李小艷　陳紹平

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院　武漢 湖北 430000)

0　引　言

隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度的提高和逆向工程的快速發(fā)展，從20世紀(jì)90年代中期起，B樣條曲線曲面擬合一直是CAGD領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，也是CAGD領(lǐng)域的經(jīng)典問題之一[1]。B樣條具有幾何變換不變性、局部支撐性、凸包性、變差縮減性等諸多優(yōu)良性質(zhì)，這使得它成為形狀數(shù)學(xué)描述的主流方法，并廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)可視化與逼近、醫(yī)學(xué)圖像輪廓重構(gòu)和幾何建模等領(lǐng)域[2]。

解決B樣條曲線曲面擬合問題的關(guān)鍵在于B樣條節(jié)點(diǎn)矢量和控制頂點(diǎn)的選取，合適的節(jié)點(diǎn)矢量與控制頂點(diǎn)能保證擬合曲線的光滑度和擬合效果。把節(jié)點(diǎn)矢量和控制頂點(diǎn)均視為變量時，擬合問題就變?yōu)橐粋€多維多變量高度非線性的最優(yōu)化問題。解決該問題的方法大致可以被分為三類：傳統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)插入和節(jié)點(diǎn)刪除方法、支配點(diǎn)和特征點(diǎn)方法以及人工智能算法。傳統(tǒng)的方法一般是將節(jié)點(diǎn)向量進(jìn)行固定，得到一個關(guān)于控制頂點(diǎn)的線性系統(tǒng)，但是這些方法并不能處理帶有不連續(xù)點(diǎn)、尖點(diǎn)和拐點(diǎn)的復(fù)雜型曲線。支配點(diǎn)和特征點(diǎn)方法是通過提取數(shù)據(jù)點(diǎn)的形狀信息(包括拐點(diǎn)、折痕點(diǎn)和曲率極值點(diǎn)等)用于節(jié)點(diǎn)的選擇，但是這些方法往往僅限于連續(xù)曲線。近年來，利用人工智能算法求解并優(yōu)化B樣條擬合問題受到諸多學(xué)者的關(guān)注。如Yoshimoto等[3]提出了一種實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法對平面曲線進(jìn)行擬合，該方法能自動的確定節(jié)點(diǎn)的數(shù)量和位置，不僅可以處理光滑的數(shù)據(jù)擬合問題，也可以處理帶尖點(diǎn)和不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)擬合問題；周明華等[4]采用遺傳算法同時對數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化和節(jié)點(diǎn)矢量進(jìn)行優(yōu)化，與傳統(tǒng)方法相比取得了較高的擬合效果；穆國旺等[5]提出一種改進(jìn)的遺傳算法，將誤差精度考慮在內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了在給定誤差下能使用最少的控制頂點(diǎn)進(jìn)行B樣條曲線擬合，但是該方法的運(yùn)算時間較長；Adi等[6]采用粒子群優(yōu)化(PSO)方法進(jìn)行NURBS曲線擬合，該方法將控制頂點(diǎn)作為待求解的變量，但是誤差比較大；Galvez等[7]利用PSO通過固定節(jié)點(diǎn)個數(shù)自適應(yīng)的確定節(jié)點(diǎn)的位置優(yōu)化擬合曲線；Ulker等[8]提出將人工免疫算法(AIS)應(yīng)用于求解B樣條曲線擬合問題上，得到較好的結(jié)果；Zhao等[9]在B樣條曲線逼近問題中采用了一種新穎的隨機(jī)優(yōu)化方法，利用高斯混合模型和聚類技術(shù)來實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)節(jié)點(diǎn)配置，但該方法僅對封閉曲線進(jìn)行了擬合實(shí)驗(yàn)。何兵朋等[10]對差分進(jìn)化算法的變異操作進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)出一種新的B樣條曲線擬合方法。近幾年，許多學(xué)者也不斷的對這些智能算法進(jìn)行改進(jìn)來改善B樣條擬合效果。如Trejo-Caballero G 等[11]設(shè)計(jì)出一種分層編碼方法，將節(jié)點(diǎn)與控制頂點(diǎn)分別進(jìn)行二進(jìn)制編碼和實(shí)數(shù)編碼，利用遺傳算法進(jìn)行擬合，得到了較好的擬合效果。

