周北海

北京大學(xué)哲學(xué)系z(mì)houbh@phil.pku.edu.cn

張立英

中央財(cái)經(jīng)大學(xué)現(xiàn)代邏輯研究所clearliying@126.com

1 導(dǎo)言

含糊性（vagueness）是常見的語言現(xiàn)象。對(duì)此早在古希臘時(shí)代就提出了禿頭悖論。今天是邏輯學(xué)、語言學(xué)等多個(gè)學(xué)科關(guān)注的熱點(diǎn)問題。含糊性研究主要處理含糊表達(dá)如高、矮、貴、禿等的語義解釋、邊界例子的真值以及其所帶來的累積悖論等一系列問題。從1970年代前后起，關(guān)于含糊性的理論逐漸豐富起來，出現(xiàn)了模糊邏輯方向（[9,5]等）、超賦值理論（[2]等）、三值邏輯方向（[7]等）、認(rèn)知主義方案（[6,8]等）、以及情境主義（[4,3]等）、容忍度理論（[1]）等研究分支。與以往研究有所不同，[10]從認(rèn)知的角度提出了含糊類（vague class）的概念，并據(jù)此在一階擴(kuò)張語言中給出了刻畫含糊類的形式語言和形式語義，以及以此為基礎(chǔ)給出了禿頭悖論的一個(gè)消解方案。其中所提出的含糊的理論有兩個(gè)初始要素：樣本和不可分辨性。通過樣本和認(rèn)知主體關(guān)于樣本的不可分辨性，形象地看，可以得到一些以樣本為中心的團(tuán)（集合）。再取所有團(tuán)的并，于是得到了一個(gè)類，即含糊類。對(duì)此可以取所有團(tuán)的交得到含糊類的核。通過含糊類與其核的關(guān)系，還可以定義個(gè)體屬于某含糊類的含糊度以及整個(gè)含糊類的含糊度。含糊類可以通過樣本和不可分辨性（或相似性）確定含糊類的邊界，從而使得禿頭悖論中的歸納法推理有了上界，達(dá)到對(duì)這個(gè)悖論的消解。

上述含糊類及其相應(yīng)理論的提出主要是基于來自于禿頭這樣的含糊類的直觀。禿頭這種含糊類有兩個(gè)特點(diǎn)：(1)從n根頭發(fā)到n+1根頭發(fā)，一般看不出區(qū)別，這就是不可分辨性的來源。但是用在其他一些種類的含糊類上，比如個(gè)子，有時(shí)我們能夠看出兩個(gè)人身高有些差別，但是還是愿意將他們算作同類身高的人。這表明，在確定含糊類的過程中，不可分辨性過于嚴(yán)格。對(duì)此，可以用相似性來代替不可分辨性，從而使得含糊類的確定方法可以用于更廣泛的領(lǐng)域。1這個(gè)建議來自于王文方教授。在本文余下的論述中都將使用“相似性”。以某樣本和所有與之相似的個(gè)體形成的類稱為由該樣本得到的相似類。(2)禿頭會(huì)有一個(gè)底線，0根頭發(fā)。任何可以作為樣本的禿頭，都不會(huì)與0根頭發(fā)相距“太遠(yuǎn)”。更好的例子還有中等個(gè)子、圓臉等。形象地看，確定這些類的樣本會(huì)圍繞某個(gè)中心進(jìn)行，所以是收斂的。這樣的含糊類可以稱為樣本收斂型含糊類。但是對(duì)于高個(gè)、長(zhǎng)臉這樣的含糊類來說，沒有這個(gè)收斂的點(diǎn)。從普通的高個(gè)，比如用1.9米的某個(gè)高個(gè)A先生做樣本，到以姚明那樣的高個(gè)做樣本，中間有很大差距。而且還可以有更高的高個(gè)做樣本，上不封頂。形象地看，高個(gè)的樣本是發(fā)散的。這樣的含糊類可以稱為樣本發(fā)散型含糊類。樣本發(fā)散帶來的結(jié)果之一是導(dǎo)致了無核含糊類。

