王智明, 任麗娜, 段紅燕, 楊海魚(yú)

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 730050, 蘭州)

金屬切削刀具作為機(jī)床的重要組成部分,其可靠性對(duì)整個(gè)機(jī)床工藝系統(tǒng)的加工效率和穩(wěn)定性有顯著的影響。量化評(píng)估刀具的可靠性,及時(shí)更換不合格刀具[1-3],不僅可以降低生產(chǎn)成本,提高經(jīng)濟(jì)效益,而且還可以保證工件表面加工質(zhì)量,因此準(zhǔn)確評(píng)估刀具的可靠性具有重要的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。

刀具壽命是刀具可靠性評(píng)估的主要指標(biāo)之一,主要影響因素有切削速度v、進(jìn)給量f、切削深度a等切削用量,因此以切削用量為主要模型參數(shù)的Taylor刀具壽命指數(shù)方程多元線性回歸法為常見(jiàn)的刀具壽命評(píng)估方法之一[4-5]。但是,影響刀具壽命的因素眾多,除切削用量外,還有刀具幾何形狀、刀具材料、工件材料、切削液及操作者的經(jīng)驗(yàn)水平等。

概率統(tǒng)計(jì)法常用來(lái)評(píng)估刀具壽命及其可靠性。該方法認(rèn)為刀具壽命為隨機(jī)變量,且當(dāng)?shù)毒吣p形式為月牙洼磨損時(shí),其壽命服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布;當(dāng)磨損形式為刀面附著磨損時(shí),壽命服從Gamma分布;大多數(shù)情況下,刀具壽命服從Weibull分布。其中,Iakovou等解決了刀具壽命為Gamma分布時(shí)的加工經(jīng)濟(jì)問(wèn)題[6],Kwon等研究了金屬陶瓷刀具壽命正態(tài)分布時(shí)的切削特性[7],Galante等給出了刀具壽命逆正態(tài)分布下的Taloy公式近似解法[8],樊寧等分析了刀具壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)的可靠性[9],陳保家等提出了一種基于Logistic回歸模型和刀具振動(dòng)信號(hào)的可靠性評(píng)估方法[10],Letot等根據(jù)車(chē)削惡化指標(biāo)預(yù)測(cè)了刀具的剩余壽命及可靠性[11]。

單一的統(tǒng)計(jì)分布模型未考慮切削用量等物理因素對(duì)刀具使用壽命及可靠性的影響,文獻(xiàn)[12-13]綜合統(tǒng)計(jì)分布模型和切削用量等可靠性主要影響因素,應(yīng)用刀具壽命統(tǒng)計(jì)分布比例危險(xiǎn)模型分析了刀具的可靠性。比例危險(xiǎn)模型是Cox在1972年提出的生存數(shù)據(jù)分析的主要模型,認(rèn)為對(duì)生存數(shù)據(jù)的建模需要考慮個(gè)體的異質(zhì)性影響,因該模型在Weibull等統(tǒng)計(jì)分布模型的基礎(chǔ)上綜合了影響個(gè)體差異的協(xié)變量,后來(lái)被推廣應(yīng)用于可靠性分析領(lǐng)域[14]。李常有等分析了刀具在恒定加工及定期補(bǔ)償條件下的刀具漸變狀態(tài)可靠性[15-16]。然而,在機(jī)械加工中,為了滿足工件不同的粗、精加工和表面質(zhì)量等加工工藝要求,同一把刀具除切削用量不斷變化外,加工部位及零部件類(lèi)型亦不斷變化[17-21]。如45°外圓車(chē)刀,不僅能車(chē)削軸類(lèi)零件外圓面,也可以車(chē)削盤(pán)類(lèi)零件端面或倒角?？梢?jiàn),由于刀具加工條件的變化,不能直接用不同加工條件下的工作時(shí)間進(jìn)行可靠性分析,因此如何評(píng)價(jià)切削刀具在變加工條件下的可靠性便成為一個(gè)難題。