在文獻(xiàn)[13]中，他們對DE、PSO和EA在處理數(shù)值優(yōu)化問題時的表現(xiàn)進(jìn)行了評估，與其他方法相比，DE展示出了較高的優(yōu)越性。因此本文在諸多學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，將一種改進(jìn)的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法應(yīng)用于解決B樣條曲線曲面最小二乘擬合問題。此方法采用了DE/current-to-best/的變異策略和帶有隨機(jī)游走(Random Walk)的交叉操作，利用隨機(jī)游走的隨機(jī)機(jī)制彌補(bǔ)DE/current-to-best/容易早熟收斂的缺陷。同時為了跳出局部最優(yōu)解，利用混沌系統(tǒng)的隨機(jī)性與遍歷性設(shè)計(jì)出一個針對當(dāng)前種群最優(yōu)解的局部搜索操作，有效地平衡了DE的開發(fā)能力和探索能力。新的差分進(jìn)化算法在進(jìn)行B樣條曲線曲面擬合時能夠根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布特征配置內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位置，并在需要時產(chǎn)生多重節(jié)點(diǎn)。試驗(yàn)結(jié)果表示，與標(biāo)準(zhǔn)的差分進(jìn)化算法相比，用本文的方法得到的B樣條曲線曲面逼近精度更高。

1　B樣條曲線的最小二乘擬合

(1)

式中：j=0,1,…,M-1;xj=[a,b]，f(x)為采樣函數(shù)(對于散亂數(shù)據(jù)來說，f(x)是未知的)，ε為噪聲誤差，N為采樣數(shù)量，n為內(nèi)節(jié)點(diǎn)個數(shù)，[a,b]為擬合區(qū)間。k次B樣條目標(biāo)曲線為：

(2)

(3)

式中：pi(i=0,1,…,n+k)為控制頂點(diǎn)，Ni,k(x)(i=0,1,…,n+k)為由de-Boor遞推公式定義的k次B樣條基函數(shù)(本文選擇三次B樣條曲線)：

‖·‖是歐氏距離。端節(jié)點(diǎn)設(shè)置為k+1重節(jié)點(diǎn)：u0=u1=…=uk,un+k+1=un+k+2=…=un+2k+1對于一組固定的內(nèi)節(jié)點(diǎn)，采用標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘技術(shù)，欲使式(3)中的Q達(dá)到最小，應(yīng)使它關(guān)于n+k-1個控制頂點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，于是就得到了n+k-1個以pi(i=1,2,…,n+k-1)為未知量的線性方程組：

(NTN)P=NTR

(4)

這里N是(M-2)×(n+k-1)的標(biāo)量矩陣：

2　差分進(jìn)化算法原理

差分進(jìn)化算法DE(Differential Evolution)與其他遺傳類型算法相似，以迭代的方式對種群中個體進(jìn)行變異、交叉和選擇操作直到根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)找出最佳個體。標(biāo)準(zhǔn)的DE算法描述如下：

2.1　差分變異操作

變異就是指從當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇幾個個體得到差分矢量乘上變異系數(shù)作用于目標(biāo)個體對其產(chǎn)生擾動，生成變異個體。五種最常用的差分變異策略如下：

DE/current-to-best/:

(5)

2.2　交叉操作

式中：CR∈[0，1],rand1(0,1)為均勻分布的隨機(jī)數(shù)，jrand為介于1到D的隨機(jī)整數(shù)下標(biāo)索引，可以確保試驗(yàn)個體中至少有一個基因是由變異個體貢獻(xiàn)的。

2.3　選擇操作

DE根據(jù)個體的適應(yīng)度函數(shù)值對目標(biāo)個體和試驗(yàn)個體進(jìn)行貪婪選擇，以最小化問題為例，具體操作如下：

(6)

