即

(4)

將式(4)代入式(3)得

(5)

粒子濾波的狀態(tài)輸出估計可表示為

(6)

2　多策略差分布谷鳥算法的粒子濾波

2.1　標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥算法

布谷鳥算法是新型有效的群體智能算法，根據(jù)模擬寄生育雛繁殖后代過程演化而來。布谷鳥種群將挑選合適的其他種群鳥類為其孵化產(chǎn)卵，所選擇的鳥巢中通常有宿主剛產(chǎn)下的蛋，以此來降低被發(fā)現(xiàn)的概率。一旦宿主發(fā)現(xiàn)鳥巢中存在寄生卵將會丟棄外來的蛋或再重新構(gòu)建新的鳥巢。標(biāo)準(zhǔn)的布谷鳥算法需要遵循3條理想規(guī)則[23-25]：

(1)布谷鳥 1 次只產(chǎn)1個卵，并隨機(jī)選擇鳥巢進(jìn)行孵化。

(2)當(dāng)前所有鳥巢中位置最好的鳥巢將會被保留到下一代。

(3)可用的寄生鳥巢數(shù)是固定的，且宿主發(fā)現(xiàn)鳥巢中布谷鳥蛋的概率是pa，pa∈[0,1]。

在優(yōu)化實際問題時，用一個含有D維向量的鳥巢位置來表示搜索空間中的一個候選解。 在當(dāng)前解的基礎(chǔ)上，通過Lévy Flight隨機(jī)游動搜索下一代鳥巢位置。將每個鳥巢位置代入目標(biāo)函數(shù)中將會得到相對應(yīng)的一個適應(yīng)度f(x)，根據(jù)f(x)來判斷當(dāng)前鳥巢位置的優(yōu)劣。然后，按發(fā)現(xiàn)概率舍棄部分解并由偏好隨機(jī)游動搜索策略重新生成與丟棄解相同數(shù)量的新解。根據(jù)貪婪準(zhǔn)則來保留較好的解以完成一次迭代。

布谷鳥算法首先采用Lévy Flight的隨機(jī)游動搜索策略來搜索新鳥巢位置，其更新公式

(7)

其中

(8)

u、v——服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的2個隨機(jī)數(shù)

c1——步長調(diào)節(jié)因子，通常c1取0.01

β——常數(shù)

?！獦?biāo)準(zhǔn)的Gamma函數(shù)

gd——當(dāng)前最優(yōu)鳥巢的第d維向量

在通過Lévy Flight的隨機(jī)游動搜索獲得的新鳥巢位置中，需要根據(jù)發(fā)現(xiàn)概率pa，按照偏好隨機(jī)游動搜索策略來產(chǎn)生新解。偏好隨機(jī)游動更新為

(9)

式中r——0～1范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)

2.2　多策略差分進(jìn)化布谷鳥算法

在標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥算法中，首先采用Lévy Flight的隨機(jī)游動搜索，然后按發(fā)現(xiàn)概率通過偏好隨機(jī)游動搜索來舍棄部分鳥巢。為提高搜索效率，采取預(yù)先設(shè)定的比例同時進(jìn)行Lévy Flight隨機(jī)游動搜索和偏好隨機(jī)游動搜索的策略。

布谷鳥算法的偏好隨機(jī)游動搜索策略是采用式(9)中2個隨機(jī)解的差異來更新一部分Lévy Flight的隨機(jī)游動搜索新鳥巢位置的解?？紤]到搜索策略的多樣性，將多策略差分變異操作引入布谷鳥算法的偏好隨機(jī)游動搜索過程中。由3種差分策略和原來的偏好隨機(jī)游動共4個搜索策略共同構(gòu)成新的偏好隨機(jī)游動搜索策略。

在每次迭代中，差分算法的每個染色體都會通過變異操作來產(chǎn)生新的染色體，常用的變異策略[26-28]為

Rand/1

vi,g=xr1,g+F(xr2，g-xr3，g)

(10)

Best/1

vi,g=xbest,g+F(xr1，g-xr2，g)

(11)

Rand/2

vi,g=xr1,g+F(xr2，g-xr3，g)+F(xr4，g-xr5，g)

(12)

Current-to-best/1

vi,g=xi,g+F(xbest,g-xi,g)+F(xr1，g-xr2，g)

(13)

Current-to-rand/1

vi,g=xi,g+r(xr1,g-xi,g)+F(xr2，g-xr3，g)

(14)

