杜彥斌，戴家佳，金　君

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

一、引 言

在許多縱向研究中，研究的個(gè)體有時(shí)會(huì)不止一次的經(jīng)歷某一事件，這種事件叫做復(fù)發(fā)事件。復(fù)發(fā)事件頻繁的出現(xiàn)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等研究領(lǐng)域中。例如：接受腎臟移植的病人術(shù)后的反復(fù)感染；癌癥患者在治療過程中的多次復(fù)發(fā)；顧客對(duì)一件商品的重復(fù)購買等等。在復(fù)發(fā)事件過程中產(chǎn)生的數(shù)據(jù)叫做復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)。

根據(jù)研究對(duì)象種類的不同，復(fù)發(fā)事件一般又分為兩種類型：一種是單類型復(fù)發(fā)事件，即感興趣的事件只有一種類型，并且不止一次發(fā)生，例如某種機(jī)器故障的多次發(fā)生，某種病毒的多次感染；然而，在許多生活應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到多種不同類型的復(fù)發(fā)事件，即多類型復(fù)發(fā)事件。例如，在病人手術(shù)后的感染研究中，研究人員需要同時(shí)考慮病毒、真菌和細(xì)菌的感染，在臨床研究中，我們?cè)诳紤]硒元素和皮膚癌關(guān)系時(shí)，需要同時(shí)研究幾類皮膚癌的復(fù)發(fā)。由于不同類型的復(fù)發(fā)事件之間是相依的，我們需要同時(shí)對(duì)它們進(jìn)行分析，而不是只研究某類特定的復(fù)發(fā)事件，所以對(duì)多類型復(fù)發(fā)事件的統(tǒng)計(jì)建模和推斷具有更大的難度。

對(duì)復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的分析，研究者通常關(guān)心的是協(xié)變量對(duì)復(fù)發(fā)事件率的影響。多年來，學(xué)者已提出多種方法來分析復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)，包括強(qiáng)度模型[1]、脆弱模型和邊際均值(比率)模型[2，4]。經(jīng)過多年的發(fā)展，單類型復(fù)發(fā)事件的研究已經(jīng)比較成熟，但是多類型復(fù)發(fā)事件的研究卻有很大的空間。Abu-Libdeh和Turnbull考慮了有隨機(jī)和固定效應(yīng)的非齊次泊松過程，利用極大似然的方法對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[3]。然而，這些參數(shù)估計(jì)方法需要知道個(gè)體內(nèi)部潛在的相依結(jié)構(gòu)，這對(duì)于多類型復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)是很難做到的。因此，很多學(xué)者建立了半?yún)?shù)模型來處理多類型復(fù)發(fā)事件[5]。在半?yún)?shù)模型方面，已有的文獻(xiàn)主要研究的是加性比率模型[6-10]和乘性比率模型[11-12]。下面簡單介紹復(fù)發(fā)事件下幾個(gè)重要的半?yún)?shù)模型。

對(duì)于乘性比率模型Lin等提出了復(fù)發(fā)事件的半?yún)?shù)乘性比率模型[2]：

(1)

其中，β0是p維未知回歸參數(shù)向量，λ0(·)為未知基本比率函數(shù)。

對(duì)于加性比率模型，Schaubel等研究了復(fù)發(fā)事件的半?yún)?shù)可加比率模型[7]：

(2)

Liu提出復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)下可加轉(zhuǎn)移模型[13]：

(3)

其中，μ0(·)為未知基線均值率函數(shù)，β0是p維未知回歸參數(shù)向量，Q(t,x)為一個(gè)預(yù)先設(shè)定的非負(fù)連接函數(shù)，且滿足：對(duì)于任意x，Q(0，x)=0。

容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Q(t,x)=tx，且協(xié)變量Z(t)與時(shí)間無關(guān)時(shí)，模型(3)即：

孫曉娜提出了多類型復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)下的可加轉(zhuǎn)移模型[14]：

(4)

在實(shí)際應(yīng)用中，研究個(gè)體可能具有多個(gè)協(xié)變量的影響，有些協(xié)變量的影響是加性的，有些是乘性的，或者某些變量的影響既是加性的又是乘性的。如戴家佳和何穗提出了一類加性-乘性比率模型[4]：

(5)

其中，β0和γ0分別表示p1和p2維回歸系數(shù)向量，g(·)和h(·)為已知聯(lián)系函數(shù)。顯然，協(xié)變量Wik(t)對(duì)基線均值率函數(shù)具有加性的影響，而協(xié)變量Xik(t)具有乘性的影響。