兩參數(shù)Weibull分布可靠性模型可用常見(jiàn)的最小二乘法和極大似然法進(jìn)行求解,且當(dāng)其形狀參數(shù)為1時(shí),退化為更為簡(jiǎn)單的指數(shù)分布模型。因此,兩參數(shù)Weibull分布模型具有參數(shù)估計(jì)簡(jiǎn)單和靈活性較強(qiáng)的特點(diǎn),在可靠性分析中被廣泛應(yīng)用。當(dāng)用該模型分析刀具的可靠性時(shí),表示刀具在任意時(shí)間內(nèi)均有可能發(fā)生故障。然而,根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)可知,許多刀具在投入使用后的某一時(shí)間段內(nèi)是不會(huì)發(fā)生故障的,且故障數(shù)據(jù)經(jīng)雙對(duì)數(shù)變換后在概率圖上不是一條直線,此時(shí)用三參數(shù)Weibull分布模型分析刀具故障更為合適。這是由于三參數(shù)Weibull分布模型因位置參數(shù)的存在,可用來(lái)描述刀具在某一使用時(shí)間段內(nèi)不發(fā)生故障的情況,且變換后的故障數(shù)據(jù)不在一條直線上[22-23]。

本文綜合考慮切削用量等主要因素,建立刀具可靠性評(píng)估的三參數(shù)Weibull比例危險(xiǎn)模型。模型含有6個(gè)參數(shù),用常見(jiàn)的極大似然法求解時(shí)會(huì)產(chǎn)生含有6個(gè)變量的復(fù)雜方程組,且方程組沒(méi)有封閉的解析解,需借助如迭代法的某一數(shù)值解法,計(jì)算量偏大。另一方面,根據(jù)Nelson[24]累積失效原理可知,刀具失效是在不同加工條件下累積失效的結(jié)果。據(jù)此,可以把刀具在不同加工條件下的工作時(shí)間折合在同一加工條件下對(duì)其進(jìn)行可靠性分析。所以,本文基于Nelson累積失效原理,采用貝葉斯仿真方法估計(jì)模型參數(shù),可避免求解復(fù)雜的方程組,減少了計(jì)算量。最后,結(jié)合實(shí)際案例給出了刀具變加工條件下的可靠度及故障率,解決了刀具在變加工條件下的可靠性分析難題,為刀具置換提供了理論指導(dǎo)。

1　刀具三參數(shù)Weibull比例危險(xiǎn)模型

若刀具故障時(shí)間t服從三參數(shù)Weibull分布,則基準(zhǔn)故障率和可靠度函數(shù)分別為

h0(t)=λβ(t-γ)β-1

(1)

R0(t)=exp[-λ(t-γ)β]

(2)

式中:λ、β、γ分別為Weibull分布尺度參數(shù)、形狀參數(shù)及位置參數(shù)。

式(1)和式(2)未包含切削速度v、進(jìn)給量f、切削深度a等參數(shù),即三參數(shù)Weibull分布模型未考慮刀具切削用量等主要因素對(duì)刀具故障率及可靠性的影響。Cox比例危險(xiǎn)模型[25-26]以單一統(tǒng)計(jì)分布模型的故障率或可靠度為基準(zhǔn),并結(jié)合了其他物理因素,克服了這種單一統(tǒng)計(jì)分布模型的上述缺點(diǎn)。因此,以三參數(shù)Weibull分布模型的故障率為基準(zhǔn)故障率h0(t),綜合考慮刀具切削用量等協(xié)變量Z=(v,f,a)的影響,用Cox比例危險(xiǎn)模型描述故障時(shí),刀具故障率為

h(t)=h0(t)exp(k,Z)=λβ(t-γ)β-1exp(k,Z)

(3)

式中:k=(k1,k2,k3)為模型參數(shù),且

exp(k,Z)=exp(k1lnv+k2lnf+k3lna)=vk1fk2ak3

(4)