式中F——縮放比例因子

r1～r5——[1,NP]中的隨機(jī)整數(shù)且與i不等

vi,g——經(jīng)過變異后第g代第i個染色體

xr1,g～xr5,g——第g代5個不相同的染色體

xbest,g——當(dāng)前群體中的最好染色體

xi,g——變異前第g代第i個染色體

由于Lévy Flight隨機(jī)游動搜索過程中已經(jīng)將當(dāng)前的全局最優(yōu)解代入，因此，可以采用式(10)、(12)和式(14)的策略。多策略的偏好隨機(jī)游動搜索過程包括4個選擇，即式(9)、(10)、(12)、(14)。在偏好隨機(jī)游動搜索過程中，針對不同的優(yōu)化問題，不同策略發(fā)揮的作用也有所不同。因此，為加快搜索效率引入選擇因子并結(jié)合輪盤賭機(jī)制來調(diào)整4個候選的偏好隨機(jī)游動搜索各個策略被選擇的可能性。

當(dāng)布谷鳥算法中有新解產(chǎn)生時，采用貪婪算法來決定新解是否可以代替舊解。貪婪算法是以每個鳥巢的位置為基準(zhǔn)，用新產(chǎn)生具有更優(yōu)的適應(yīng)度個體來替換上一代，與其它鳥巢之間沒有相互交流。如此舍棄的鳥巢位置的適應(yīng)度可能與某些鳥巢位置的適應(yīng)度相比是優(yōu)秀的，從而降低搜索的效率。因此，本文在選擇新解的過程中，將貪婪與排隊優(yōu)選兩種機(jī)制結(jié)合按照預(yù)先設(shè)定的比例來更新解。排隊優(yōu)選是將產(chǎn)生的與舊解不同的新解與全部舊解組成一個集合作為全集，根據(jù)各個解的適應(yīng)度按照從優(yōu)到劣進(jìn)行排列，選出N個(定義的布谷鳥巢數(shù))優(yōu)選解作為新解集。

自適應(yīng)差分變異布谷鳥算法的具體步驟如下：

(1)設(shè)定算法需要的參數(shù)和終止條件，并對種群進(jìn)行初始化，計算每個個體的適應(yīng)度值。

(2)針對每個鳥巢，根據(jù)已設(shè)定的Lévy Flight和偏好隨機(jī)兩種策略的選擇比例c，通過與[0,1]間的隨機(jī)數(shù)r進(jìn)行比較，當(dāng)r>c選擇Lévy Flight隨機(jī)游動搜索，否則選擇偏好隨機(jī)多策略游動搜索策略。

(3)當(dāng)進(jìn)入多策略偏好隨機(jī)游動搜索策略，利用步驟(2)中的隨機(jī)數(shù)r與每個策略的選擇因子，選擇4個策略所對應(yīng)的右邊界，分別為0.25(1-c)、0.5(1-c)、0.75(1-c)和1-c。

(15)

(4)按照優(yōu)選和貪婪原則，由適應(yīng)度來選擇優(yōu)秀個體進(jìn)行迭代運(yùn)算，用c1(c1∈(0,1))來調(diào)節(jié)2種選擇機(jī)制的比例。隨機(jī)產(chǎn)生1個隨機(jī)數(shù)r1，當(dāng)r1>c1時，采用貪婪原則；否則，采取排隊優(yōu)選原則。

(5)判斷是否滿足終止條件。滿足則輸出結(jié)果；否則，重復(fù)步驟(2)～(4)。

2.3　基于改進(jìn)布谷鳥的粒子濾波

為克服原粒子濾波算法中存在的粒子貧化與退化問題，本文將基于多策略差分的布谷鳥算法引入到粒子濾波算法的重采樣過程中。ICS-PF算法具體實現(xiàn)步驟如下：

(1)初始化。在初始時刻k=0時按照初始樣本分布P(x0)進(jìn)行采樣，產(chǎn)生的N個粒子作為初始樣本{xi(0)}(i=1,2，…,N)，xi(k)服從重要性密度函數(shù)。

xi(k)～q(xi(k)|xi(k-1),y(k))

(16)

(2)設(shè)置每個粒子的權(quán)重為wi=1/N。

(3)采用多策略差分布谷鳥算法來進(jìn)化粒子，模擬布谷鳥優(yōu)化算法的全局搜索行為:

①g=1，進(jìn)入進(jìn)化的初始粒子

{xg,i(k)}={xi(k)}(i=1,2,…,N)

(17)

② 將該粒子樣本帶入多策略差分布谷鳥算法中，按照多策略差分布谷鳥算法的步驟(2)～(5)進(jìn)行相應(yīng)的操作，得到進(jìn)化后的新粒子集。在改進(jìn)的布谷鳥算法中，所采用的適應(yīng)度函數(shù)為

