張鐵, 林康宇, 鄒焱飚, 劉曉剛

(1.華南理工大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院, 510641, 廣州;2.桂林航天工業(yè)學(xué)院廣西高校機器人與焊接重點實驗室, 541004, 廣西桂林)

在工業(yè)生產(chǎn)線上的自動化裝配、搬運過程中,往往要求機器人末端執(zhí)行器具備較強的快速定位能力,但是工業(yè)機器人中柔性部件的存在導(dǎo)致末端執(zhí)行器在機器人運動停止后會出現(xiàn)長時間的殘余振動,如圖1所示,這一現(xiàn)象在機器人高速運動的情況下更為明顯,大幅降低了機器人末端執(zhí)行器的定位精度與速度,嚴重影響機器人控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。

(a)諧波減速器 (b)J5軸同步帶圖1　工業(yè)機器人柔性部件

輸入整形器是一種有效抑制機器人末端殘余振動的前饋控制方法,由于其既不需要改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),也不需要復(fù)雜的反饋回路和傳感器,故在工業(yè)上得到了廣泛的應(yīng)用,例如橋式起重機[1]、柔性機器人[2]、高速原子力顯微鏡掃描單元[3]、微銑削機床[4]、太陽翼[5]等。但是,傳統(tǒng)的輸入整形器也存在諸多問題,例如脈沖序列的長度會引起系統(tǒng)輸出的時滯現(xiàn)象;由于對參考輸入做了整形,使得實際輸出與參考輸入間產(chǎn)生不可避免的控制誤差;另外,輸入整形器的設(shè)計依賴于系統(tǒng)固有頻率和阻尼比,因此系統(tǒng)參數(shù)的不確定性也會影響輸入整形器的振動抑制效果。為解決上述問題,眾多學(xué)者提出不少輸入整形器的優(yōu)化設(shè)計方法。例如針對時滯問題,Singhose等提出多種負脈沖輸入整形器的設(shè)計方法,大幅減小了脈沖序列長度,縮短了系統(tǒng)響應(yīng)時滯時間[6];Zhao等通過對期望軌跡進行速度規(guī)劃,再對其進行輸入整形來減少時滯時間[7];Kamel等則采用路徑規(guī)劃和輸入整形相結(jié)合的方法來對系統(tǒng)響應(yīng)的時滯時間進行補償[8]。對于控制誤差問題,Potter和Robertson等通過構(gòu)建不同的控制誤差代價函數(shù),設(shè)計出最小延遲輸入整形器(MD)、軌跡修正減少輸入整形器(RM)[9-10];Han等通過分解系統(tǒng)實際輸出表達式來對控制誤差代價函數(shù)進行重構(gòu),設(shè)計出一種不需要系統(tǒng)模型且能減少控制誤差的輸入整形器[11]。對于魯棒性問題,Singhose通過增加整形器脈沖數(shù)或允許一定量的殘余振動設(shè)計出了零振動一階微分輸入整形器(ZVD)、零振動二階微分輸入整形器(ZVDD)、極不靈敏輸入整形器(SI)[6];Pyung結(jié)合時變技術(shù)設(shè)計出時變輸入整形器(TVIST)[12];Pereira結(jié)合代數(shù)非漸進辨識技術(shù)設(shè)計出自適應(yīng)輸入整形器[13-14]。這些方法均能降低輸入整形器對系統(tǒng)參數(shù)的敏感度,從而顯著提高輸入整形器的魯棒性。綜上所述,諸多新穎的優(yōu)化設(shè)計方法在改善輸入整形器某一方面的性能取得了良好的效果,但上述優(yōu)化方法存在一定的缺陷,如負脈沖的引進可能引起超調(diào)現(xiàn)象,影響機器人末端定位精度;延長脈沖序列長度雖能提高整形器的魯棒性,但也帶來了更長的時滯時間;自適應(yīng)輸入整形器和TVIST輸入整形器則需要精確的系統(tǒng)動力學(xué)模型。