3　改進(jìn)差分進(jìn)化算法的B樣條擬合

(1) 差分變異操作。選擇式(5) DE/current-to-best/的變異策略，該策略具有局部搜索能力強(qiáng)，收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，但全局搜索能力較弱，容易陷入局部最優(yōu)?？s放因子F由下式?jīng)Q定：

(2) 交叉操作。算法早熟收斂是因?yàn)殡S著DE的進(jìn)化，種群中個體漸漸聚集，差異減小。為了避免局部最優(yōu)，本文借鑒文獻(xiàn)[19]中的帶有隨機(jī)游走的交叉操作，隨機(jī)游走是一個可以向任何方向前進(jìn)的、到達(dá)任何位置的無規(guī)則運(yùn)動，這種隨機(jī)性機(jī)制在用于DE搜索過程時可以增加種群的多樣性，有效避免早熟現(xiàn)象。交叉操作的表達(dá)式如下：

(7)

交叉概率CR和參數(shù)RW的表達(dá)式如下：

在DE中差分矢量縮放因子F和交叉概率CR對優(yōu)化性能有著重要的影響。Storn等[15]建議過參數(shù)的選取范圍應(yīng)為:F∈[0.5,1]、CR∈[0.8,1]，本文對參數(shù)的設(shè)置符合這個條件。

(3) 混沌局部搜索操作。設(shè)計(jì)出一種混沌局部搜索操作，在當(dāng)前最優(yōu)個體的鄰域范圍內(nèi)搜索更優(yōu)解，以跳出局部最優(yōu)。通過一維Logistic映射生成混沌序列，迭代公式如下：

Zi+1=μZi(1-Zi)i=0,1,2,…

(8)

(9)

式中：λ為局部搜索系數(shù)，針對不同的實(shí)例λ取不同的值。若在搜索結(jié)果中找到了優(yōu)于當(dāng)前代最優(yōu)個體的內(nèi)節(jié)點(diǎn)向量，則對其進(jìn)行取代。

(4) 適應(yīng)度函數(shù)。使用統(tǒng)計(jì)學(xué)中貝葉斯信息準(zhǔn)則BIC[23]作為適應(yīng)度函數(shù)，表達(dá)式為：

BIC=M×(lnQ)+(lnM)×(2n+k+1)

(10)

式中:M為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量，Q為由式(3)計(jì)算所得的殘差平方和，n+k+1代表控制頂點(diǎn)個數(shù)，n代表內(nèi)節(jié)點(diǎn)個數(shù)。適應(yīng)度函數(shù)值越小，代表找到的節(jié)點(diǎn)矢量越優(yōu)，擬合誤差越小。

在B樣條曲線擬合問題中，節(jié)點(diǎn)數(shù)量是變化的，控制頂點(diǎn)的個數(shù)也會隨之改變，如果控制頂點(diǎn)太少，無法還原出原數(shù)據(jù)點(diǎn)分布特征，擬合誤差就會增大；控制頂點(diǎn)太多，擬合曲線的光滑度會降低。因此如果只以殘差平方和Q為目標(biāo)函數(shù)，就會忽略模型復(fù)雜度和控制頂點(diǎn)個數(shù)對曲線幾何形狀的影響。選取BIC為適應(yīng)度函數(shù)，它的第一項(xiàng)能夠保證模型函數(shù)的精度，第二項(xiàng)添加了對模型函數(shù)自由參數(shù)個數(shù)的懲罰，通過精度與計(jì)算復(fù)雜度之間的平衡，獲得最優(yōu)的逼近模型。BIC的另一個優(yōu)勢在于它避免了使用主觀參數(shù)(如誤差界限和平滑因子)來判斷擬合模型。

基于該算法的三次B樣條曲線擬合流程如下：

輸出：最佳內(nèi)節(jié)點(diǎn)。

Step2利用式(8)求出種群中每個內(nèi)節(jié)點(diǎn)個體的適應(yīng)度值，獲得最優(yōu)個體及其對應(yīng)的適應(yīng)度值。