(18)

R——噪聲方差

③ 將經(jīng)過ICS-PF重采樣后的粒子輸出。

(4)利用式(5)計算新粒子的重要性權(quán)重并進(jìn)行歸一化處理，即

(19)

(5)重采樣。可以舍棄權(quán)重低的粒子，并對權(quán)重高的粒子進(jìn)行復(fù)制。

(6)粒子狀態(tài)輸出。求ICS-PF重采樣后粒子的平均狀態(tài)。

3　仿真

為驗證算法ICS-PF的估計精度、運(yùn)算時間和魯棒性，采用單變量非靜態(tài)增長模型對算法性能進(jìn)行驗證。此模型是研究各種PF算法性能時的常用模型，其狀態(tài)方程和測量方程為：

狀態(tài)方程

(20)

式中u(k)——狀態(tài)方程中的零均值高斯噪聲,方差為R

x(k)——系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)

測量方程

(21)

式中v(k)——測量方程中的零均值高斯噪聲,方差為Q

y(k)——k時刻的觀測量

仿真硬件環(huán)境為Intel i5處理器、主頻2.40 GHz，4 GB內(nèi)存，軟件環(huán)境為Matlab 2014a。

3.1　精度測試

仿真采用粒子濾波算法(PF)、布谷鳥粒子濾波算法(CS-PF)、差分進(jìn)化粒子濾波算法(DE-PF)與ICS-PF算法進(jìn)行跟蹤性能對比。定義一次獨立仿真系統(tǒng)的估計誤差為

(22)

式中T——進(jìn)行一次仿真所用時間的總步數(shù)

xk——k時刻的狀態(tài)真實值

實驗中，ICS-PF和標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥算法中設(shè)置發(fā)現(xiàn)概率pa=0.75，常數(shù)β=1.5。狀態(tài)方程中的過程噪聲和測量方程中的觀測噪聲的方差均為1，即R=1，Q=1。濾波初值x0=0.3，初始分布的方差p0=2，濾波步數(shù)k為50。隨著粒子數(shù)量的增加，分別對PF、CS-PF、ICS-PF和DE-PF進(jìn)行仿真。對每一種算法進(jìn)行200次獨立仿真的結(jié)果如表1所示。當(dāng)粒子數(shù)N=20時，狀態(tài)跟蹤結(jié)果和誤差曲線如圖1、2所示。當(dāng)粒子數(shù)N=50時，狀態(tài)跟蹤結(jié)果和誤差曲線如圖3、4所示。當(dāng)粒子數(shù)N=100時，狀態(tài)跟蹤結(jié)果和誤差曲線如圖5、6所示。

由圖1～7可知，與標(biāo)準(zhǔn)PF、DE-PF、CS-PF算法相比，ICS-PF對模型的真實狀態(tài)具有更高的估計精度。ICS-PF算法是在多策略差分變異和CS的基礎(chǔ)上進(jìn)行全局搜索，由于搜索策略的增加能夠有效提高粒子的多樣性。同時，新引入的排隊優(yōu)選機(jī)制能夠提高新解的質(zhì)量，加快空間搜索效率。因此，提高了濾波的精度和速度。從表1可以看出，本文提出的ICS-PF算法在運(yùn)算速度方面略快于DE-PF算法和CS-PF算法。而PF算法的運(yùn)行時間最少，由于不用采用迭代操作來優(yōu)化粒子目前的位置，算法相對簡單。另外，由于ICS-PF算法省略變異操作，因此與CS-PF和DE-PF相比節(jié)省了時間。

表1　4種算法仿真結(jié)果對比Tab.1　Comparison of four algorithms simulation results

圖1　濾波狀態(tài)估計(N=20)Fig.1　State estimation of filter(N=20)

圖2　狀態(tài)誤差絕對值(N=20)Fig.2　Absolute value of state error(N=20)

圖3　濾波狀態(tài)估計(N=50)Fig.3　State estimation of filter(N=50)

圖4　狀態(tài)誤差絕對值(N=50)Fig.4　Absolute value of state error(N=50)

圖5　濾波狀態(tài)估計(N=100)Fig.5　State estimation of filter(N=100)

圖6　狀態(tài)誤差絕對值(N=100)Fig.6　Absolute value of state error(N=100)

