趙晴

“這有什么難的？”“怎么你就是記不??？”家長(zhǎng)在給孩子輔導(dǎo)數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí)，可能都冒出過(guò)這兩句話。對(duì)于成年人來(lái)說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)的題目如此簡(jiǎn)單，為什么孩子就是不明白？不少人為此急火攻心生病住院，還上了新聞。

在理論上，這是一種知識(shí)的詛咒。意思是，掌握了某種技能或知識(shí)的人，無(wú)法體會(huì)未知者的痛苦。

早在1990年，斯坦福的研究生Elizabeth Newton就通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一點(diǎn)。Newton把實(shí)驗(yàn)者分為兩組，讓第1組的人用手敲擊出一個(gè)人們非常熟悉的旋律節(jié)拍，比如《祝你生日快樂(lè)》，讓第二組人猜這個(gè)旋律是什么，之后，再讓第1組預(yù)估第2組的猜中率。敲節(jié)拍的人認(rèn)為正確率應(yīng)該在80%左右——這么熟悉的旋律，這么簡(jiǎn)單的節(jié)拍，有什么難的？但第二組人猜對(duì)的真實(shí)比例僅為20%。

對(duì)于成年人而言，1+1=2無(wú)須解釋，但對(duì)于孩子卻是個(gè)復(fù)雜的認(rèn)知過(guò)程。比如，孩子們理解數(shù)字“1”，是從生活中的“量”開(kāi)始的。我們先拿一個(gè)蘋(píng)果放在小朋友面前，告訴他：這是1;之后，這個(gè)蘋(píng)果被一個(gè)畫(huà)著蘋(píng)果的卡片取代;接著，蘋(píng)果和蘋(píng)果的替代品突然都不見(jiàn)了，只有一個(gè)和蘋(píng)果沒(méi)有任何關(guān)系的數(shù)字1。只有通過(guò)這些演變，一個(gè)真實(shí)的蘋(píng)果才能成為孩子頭腦中的抽象數(shù)學(xué)概念1。

這個(gè)認(rèn)知關(guān)聯(lián)成年人可以一步到位，但對(duì)小朋友來(lái)說(shuō)，每一步都需要完成巨大的思維飛躍，從具體上升到抽象。

在我的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中，還遇到過(guò)這樣一件案例。Amber是美國(guó)公立學(xué)校一年級(jí)的小姑娘，她遇到一道豎式題：16+9=？Amber很努力地計(jì)算，最后寫(xiě)上了答案：15。我問(wèn)她：你確定嗎？ 她確信地點(diǎn)點(diǎn)頭。 然后，我用幾個(gè)塑料數(shù)字排成一橫排：16+9=？ Amber掰起了手指頭，片刻之后回答：25。我問(wèn)她，這兩個(gè)答案都對(duì)嗎？Amber認(rèn)真思考后說(shuō)：兩個(gè)答案都對(duì)。我又問(wèn)，是在所有情況下都對(duì)嗎？她想了想說(shuō)：都對(duì)。

這個(gè)案例涉及到兩種數(shù)學(xué)知識(shí)：程序知識(shí)和概念知識(shí)。Amber做豎式時(shí)，想到的是豎式規(guī)則：個(gè)位如何相加，加完之后如何進(jìn)位。這種對(duì)于數(shù)學(xué)（運(yùn)算）規(guī)則的理解，我們稱為程序知識(shí)。顯然，Amber在運(yùn)用這些規(guī)則時(shí)發(fā)生了錯(cuò)誤，但她沒(méi)意識(shí)到，因?yàn)樗淖⒁饬Χ荚谀切┫∑婀殴值囊?guī)則上。而當(dāng)她看到用塑料數(shù)字排出的算式，聯(lián)想到的是其中“量”的變化，于是開(kāi)始用手指幫忙計(jì)算，一點(diǎn)一點(diǎn)加上去，得到了另一個(gè)答案。這種量的變化的知識(shí)，稱為“概念知識(shí)”。

概念知識(shí)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。缺乏概念知識(shí)，就算把公式和規(guī)則背得再熟，也會(huì)忘記或失誤;但如果充分掌握概念，知道這些運(yùn)算規(guī)則是怎么推導(dǎo)出來(lái)的，就算一時(shí)忘了公式，也可以自己重新推導(dǎo)出來(lái)。而Amber的問(wèn)題在于，她的程序知識(shí)和概念知識(shí)脫節(jié)了。豎式，看起來(lái)多權(quán)威，在她心中，這才是正牌的數(shù)學(xué);可在現(xiàn)實(shí)生活中，她的經(jīng)驗(yàn)告訴她16個(gè)蘋(píng)果再增加9個(gè)，明明就是25！于是，她得出了兩個(gè)自認(rèn)“都對(duì)”的答案。

回顧人類的認(rèn)知?dú)v史，考古中發(fā)現(xiàn)的人類計(jì)數(shù)的最早證據(jù)大約來(lái)自5萬(wàn)年前，但僅僅在500年前，我們使用的這套10進(jìn)制阿拉伯?dāng)?shù)字體系才成熟完善。換句話說(shuō)，從一個(gè)實(shí)實(shí)在在的紅蘋(píng)果，到一個(gè)長(zhǎng)得像豆芽菜的阿拉伯?dāng)?shù)字1，整個(gè)人類用去了49500年，如今我們卻要求小朋友在短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生如此巨大的認(rèn)知飛躍，這是不公平的。這其中產(chǎn)生的許多問(wèn)題，不是“不認(rèn)真”“記不住”，而是真的不簡(jiǎn)單 ，有許多關(guān)鍵性的概念知識(shí)，需要我們幫助孩子去弄明白。而一味用“這有什么難的”“為什么就是不會(huì)”來(lái)指責(zé)孩子，只會(huì)讓他們產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的抗拒，反而更不利于知識(shí)的轉(zhuǎn)化和理解。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，和數(shù)學(xué)建立某種關(guān)系，是孩子成長(zhǎng)過(guò)程的一部分。雖然并不是每個(gè)孩子長(zhǎng)大后都能成為數(shù)學(xué)家，但至少，每個(gè)孩子都應(yīng)有機(jī)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去認(rèn)識(shí)我們身處的這個(gè)奇妙的自然和人文世界。