Step3判斷迭代是否達(dá)到Tmax，若是，退出，否則執(zhí)行下一步。

Step4對種群中個體根據(jù)式(5)和式(7)進(jìn)行變異和交叉操作。

Step5按照式(6)進(jìn)行選擇操作，生成新一代個體，令t=t+1。

Step6判斷種群是否陷入局部最優(yōu)，若是，則根據(jù)式(8)和式(9)進(jìn)行混沌局部搜索，更新種群中最優(yōu)個體。若否，返回Step2。

4　仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證本文算法在解決B樣條曲線曲面最小二乘擬合問題上的有效性，選擇5個測試函數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)分析。

4.1　曲線擬合

所有曲線擬合的試驗(yàn)中，采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)均由測試函數(shù)根據(jù)式(1)得到，噪聲誤差εj取均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正太分布隨機(jī)數(shù)。差分進(jìn)化算法的參數(shù)均設(shè)置為種群規(guī)模NP=100，最大迭代次數(shù)Tmax=200，由于本文實(shí)驗(yàn)擬合區(qū)間均為[0,1],局部搜索系數(shù)我們?nèi)≥^小的值λ=0.025。對于每一個測試函數(shù)我們都在取值范圍內(nèi)選取M=201個數(shù)據(jù)點(diǎn)，試驗(yàn)在同等條件下重復(fù)30次。

該函數(shù)是多峰值的分段函數(shù)，x=0.6是它的不連續(xù)點(diǎn)。

圖1(a)、圖2(a)、圖3(a)分別為本文算法對取自函數(shù)f1(x)、f2(x)、f3(x)的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)得到的BIC值與內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系，從圖中可以得到f1(x)、f2(x)、f3(x)對應(yīng)的最佳擬合內(nèi)節(jié)點(diǎn)個數(shù)分別為4、8、5。圖1-圖3中的(b)顯示了BIC值與殘差平方和Q的變化情況，實(shí)線表示適應(yīng)度BIC，虛線表示殘差平方和Q；圖1-圖3中的(c)分別繪出了例1-例3由最佳內(nèi)節(jié)點(diǎn)得到的最佳擬合效果圖，三角形標(biāo)出了最佳內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位置，×是擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)線是B樣條擬合曲線。

圖1　例1函數(shù)擬合結(jié)果

圖2　例2函數(shù)擬合結(jié)果

圖3　例3函數(shù)擬合結(jié)果

圖1(b)、圖2(b)、圖3(b)為本文算法對例1-例3進(jìn)行擬合過程中隨著迭代次數(shù)的增加，最佳個體的適應(yīng)度值和殘差平方和的變化曲線。從圖中可以看出，對于每一個測試函數(shù)，適應(yīng)度值基本都在在100代左右收斂，說明我們的算法收斂速度快且結(jié)果穩(wěn)定。圖1-圖3中(c)對應(yīng)例1-例3的擬合效果圖與文獻(xiàn)[3,10,12]中的擬合結(jié)果一致，并且擬合效果較好。必須說明的是對于三次B樣條曲線，如果某個內(nèi)節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度為4，就說明該三次B樣條曲線在該點(diǎn)處是不連續(xù)的，函數(shù)f2(x)的擬合結(jié)果就說明了這種情況。這表示本文的算法能夠根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布特征來自動分配節(jié)點(diǎn)位置，使擬合結(jié)果與數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布特征一致。三個擬合效果圖可以說明本文算法不僅能夠較好地擬合如例1這種在某點(diǎn)處發(fā)生突變的光滑曲線，也能夠處理例2、例3這種帶有間斷和尖點(diǎn)的情況。例2的函數(shù)圖像在x=0.6處發(fā)生間斷，我們的方法相應(yīng)的在該點(diǎn)處產(chǎn)生了四重節(jié)點(diǎn)，根據(jù)B樣條曲線的性質(zhì)，擬合曲線在x=0.6處也發(fā)生了間斷。

將傳統(tǒng)的帶五種不同變異操作的差分進(jìn)化算法分別與本文方法進(jìn)行比較。進(jìn)行30次試驗(yàn)，表1、表2給出的是在相同節(jié)點(diǎn)數(shù)量的情況下對應(yīng)于例1-例3的試驗(yàn)結(jié)果，總結(jié)的是30次試驗(yàn)的最小、最大以及平均的適應(yīng)度值(BIC)和殘差平方和(Q)。從表1、表2中可以看出，由本文方法找到的最佳節(jié)點(diǎn)矢量對應(yīng)的適應(yīng)度值(BIC)和殘差平方和(Q)都比傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法更小。這說明我們的方法在處理B樣條曲線最小二乘擬合時，擬合效果更好、擬合精度更高。