為解決輸入整形器應(yīng)用于工業(yè)機器人殘余振動控制時存在的時滯問題、控制誤差問題和魯棒性問題,本文提出一種基于輸入整形技術(shù)的控制誤差優(yōu)化輸入整形器設(shè)計方法,通過構(gòu)建關(guān)于輸入整形器參數(shù)的線性約束方程組和代價函數(shù),將輸入整形器的設(shè)計轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題進行求解。線性約束方程組由ZVDD輸入整形器約束方程和系統(tǒng)時滯時間方程經(jīng)整形器時間參數(shù)離散化后聯(lián)立組成,使整形器具備一定的魯棒性且能應(yīng)用于實際控制系統(tǒng)中。代價函數(shù)由帶懲罰因子的整形器脈沖幅值懲罰項和控制誤差平方積分項構(gòu)成,用以實現(xiàn)控制誤差的最小化。應(yīng)用于實際系統(tǒng)時采用預(yù)測路徑規(guī)劃(信號前移)的方法來進行時滯時間的補償。

1　輸入整形

輸入整形器是一種利用系統(tǒng)固有模態(tài)參數(shù)進行設(shè)計、能夠抑制機器人末端殘余振動的前饋控制方法,其原理是利用參考輸入信號f(t)(t∈[tfa,tfb])與輸入整形器g(t)做卷積運算得到的整形輸入信號c(t)(t∈[tfa,tfb+tn])來驅(qū)動系統(tǒng),只要選擇合適的輸入整形器參數(shù),在不改變參考信號系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值的情況下,當t>tfb+tn時,輸入信號c(t)可以完全消除系統(tǒng)輸出的殘余振動。其控制流程如圖2所示。

圖2　輸入整形流程圖

1.1　ZVDD輸入整形器的設(shè)計

機器人單一旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)可以簡化為一個二階線性系統(tǒng)。以單自由度二階有阻尼系統(tǒng)為研究對象,Singer給出了多脈沖輸入整形器的表達式[15]

(1)

式中:n為脈沖數(shù);Ai、ti為第i個脈沖的幅值和作用時間。

以單位脈沖信號δ(t)為輸入信號,系統(tǒng)響應(yīng)為

(2)

單位脈沖信號δ(t)經(jīng)整形得到的系統(tǒng)響應(yīng)為

(3)

當t>tn時,聯(lián)立式(2)、(3),利用三角函數(shù)性質(zhì),系統(tǒng)響應(yīng)可以表示為

Y(t)=A(ω0,ζ)e-ω0ζtsin(ωdt+φ)

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

(8)

為消除系統(tǒng)響應(yīng)殘余振動,令A(yù)(ω0,ζ)=0,也就是使式(6)、(7)為0,即

(9)

(10)

為了增強輸入整形器的魯棒性,令式(6)、(7)對固有頻率ω0的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)均為0,即

(11)

(12)

(13)

(14)

為使整形前后系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值不變,脈沖幅值A(chǔ)i(i=1,2,…,n)必須滿足歸一化條件,即

(15)

式(9)～(15)構(gòu)成一非線性約束方程組,該方程組提供了一種輸入整形器的經(jīng)典求法:令t1=0,對其進行求解即可得到一個ZVDD輸入整形器,該輸入整形器包含4個脈沖,其表達式如下

(16)

1.2　輸入整形器時滯時間的減少和補償

輸入整形器會延長系統(tǒng)響應(yīng)時滯時間并影響機器人末端執(zhí)行器定位速度。本文將采用負脈沖和預(yù)測路徑規(guī)劃這2種方法來減少和補償時滯時間。

傳統(tǒng)的輸入整形器均為正脈沖,但是該條件過于嚴苛,正脈沖會帶來較長的時滯時間,在高速運動下很難實現(xiàn)輸入整形,Singhose提出放寬對脈沖幅值的約束條件,允許小幅值負脈沖的存在。該約束的一般形式如下[16]

Aimin≤Ai≤Aimax

(17)

ΔAimin≤ΔAi≤ΔAimax

(18)

式中:Aimin、Aimax為脈沖幅值序列中允許的最小、最大幅值;ΔAimin、ΔAimax為允許的相鄰幅值最小、最大增量?？紤]到電機性能,式(17)中Aimin與Aimax必須滿足條件Aimin≥-1及Aimax≤1,式(18)中ΔAimax取值須滿足條件ΔAimax≤2,以保證整形后信號不會引起電機電流過載現(xiàn)象;脈沖幅值序列中的幅值絕對值最大值|Ai|max與相鄰幅值最小增量ΔAimin越小,整形后的信號越平滑,但同時也延長了脈沖序列的長度,增加了系統(tǒng)輸出的時滯時間,故在此理論基礎(chǔ)上需結(jié)合實際要求合理選擇幅值約束Aimin、Aimax與ΔAimin、ΔAimax。負脈沖可能引起的控制誤差問題,將在下一節(jié)中通過控制誤差代價函數(shù)來解決。