我們?cè)谥暗睦碚摚╗10]）中注意到了無核含糊類，但是所給出的主要還是關(guān)于有核含糊類的理論。對(duì)于無核含糊類或樣本發(fā)散型的含糊類來說，這個(gè)理論中的一些定義并不適用。所以，如何刻畫無核含糊類還需要新的理論。本文主要是以無核含糊類為原型，對(duì)于這樣的含糊類給出形式理論。

2 樣本發(fā)散型含糊類

基于樣本和相似性得到的含糊類大致可以陳述如下：設(shè)S是任意樣本集。對(duì)任意的a屬于S，令[a]是與a相似的個(gè)體形成的相似類（稱為團(tuán)）。于是有{[a]|a∈S}，即由S的樣本形成的團(tuán)的集合。令A(yù)=∪{[a]|a∈S}。A就是由S樣本形成的含糊類。對(duì)此還可以有∩{[a]|a∈S}，這是與所有樣本都相似的個(gè)體的集合，即A的核。如果∩{[a]|a∈S}?，則A是有核含糊類，否則，是無核含糊類。從樣本的角度看，所有樣本有共同的相似個(gè)體，是樣本收斂的含糊類，否則，是樣本發(fā)散的含糊類。

樣本發(fā)散含糊類的原型是高個(gè)、胖子等這樣的含糊類。其特點(diǎn)是，樣本之間可以有很大差異，從普通的高個(gè)到超級(jí)高個(gè)，甚至超超級(jí)高個(gè)，都可以是高個(gè)。這些高個(gè)之間可以有相當(dāng)大的差異，因此不存在對(duì)于所有高個(gè)樣本都相似的個(gè)體。

從直觀上看，一個(gè)個(gè)體是否屬于含糊類A有三種情況：(a)確定地是A；(b)確定地是非A（不是A）；(c)含糊地是A。情況(1)和(2)是兩極情況，(3)是中間情況（即通常所說的邊界情況）。對(duì)于有核含糊類來說，只需有A的全體和A的核就可以通過含糊類與核之間的差來定義中間情況。無核含糊類因?yàn)楹藶榭账詿o法通過這種方法定義中間情況。樣本和相似性是基于認(rèn)知的概念，通過樣本和與樣本的相似性是人們?cè)谡J(rèn)知含糊類時(shí)常用的方法，所以對(duì)于這個(gè)問題還是應(yīng)該在樣本和相似性的基礎(chǔ)上加以解決。

解決的辦法之一，是引入負(fù)樣本，并且將原來的樣本稱為正樣本，通過正樣本和負(fù)樣本共同作用，給出一個(gè)個(gè)體a是否屬于某含糊類A的三種情況的刻畫。這里的正樣本是確定為A的一些個(gè)體，負(fù)樣本是確定為非A的一些個(gè)體。例如，對(duì)于高個(gè)來說，可以選擇一些我們確定是高個(gè)的人作為樣本。相應(yīng)地，關(guān)于高個(gè)的負(fù)樣本，是那些在確定是非高個(gè)的人中選取的樣本。引入負(fù)樣本的根據(jù)是，在實(shí)際的認(rèn)知過程中，人們通常會(huì)通過正反兩個(gè)方面的對(duì)比來決定某個(gè)體是否屬于某個(gè)類。2作為理論討論，此時(shí)預(yù)設(shè)樣本是充足的，即對(duì)于同一主題下的任意個(gè)體，總有正樣本或樣本與之相似。

引入負(fù)樣本之后，關(guān)于個(gè)體a是否屬于含糊類A的三種情況可以理解為：對(duì)于a來說，如果有關(guān)于A的正樣本與之相似，并且沒有負(fù)樣本與之相似，那么a確定地是A。如果有關(guān)于A的負(fù)樣本與之相似，并且沒有正樣本與之相似，那么a確定地是非A。在此二者之間，如果有正樣本與之相似，且也有負(fù)樣本與之相似，那么a既不確定地是A，也不確定地是非A，這時(shí)a就是含糊地是A。