由比例危險(xiǎn)模型可靠度和基準(zhǔn)可靠度關(guān)系R(t)=R0(t)exp(k,Z)及式(2)、式(4)可知,刀具可靠度為

R(t)=exp[-λ(t-γ)βexp(k,Z)]=

exp[-λ(t-γ)βvk1fk2ak3]

(5)

相應(yīng)的分布函數(shù)為

F(t)=1-R(t)=1-exp[-λ(t-γ)βvk1fk2ak3]

(6)

因此,由式(3)、式(5),得刀具壽命概率密度函數(shù)為

f(t)=h(t)R(t)=

λβ(t-γ)β-1vk1fk2ak3exp[-λ(t-γ)βvk1fk2ak3]

(7)

所以,不同切削用量下刀具故障時(shí)間ti(i=1,2,…,n)的似然函數(shù)為

(8)

式(8)兩邊取自然對(duì)數(shù),得對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(9)

式(9)含有λ、β、γ、k1、k2、k3等6個(gè)未知變量,對(duì)式(9)各變量求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0,會(huì)產(chǎn)生含有6個(gè)參數(shù)的方程組。該方程組通常沒(méi)有封閉的解析解,常用數(shù)值方法求解,計(jì)算量較大,因此可結(jié)合模型參數(shù)的先驗(yàn)分布用貝葉斯仿真方法估計(jì)[13,27-28]。該仿真方法的思想如下:為了估計(jì)模型參數(shù),可結(jié)合模型參數(shù)的先驗(yàn)分布及似然函數(shù),應(yīng)用貝葉斯原理,從參數(shù)滿足后驗(yàn)分布中重復(fù)抽樣產(chǎn)生所估計(jì)參數(shù),直至找到穩(wěn)定的馬爾科夫鏈,然后舍棄過(guò)渡期抽樣值,取收斂抽樣均值即為參數(shù)估計(jì)值。貝葉斯仿真方法結(jié)合參數(shù)驗(yàn)前經(jīng)驗(yàn),消除了模型的不確定性,所得結(jié)果更加接近真實(shí)值,同時(shí)也避免了方程組的求解,減少了計(jì)算量。

2　刀具變加工條件下的可靠度及故障率

如前所述,在機(jī)床切削過(guò)程中,刀具切削用量及加工零部件不斷變化,使得刀具的加工條件并非恒定不變,因此不能直接用不同加工條件下的工作時(shí)間進(jìn)行可靠性分析。設(shè)刀具開(kāi)始加工時(shí)間為t0,在m個(gè)不同加工條件末的加工時(shí)間分別為t1,t2,…,tm(m≥2,t0=0),則刀具在第m個(gè)加工條件末,順序經(jīng)歷了m個(gè)加工條件,那么在第m個(gè)加工條件下的工作時(shí)間Δtm=tm-tm-1。若刀具在此時(shí)失效,則其失效是在m個(gè)不同加工條件下累積失效的結(jié)果。所以,用Nelson提出的累積失效模型[24],可以把刀具在m個(gè)不同加工條件下的工作時(shí)間折合在同一加工條件下對(duì)其進(jìn)行可靠性分析。

圖1　累積失效模型分布函數(shù)

累積失效模型廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品的加速壽命試驗(yàn)中,該模型假設(shè)產(chǎn)品的剩余壽命僅依賴于當(dāng)時(shí)已累積失效部分和當(dāng)時(shí)的應(yīng)力水平,與累積方式無(wú)關(guān)。因此,刀具在第1個(gè)加工條件下工作t1時(shí)間的累積失效概率F1(t1)應(yīng)與在第2個(gè)加工條件下工作某一段時(shí)間τ1的累積失效概率F2(τ1)相等,即F1(t1)=F2(τ1),如圖1所示。換言之,刀具在第1個(gè)加工條件下的工作時(shí)間t1相當(dāng)于在第2個(gè)加工條件下的工作時(shí)間τ1。所以,刀具在經(jīng)歷了2個(gè)不同的工作條件下的累積工作時(shí)間,相當(dāng)于刀具只在第2個(gè)加工條件下的工作時(shí)間為Δt2+τ1,該時(shí)間折合到第3個(gè)加工條件下的工作時(shí)間τ2可由F2(Δt2+τ1)=F3(τ2)給出。不失一般性,前m-1個(gè)加工條件下的所有工作時(shí)間折合到只在第m個(gè)加工條件下的工作時(shí)間τm-1可由Fm-1(Δtm-1+τm-2)=Fm(τm-1)(τ0=0)遞推獲得。