Schbuael在文章復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)半?yún)?shù)可加比率模型中，假定協(xié)變量對(duì)未指定的基線均值率函數(shù)有一個(gè)加性的影響，并且這個(gè)影響隨著時(shí)間變化是線性的[7]。但是，在實(shí)際問題中，這種線性假定往往是不合理的[14]。例如：癌癥患者的治療過程中，塞替派對(duì)癌細(xì)胞的控制并不是線性的；商品的價(jià)格對(duì)顧客購買力的影響也不是線性的。因此，除了這種線性的假定，其他一些加性形式也是值得考慮的。所以，Liu等提出了另外一種更為一般的模型[13]：可加轉(zhuǎn)移模型，即模型(3)。模型中他們將協(xié)變量對(duì)基線均值率函數(shù)的加性影響用一個(gè)預(yù)先設(shè)定的非負(fù)連接函數(shù)來表示，且函數(shù)是關(guān)于時(shí)間和協(xié)變量的二元函數(shù)。這樣就可以根據(jù)己有的數(shù)據(jù)和想要得到參數(shù)的解釋為依據(jù)去選擇合理的連接函數(shù)。同時(shí)，本文用模型來表示協(xié)變量對(duì)復(fù)發(fā)事件的影響也更加的靈活和廣泛。

模型(4)不同于戴家佳和何穗提出的一類加性-乘性比率模型(5)[4]，因?yàn)樗话瑓f(xié)變量乘性的影響。事實(shí)上，在研究實(shí)際問題時(shí)，協(xié)變量的加性和乘性影響可能會(huì)同時(shí)存在。所以，結(jié)合模型(4)和(5)的思想，本文提出多類型復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)下一類半?yún)?shù)轉(zhuǎn)移模型。

二、模型和估計(jì)方法

設(shè)Wik(t)和Xik(t)分別表示p1和p2維協(xié)變量，Zik(t)=(Wik(t)′,Xik(t)′)′為p維協(xié)變量過程向量，其中p=p1+p2。我們提出的多類型復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)下一類半?yún)?shù)轉(zhuǎn)移模型具有以下形式：

(6)

其中，β0和α0分別表示p1和p2維未知回歸系數(shù)向量，μ0k(t)是未知基準(zhǔn)均值函數(shù)，gk(·)和Qk(t,x)是預(yù)先設(shè)定的非負(fù)連接函數(shù)。

當(dāng)gk(x)=1時(shí)，模型(6)即為模型(4)；當(dāng)Qk(t,x)=x時(shí)，模型(6)即為模型(5)?？梢?，本文提出的模型包含了一些重要的半?yún)?shù)模型。

如何選擇模型(6)中的連接函數(shù)主要基于對(duì)歷史數(shù)據(jù)和回歸系數(shù)的實(shí)際解釋來確定。下面，對(duì)模型中的未知參數(shù)向量和非參數(shù)函數(shù)給出估計(jì)方法。

在多類型復(fù)發(fā)事件下，可觀測的數(shù)據(jù)是：

{Nik(·)，Yik(·)，Wik(·)}(i=1，2，…；k=1，2，…，K)

定義如下過程：

對(duì)于給定的第k類事件與θ={α′，β′}′，μ0k(t)的一個(gè)自然估計(jì)是下列方程的解：

(7)

其中τ是一個(gè)預(yù)先設(shè)定的常數(shù)使得p(Ci≥τ)>0。

求解式(7)得到：

(8)

(9)

其中τk>0，Hnk(t)是[0,τk]上遞增的權(quán)函數(shù)。

將式(8)代入式(9)并做簡單的代數(shù)運(yùn)算可以得到：

(10)

其中

三、估計(jì)量的漸近性質(zhì)

(C1){Nik(·),Yik(·),Zik(·)},(i=1,2，…,n;k=1,2，…,K)獨(dú)立同分布，其中Zik(·)=(Wik(·)′,Xik(·)′)′。

(C2)P{Cik≥τk}>0,并且Zik(t)是一個(gè)有界變量。

(C4)Qk(t,x)關(guān)于t單調(diào)遞增，關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)遞增且關(guān)于x的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

(C6)A是非奇異矩陣，其中：

為了方便推導(dǎo)，本文給出以下標(biāo)記：

由于

所以

(11)

證明由泰勒展開式可得：

(12)

Γ(s,t)=E{ψik(s)ψik(t)}

用估計(jì)量代替未知量，可以得到協(xié)方差函數(shù)的一個(gè)相合估計(jì)為：

其中：

證明首先：

(13)

運(yùn)用泰勒展開式，式(13)右端第一項(xiàng)可以寫為：

(14)

由于

直接計(jì)算可得：

由式(12)可得：

(15)

因此，結(jié)合式(14)和(15)可得：

Mik(t;θ0)dHnk(t)+op(1)

(16)

另一方面可推導(dǎo)：

(17)

最后由式(13)～(17)可得

(18)

Γ(s,t)=E{ψik(s)ψik(t)}

四、結(jié) 論

本文在多類型復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)下提出了一類半?yún)?shù)轉(zhuǎn)移模型，模型不僅考慮了協(xié)變量的加性和乘性影響，同時(shí)假定加性影響是時(shí)間的函數(shù)。利用廣義估計(jì)方程的思想，對(duì)參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，并證明了估計(jì)量的相合性和漸近正態(tài)性。

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