圖7　粒子數(shù)對RMSE的影響Fig.7　Effect of particle amount on RMSE

由圖7可以看出，當(dāng)N增加時，這4種算法的濾波精度都有提高；在給定的相同噪聲條件下，隨著粒子個數(shù)從20增加到100，標(biāo)準(zhǔn)PF算法的濾波精度有大幅度提高，而ICS-PF的濾波精度變化相比較為平穩(wěn)，且ICS-PF的濾波精度在粒子數(shù)為20時與標(biāo)準(zhǔn)PF算法粒子個數(shù)為100時的濾波精度相匹配。同樣，其他兩種智能優(yōu)化粒子濾波算法在粒子個數(shù)較小時也具有較好的濾波性能。這是因為加入智能群體算法的粒子濾波能夠借助群體的智能搜索來優(yōu)化粒子的位置，使其分布更趨于合理。即使粒子數(shù)較少時仍能通過迭代尋優(yōu)來增加粒子選擇的多樣性，使粒子能夠在整個狀態(tài)空間找到多個接近真實值的位置，保證重采樣的選擇結(jié)果趨于多樣性，從而提高了估計精度，避免PF算法在粒子個數(shù)較少時容易出現(xiàn)由于多樣性缺失而導(dǎo)致的重采樣選擇單一問題。因此，ICS-PF算法能夠用少量的粒子來提高標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法的穩(wěn)定性和精度。

3.2　粒子多樣性比較

為比較PF算法和ICS-PF算法的粒子多樣性，選取PF算法和ICS-PF算法重采樣后在N為20、50、100且k=30時，粒子在空間的狀態(tài)如圖8～10所示。

圖8　粒子空間狀態(tài) (N=20)Fig.8　Particle space state (N=20)

圖9　粒子空間狀態(tài)(N=50)Fig.9　Particle space state (N=50)

圖10　粒子空間狀態(tài)(N=100)Fig.10　Particle space state (N=100)

由圖8～10可知，與標(biāo)準(zhǔn) PF 算法的粒子多樣性相比，ICS-PF在狀態(tài)空間中具有更廣泛的分布空間，多數(shù)粒子保持在高概率估計值附近，同時，低概率估計值仍有粒子分布，這樣能夠減少因粒子貧化而導(dǎo)致的高風(fēng)險錯誤估計現(xiàn)象。

3.3　4種算法的粒子分布分析

為分析PF、CS-PF、ICS-PF和DE-PF 4種算法的粒子樣本集與實際值關(guān)系，選取粒子個數(shù)N為50，過程噪聲uk-1～N(0,1)，測量噪聲vk～N(0,1)，仿真結(jié)果如圖11～14所示。

圖11　PF重采樣后的粒子分布Fig.11　Particle distribution of PF after resampling

圖12　CS-PF重采樣后的粒子分布Fig.12　Particle distribution of CS-PF after resampling

圖13　ICS-PF重采樣后的粒子分布Fig.13　Particle distribution of ICS-PF after resampling

從圖11～14可以看出，4種算法中CS-PF重采樣后的粒子空間分布范圍最廣，占據(jù)的空間面積最大，其次為ICS-PF算法。CS-PF在多樣性性能方面是最優(yōu)的，但分布太廣會影響對最優(yōu)粒子的判斷，無法找到更接近真實值的粒子群體。標(biāo)準(zhǔn)PF算法在重采樣后粒子分布過于集中，說明在重采樣前粒子的權(quán)重相差較大，造成采樣后粒子過于聚集。ICS-PF由于采用優(yōu)選與貪婪相結(jié)合的新解選擇機(jī)制，促使ICS-PF能更快找到合理的粒子分布。較好地平衡了多樣性與尋優(yōu)效率之間的關(guān)系。

4　結(jié)論

(1)布谷鳥算法是一種新型生物群啟發(fā)算法，具有結(jié)構(gòu)簡單、控制參數(shù)少等優(yōu)點，但存在易早熟、搜索速率不高等問題。為增加種群的多樣性和搜索效率，引入多策略差分算法來改進(jìn)布谷鳥算法中的偏好隨機(jī)游動搜索策略，并采用輪盤賭原則對Lévy Flight隨機(jī)策略和包含多個策略的偏好隨機(jī)游動搜索之間進(jìn)行選擇。同時，采用排隊優(yōu)選和貪婪原則來選取新解，從而提高了布谷鳥群整體質(zhì)量。

圖14　DE-PF重采樣后的粒子分布Fig.14　Particle distribution of DE-PF after resampling

(2)將改進(jìn)的布谷鳥算法引入到粒子濾波中，來解決粒子濾波算法中的粒子貧化問題，使粒子模擬布谷鳥個體，在全局范圍內(nèi)搜索到更優(yōu)的位置，促使粒子整體快速分布在真實值附近。仿真表明本文算法能夠增加粒子的多樣性，同時具有較高的魯棒性和估計精度。

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