表1　傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法與本文算法的比較

表2　傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法與本文算法的比較

4.2　曲面擬合

將本文的算法延伸到曲面擬合問題上，以例4、例5為測試函數(shù)選取雙三次B樣條曲面進(jìn)行擬合數(shù)值試驗(yàn)。試驗(yàn)均將擬合區(qū)域0≤x≤1、0≤y≤1分別32等分，進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)的直接采樣(無噪聲)；算法參數(shù)均設(shè)置為NP=50、Tmax=200。取平均平方誤差MSE為適應(yīng)度函數(shù)，定義如下：

式中:S(x,y)為擬合曲面，f(x,y)為采樣函數(shù)。

式中:x,y∈[0,1]。該函數(shù)為帶尖點(diǎn)的曲面。

圖4-圖7分別為根據(jù)例4和例5函數(shù)解析式直接用Matlab繪制的圖形和用本文算法繪制擬合曲面圖形的對比圖。由圖可知，使用本文算法得到的雙三次B樣條擬合曲面幾乎能準(zhǔn)確構(gòu)造出采樣數(shù)據(jù)的原始圖像。多次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)顯示，對于測試函數(shù)4，大約迭代到第10～20次，平均平方誤差就已達(dá)到10-6，最終收斂到10-8，最佳內(nèi)節(jié)點(diǎn)個數(shù)為8×8。對于測試函數(shù)5，迭代到第10代左右，平均平方誤差達(dá)到10-9，最終收斂到10-12，最佳內(nèi)節(jié)點(diǎn)個數(shù)為5×5。這說明本文的算法收斂速度快，擬合精度高。

圖4　例4的根據(jù)函數(shù)解析式繪制的原圖

圖5　例4的本文算法的擬合效果圖

圖6　例5的根據(jù)函數(shù)解析式繪制的原圖

圖7　例5的本文算法的擬合效果圖

5　結(jié)　語

本文基于差分進(jìn)化算法在處理數(shù)值優(yōu)化問題時所表現(xiàn)出的收斂速度快、求解精度高的優(yōu)勢，將差分進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)，應(yīng)用于B樣條曲線曲面的最小二乘擬合問題。該方法選擇帶有隨機(jī)游走的交叉操作來克服DE/current-to-best易早熟收斂的缺點(diǎn)；并且設(shè)計(jì)出一種帶有混沌系統(tǒng)的局部搜索操作來跳出局部最優(yōu)解。將該方法與傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法進(jìn)行比較，試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及效果圖顯示，該方法在處理帶間斷和尖點(diǎn)的數(shù)據(jù)時能夠自適應(yīng)地確定節(jié)點(diǎn)的位置，并且與傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法相比在擬合誤差精度上也有顯著的提高。其不足之處有兩點(diǎn)：首先，本文方法并沒有完全自適應(yīng)地同時確定節(jié)點(diǎn)的數(shù)量與位置，這主要是受限于差分進(jìn)化算法的變異操作不允許我們將節(jié)點(diǎn)矢量設(shè)置為變長度的個體。其次，由于B樣條曲線和曲面不能精確地表示除拋物線外的二次曲線圓弧、和除拋物線面外的二次曲面，出于工業(yè)實(shí)際(特別是飛機(jī)外形的設(shè)計(jì))精確表示二次曲線弧和二次曲面的需要，因此需要我們進(jìn)一步研究有理B樣條的曲線曲面擬合問題。鑒于此，作者將進(jìn)一步研究差分進(jìn)化算法的改進(jìn)，解決B樣條曲線曲面最小二乘擬合問題，實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)數(shù)量和位置對不同實(shí)例的自適應(yīng)調(diào)整，并研究有理B樣條的曲線曲面擬合問題。

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