可見(jiàn),在整個(gè)加工過(guò)程中,刀具的分布函數(shù)F(t)為分段函數(shù),其表達(dá)式如下

(10)

不失一般性,結(jié)合式(6)和式(10)最后一項(xiàng),得

式中:Δtm-1=tm-1-tm-2(m≥2,t0=0)。令j=m-1,則化簡(jiǎn)后得刀具在第j(j=1,2,…,m)個(gè)變加工條件下的折合工作時(shí)間τj為

τj=γ+(tj-tj-1+τj-1-γ)·

(11)

式中:τ0=0。因此,由式(5)和式(10)最后一項(xiàng),得刀具在第j個(gè)加工條件下的可靠度為

Rj(t)=R(t-tj-1+τj-1)=

tj-1≤t≤tj,t0=0,τ0=0,j=1,2,…,m

(12)

由式(3)得相應(yīng)的故障率為

hj(t)=h(t-tj-1+τj-1)=

tj-1≤t≤tj,t0=0,τ0=0,j=1,2,…,m

(13)

3　案例分析

文獻(xiàn)[18-19]分析了表1所示刀具壽命數(shù)據(jù),認(rèn)為刀具壽命服從兩參數(shù)Weibull分布,但經(jīng)分析計(jì)算發(fā)現(xiàn),該組數(shù)據(jù)服從三參數(shù)Weibull分布。文獻(xiàn)[18-19]中切削速度v、進(jìn)給量f及切深a的單位分別為英尺/分鐘(fpm),英寸/轉(zhuǎn)(ipr),英寸(inches),結(jié)合金屬機(jī)械加工工程背景,現(xiàn)將其分別改為m/min、mm/r、mm。

AIC、BIC信息準(zhǔn)則是可靠性評(píng)估模型選擇的常用標(biāo)準(zhǔn)[29],其值分別為

vAIC=-2max lnL+2m

vBIC=-2max lnL+mlnn

表1　機(jī)床刀具切削用量及刀具壽命

式中:m為模型參數(shù)個(gè)數(shù);n為故障數(shù)據(jù)個(gè)數(shù);lnL為對(duì)數(shù)似然函數(shù)。不同模型的刀具壽命如表2所示,vAIC、vBIC越小表明模型的擬合度越高。

表2　刀具壽命統(tǒng)計(jì)分布選擇比較

從表2可見(jiàn),在兩參數(shù)Weibull分布等眾多分布模型中,三參數(shù)Weibull分布模型的vAIC、vBIC值均最小,表明三參數(shù)Weibull分布模型是描述刀具故障的最佳模型。因此,應(yīng)用三參數(shù)Weibull比例危險(xiǎn)模型,綜合切削用量等協(xié)變量對(duì)刀具壽命的影響,采用貝葉斯仿真方法得到模型參數(shù)點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)及各種誤差如表3所示。

表3　切削刀具可靠性模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)

表4為變加工條件下刀具的順序加工時(shí)間及切削用量。應(yīng)用所提方法,根據(jù)式(11)得折合的等量切削時(shí)間分別為τ1=21.07 min,τ2=38.49 min,τ3=40.69 min。4個(gè)不同加工條件下的累積分布函數(shù)如圖2所示。