預(yù)測路徑規(guī)劃是指通過某種方法提前判斷輸入整形引起的系統(tǒng)響應(yīng)時滯時間τ,再在整形信號驅(qū)動系統(tǒng)前將信號前移τ,從而補償時滯時間。Kamel給出了斜坡信號整形后的系統(tǒng)響應(yīng)時滯時間[7]

(19)

延時時間只與輸入整形器參數(shù)和系統(tǒng)特性有關(guān)。若使τ=0并代入非線性方程組進行求解,則不僅可以補償整形器時滯時間,也補償了系統(tǒng)特性引起的延時,但是強制性要求延時為0會導(dǎo)致求解出的整形器脈沖幅值過大,造成電機過載。盡管如此,式(19)仍提供了一種判斷系統(tǒng)響應(yīng)時滯時間τ的方法,其具體做法為:先允許存在給定的已知期望系統(tǒng)響應(yīng)延時τ0,令τ=τ0,代入式(19)做變換得到系統(tǒng)時滯時間方程為

(20)

將式(20)加入非線性約束方程組中重新求解出一個新的輸入整形器,使用該整形器所引起的時滯時間即為已知的給定期望時間τ0,這意味著在計算得到輸入整形器參數(shù)后,不需經(jīng)過實驗即可提前判斷其引起的系統(tǒng)響應(yīng)時滯時間。在確定系統(tǒng)響應(yīng)的時滯時間為τ0后,將該整形器整形后的信號向前移動τ0再去驅(qū)動系統(tǒng),系統(tǒng)時滯時間即可得到補償。

1.3　輸入整形器的離散化

實際控制系統(tǒng)均為離散時間系統(tǒng),故傳統(tǒng)輸入整形器計算出的脈沖時間點及時滯時間τ0可能不是系統(tǒng)控制周期Tc的整倍數(shù),影響輸入整形器的振動抑制效果。為解決這一問題,須對輸入整形器做離散化處理,使時間參數(shù)ti和τ0成為控制周期Tc的整倍數(shù),令

(21)

式中:m為τ0對控制周期Tc的倍數(shù),m∈N。將式(21)代入非線性約束方程組,則可以預(yù)先確定脈沖時間ti=(i-1)Tc,故未知量只剩下脈沖幅值A(chǔ)i,即聯(lián)立式(9)～(15)、式(20)、式(21),將非線性約束方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于脈沖幅值A(chǔ)i的線性約束方程組

CA=b

(22)

式中:

C=[c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8]T∈R8×n

(23)

c1,i=eω0ζ(i-1)Tccos(ωd(i-1)Tc)

(24)

c2,i=eω0ζ(i-1)Tcsin(ωd(i-1)Tc)

(25)

c3,i=1

(26)

c4,i=(i-1)eω0ζ(i-1)Tccos(ωd(i-1)Tc)

(27)

c5,i=(i-1)eω0ζ(i-1)Tcsin(ωd(i-1)Tc)

(28)

c6,i=i-1

(29)

c7,i=(i-1)2eω0ζ(i-1)Tccos(ωd(i-1)Tc)

(30)

c8,i=(i-1)2eω0ζ(i-1)Tcsin(ωd(i-1)Tc)

(31)

A=[A1,A2…An-1,An]T∈Rn

(32)

(33)

式(22)提供了輸入整形器設(shè)計最優(yōu)化問題的約束條件,該線性約束方程組可以在抑制系統(tǒng)輸出殘余振動的基礎(chǔ)上使輸入整形器具備一定的魯棒性,并為時滯時間的補償?shù)於ɑA(chǔ)。

2　輸入整形控制誤差的優(yōu)化

上一節(jié)給出了輸入整形器設(shè)計最優(yōu)化問題的約束條件,通過構(gòu)建合理的代價函數(shù)可以設(shè)計出符合要求的輸入整形器。本節(jié)將針對輸入整形中存在的控制誤差問題,通過構(gòu)建一個控制誤差代價函數(shù)以實現(xiàn)控制誤差最小化。

以單位階躍信號為參考輸入信號,其二階系統(tǒng)響應(yīng)為

(34)

經(jīng)輸入整形后的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為

(35)

設(shè)已知系統(tǒng)響應(yīng)時滯時間τ0,對整形信號做預(yù)測路徑規(guī)劃處理,將信號前移mTc,也即等價于將參考信號后移mTc,定義e(t)為實際輸出與參考輸入間的誤差,則

(36)

事實上,可以用有限長時間Tmax代替t→∞這一條件,構(gòu)建代價函數(shù)為

(37)

式中:Q為n×n維正定加權(quán)對角陣,Q的對角線元素qi越大,對脈沖幅值向量A的懲罰越大。第2項為過程控制誤差項,第3項為定位控制誤差項,k1、k2為對第2、3項的懲罰因子。將式(37)各項展開,對第2項有

(38)

令

(39)

對F1、F2項進行化簡

(j-1)Tc)dt=ATψA

(40)

式中:ψ為n×n維矩陣,矩陣元素為

(j-1)Tc)dt

(41)

(42)

式中:θ為n維向量,向量元素為

(43)

對式(37)的第3項取Tmax=2tn,有

(44)

令

(45)

對F3、F4項進行化簡

(46)

式中:G為n維向量,向量元素為

(47)

(j-1)Tc)dt=ATHA

(48)

式中:H為n×n維矩陣,矩陣元素為

(49)

故代價函數(shù)可以表示為

F=ATP1A-2ATP2+k1(n-m-1)Tc+

k2(n-1)Tc

(50)

其中P1=Q+k1ψ+k2H,P2=k1θ+k2G,利用拉格朗日乘子法求解脈沖幅值向量A,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

L(A,λ)=F+λT(CA-b)

(51)

式中:λ為拉格朗日乘子矢量,λ∈R8。L(A,λ)的極值條件為

(52)

解得脈沖幅值向量A的表達式為

(53)

式(53)中矩陣P1不一定可逆,但是當加權(quán)正定對角陣Q的對角線元素q和懲罰因子k1滿足條件q≥0.2、k1≥1時,可以保證矩陣P1滿秩,使幅值向量A有解[8],另外在實際應(yīng)用中往往對定位誤差要求更高,故懲罰因子選擇時須滿足k2>k1。

選擇某個初始脈沖數(shù)n0(n0≥8)開始迭代計算,直至解出滿足給定幅值約束條件式(17)、(18)的脈沖幅值向量A*,設(shè)脈沖幅值向量A*的維數(shù)為n,則各脈沖的作用時間ti=(i-1)Tc(i=1,2,…,n),代入式(1)即可得到控制誤差優(yōu)化輸入整形器。

3　機器人J5軸末端殘余振動抑制實驗

為驗證本文提出的控制誤差優(yōu)化輸入整形器的有效性,本節(jié)將從殘余振動抑制、過程控制誤差、末端定位誤差3個方面的實驗結(jié)果來對控制誤差優(yōu)化輸入整形器進行分析,并與ZVDD、CEM輸入整形器進行性能比較。在某六自由度機器人J5軸實驗平臺上進行實驗,實驗臺及控制框圖如圖3、圖4所示。

圖3　機器人J5軸實驗平臺實物圖

圖4　控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)一階固有模態(tài)參數(shù)ω0、ζ可通過模態(tài)實驗獲取;ZVDD輸入整形器參數(shù)可由式(16)得到;CEM輸入整形器參數(shù)求解見參考文獻[7];控制誤差優(yōu)化輸入整形器可利用式(53)進行迭代計算獲得,迭代計算所需的參數(shù)見表1,為了與ZVDD輸入整形器形成對比,表1中的期望系統(tǒng)時滯時間取值為實驗測得的ZVDD輸入整形器在機器人J5軸上引起的時滯時間τ0。將控制誤差優(yōu)化輸入整形器應(yīng)用于實際控制系統(tǒng)時,由于控制系統(tǒng)為離散時間系統(tǒng),故對整形信號做前移處理應(yīng)該為將整形信號向前移動m個點。

以斜坡信號為系統(tǒng)參考輸入信號,利用三向加速度傳感器檢測J5軸末端殘余振動加速度,分析整形器的殘余振動抑制情況。實驗結(jié)果如圖5所示,

表1　控制誤差優(yōu)化輸入整形器計算參數(shù)