在變加工條件下,刀具的可靠度及故障率均為分段函數(shù),如在最后一個(gè)加工條件末t=80 min處,由式(12)和式(13)知其可靠度和故障率分別為

表4　變加工條件順序加工時(shí)間及切削用量

圖2　變加工條件下刀具累積分布函數(shù)

可見(jiàn),在最后一個(gè)加工條件末刀具可靠度已很低。此時(shí),若不能滿足生產(chǎn)要求,應(yīng)根據(jù)最小可靠度或最高故障率進(jìn)行置換。

所有不同加工條件下的刀具可靠度及故障率分別如圖3和圖4所示。圖3顯示在不同加工時(shí)間分界點(diǎn),即上一加工時(shí)間末和下一加工時(shí)間開(kāi)始點(diǎn),刀具的可靠度相同,如R1(30)=R2(30)。在整個(gè)加工過(guò)程中,刀具可靠度函數(shù)分段連續(xù)單調(diào)下降,但刀具故障率在分界時(shí)間點(diǎn)表現(xiàn)為突變上跳,其函數(shù)為分段不連續(xù)單調(diào)增加。該特點(diǎn)和恒定加工條件下刀具可靠度單調(diào)非分段連續(xù)下降及故障率連續(xù)單調(diào)遞增有所不同,表現(xiàn)出不同加工條件對(duì)刀具故障率的顯著影響。如在本案例中的第4、第3兩個(gè)不同加工條件下的時(shí)間分界點(diǎn)t=70 min處,刀具故障率之比為

刀具在其他分界點(diǎn)的故障率之比分別為h2(30)/h1(30)=1.494、h3(55)/h2(55)=1.213 5?？梢?jiàn),刀具在30、55、70 min 3個(gè)不同加工時(shí)間分界點(diǎn)的故障率分別增長(zhǎng)49.40%、21.35%、33.94%,表現(xiàn)出刀具加工條件受切削用量、加工部位及不同類(lèi)型等因素的影響。事實(shí)上,由式(5)、式(11)和式(12)可得

(14)

同樣,直接由式(5)和式(12),得

Rj(tj)=R(tj-tj-1+τj-1)=

(15)

比較式(14)和式(15),有

Rj(tj)=Rj+1(tj),j=1,2,…,m

可見(jiàn),在不同加工時(shí)間分界點(diǎn)上可靠度相等,即其可靠度函數(shù)是連續(xù)的。

對(duì)于故障率,有

(16)

由于切削用量的變化,式(16)顯然不相等。本案例中hj+1(tj)/hj(tj)(j=1,2,3)均大于1,其故障率在3個(gè)不同加工分界點(diǎn)均為突變上跳,但需要指出的是,式(16)有可能小于1,即故障率在時(shí)間分界點(diǎn)也有可能突變下跳。

圖3　所有不同加工條件下的刀具可靠度的規(guī)律

圖4　所有不同加工條件下的刀具故障率的規(guī)律

4　結(jié)　論

綜合統(tǒng)計(jì)分布模型和影響刀具壽命的切削用量等物理因素,在分析兩參數(shù)Weibull分布等單一統(tǒng)計(jì)分布概率模型的基礎(chǔ)上,建立了刀具可靠性評(píng)估的三參數(shù)Weibull比例危險(xiǎn)模型?；谠撃Ｐ?利用Nelson累積失效原理,確定了不同加工時(shí)間在同一加工條件下的折合時(shí)間。結(jié)合貝葉斯仿真模型參數(shù)估計(jì)方法,揭示了刀具在變加工條件下的可靠度和故障率的變化規(guī)律,為更換不合格刀具提供了理論依據(jù)。與恒定加工條件下刀具的可靠性(故障率)為單調(diào)連續(xù)下降(上升)不同,在變加工條件下,刀具可靠度及故障率函數(shù)均為分段函數(shù),前者為分段連續(xù)單調(diào)遞減,后者因受切削用量等的影響,表現(xiàn)為分段不連續(xù)單調(diào)遞增,且在不同加工條件時(shí)間分界點(diǎn)突變上跳或下跳。

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