圖5　機器人J5軸末端殘余振動加速度隨時間的變化

在未做整形的情況下,J5軸末端存在長時間的殘余振動,其振動加速度約為12 m/s2,當采用控制誤差優(yōu)化輸入整形器和ZVDD輸入整形器分別對輸入信號做整形后,J5軸末端殘余振動加速度快速減小并收斂至1.4 m/s2,衰減至未整形殘余振動加速度的11.7%,說明這2種輸入整形器均能明顯抑制末端的殘余振動。

采用通過交流伺服驅(qū)動器讀取到的關(guān)節(jié)電機編碼器脈沖數(shù)來對J5軸末段運動軌跡進行研究,分析輸入整形器引起的系統(tǒng)時滯時間和控制誤差。如圖6所示,ZVDD輸入整形器引起的系統(tǒng)響應(yīng)時滯時間τ0=150 ms,而控制誤差優(yōu)化輸入整形器由于采用預(yù)測路徑規(guī)劃的方法對時滯時間進行了補償,其引起的時滯時間Δt≈18 ms,與ZVDD輸入整形器相比減少了88%。

圖6　機器人J5軸末端運動軌跡

圖7　過程控制誤差隨時間的變化

控制誤差優(yōu)化輸入整形器與ZVDD輸入整形器的過程控制誤差如圖7所示,由圖可知ZVDD輸入整形器的最大過程控制誤差|emax|=0.564 rad,其整形后的輸出軌跡在J5軸末端運動過程中始終與參考輸入間存在一定的控制誤差?？刂普`差優(yōu)化輸入整形器的最大過程控制誤差|emax|=0.224 rad,與ZVDD輸入整形器相比減小了60.3%,且僅在上升時間的末段出現(xiàn),大部分上升時間的控制誤差|e|=0.095 rad,與ZVDD輸入整形器相比減少了83.2%,整形后的輸出軌跡與參考輸入軌跡基本貼合。

圖8　機器人J5軸末端定位誤差

輸入整形器帶來的定位誤差如圖8所示,控制誤差優(yōu)化輸入整形器與CEM輸入整形器均對過程誤差進行了優(yōu)化,且為了減少時滯時間,均允許負脈沖的存在。但是,CEM輸入整形器并未對負脈沖引起的定位誤差進行抑制,其定位誤差e=2.71×10-3rad,而控制誤差優(yōu)化輸入整形器與ZVDD輸入整形器的控制誤差基本相同,e=1.28×10-3rad,與CEM輸入整形器相比減少了53.7%。由此可見,通過定位誤差的優(yōu)化可以有效減少負脈沖帶來的影響,提高定位精度。

4　結(jié)　論

針對工業(yè)機器人關(guān)節(jié)柔性引起的末端執(zhí)行器殘余振動抑制問題,提出一種控制誤差優(yōu)化輸入整形器的設(shè)計方法,通過構(gòu)建線性約束方程組和控制誤差代價函數(shù),解出整形器參數(shù)表達式,再進行迭代求解獲得控制誤差優(yōu)化輸入整形器。在應(yīng)用于實際控制系統(tǒng)時采用預(yù)測路徑規(guī)劃方法對時滯時間進行補償。實驗結(jié)果表明,在有效抑制末端殘余振動的前提下,控制誤差優(yōu)化輸入整形器可以縮短系統(tǒng)時滯時間88%,減小機器人J5軸末端最大過程控制誤差60.3%和定位誤差53.7%。

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薛曉敏,孫清,伍曉紅,等.磁流變阻尼器滯回模型參數(shù)的敏感性分析及其簡化模型.2013,47(7):102-107.[doi:10.7652/xjtuxb201307019]

馬天兵,裘進浩,季宏麗.用于壁板結(jié)構(gòu)多模態(tài)振動主動控制的改進最小控制合成(MCS)算法.2012,46(7):87-92.[doi:10.7652/xjtuxb201207016]

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薛曉敏,孫清,張陵,等.利用遺傳算法的磁流變阻尼器結(jié)構(gòu)含時滯半主動控制.2010,44(9):122-127.[doi:10.7652/xjtuxb201009024]

荊棟,徐暉,王緒偉.內(nèi)嵌流體歐拉梁減振評價及殘余振動衰減分析.2008,42(3):354-358.[doi:10.7652/xjtuxb200803 022]