例如，設(shè)A是高個(gè)這個(gè)含糊類，a是某個(gè)人。對(duì)上述三種情況有：如果有高個(gè)的樣本與a相似且a不與任何非高個(gè)的樣本相似，那么a確定地是高個(gè)；如果有非高個(gè)的樣本與a相似且a不與任何高個(gè)的樣本相似，那么a確定地是非高個(gè)；如果既有某個(gè)高個(gè)的樣本與a相似，又有某個(gè)非高個(gè)的樣本與之相似，那么a是既不確定是高個(gè)也不確定是非高個(gè)，即a含糊地是高個(gè)。

通過負(fù)樣本的引入，可以給出(a)、(b)、(c)三種情況的嚴(yán)格表達(dá)，并且可以在此基礎(chǔ)上再定義有核含糊類和無核含糊類：設(shè)A=∪{[a]|a∈S}，A是一個(gè)以S為樣本集得到的含糊類。A是有核含糊類，當(dāng)且僅當(dāng)，A的核∩{[a]|a∈S}?。這表明通過負(fù)樣本的引入，可以得到更一般的含糊類定義。

負(fù)樣本的引入涉及到含糊類的補(bǔ)，如上面所說的“非A”。在語言表達(dá)上，負(fù)樣本涉及到負(fù)詞項(xiàng)。傳統(tǒng)邏輯通過“負(fù)概念”來討論與此相關(guān)的問題。傳統(tǒng)邏輯認(rèn)為，負(fù)概念總是相對(duì)于一個(gè)特定的范圍的（[11]，第31–32頁）。例如，“非高個(gè)”所相對(duì)的范圍是人，“非紅”所相對(duì)的范圍是顏色，“非機(jī)動(dòng)車”所相對(duì)的范圍是車輛。傳統(tǒng)邏輯的理論在這里仍然適用，但是術(shù)語可以換成負(fù)詞項(xiàng)，或負(fù)謂詞。因?yàn)樨?fù)謂詞的引入，原來相應(yīng)的謂詞，如“高個(gè)”等，可以稱為正謂詞。

這里需要對(duì)范圍做些特別說明。如果只是正謂詞，范圍的問題并不明顯。但是如果還出現(xiàn)負(fù)謂詞，那么這個(gè)范圍的作用就會(huì)顯現(xiàn)出來。例如，我們可以說“電腦不是機(jī)動(dòng)車”，但是不能說，“電腦是非機(jī)動(dòng)車”。這就是因?yàn)橛熊囕v這個(gè)范圍在起作用。這個(gè)范圍以后稱為關(guān)于負(fù)謂詞的論域。負(fù)謂詞都有相應(yīng)的論域，如“非機(jī)動(dòng)車”的論域是車輛，“非高個(gè)”的論域是人，如此等等。負(fù)謂詞帶有論域也可以說負(fù)謂詞是帶有論題的，因此這個(gè)范圍以下也稱為論題域，表達(dá)論題域的語詞稱為論題詞，如上例中的“人”，“顏色”和“車輛”。

負(fù)謂詞的論題域同時(shí)也是正謂詞的論題域。與“非機(jī)動(dòng)車”相應(yīng)的正謂詞是“機(jī)動(dòng)車”。車輛既是“非機(jī)動(dòng)車”的論題域，也是“機(jī)動(dòng)車”的論題域。在這個(gè)論題域中，機(jī)動(dòng)車和非機(jī)動(dòng)車形成矛盾關(guān)系（不可同真，不可同假）。就一般的論域來說，此二者是反對(duì)關(guān)系（可以同假，不可同真）。這也表明，“x不是P”和“x是非P”在一些情況下并不等值。一般地，從“x是非P”可以得出“x不是P”，但是反過來并不總是成立的，從“x不是P”不一定能得出“x是非P”?！皒不是P”（即“并非x是P”）是對(duì)“x是P”的否定，其中的“不”是命題聯(lián)結(jié)詞。“x是非P”中的“非”是對(duì)謂詞P的否定，得到的是負(fù)謂詞。

表達(dá)含糊類的謂詞稱為含糊謂詞。形象地看，含糊類是邊界不清晰的類，即存在一個(gè)模糊地帶，其中的個(gè)體既不確定地是A，也不確定地是非A。設(shè)A是任意的類，以下用～A表示A的補(bǔ)，(A,～A)表示A和非A的含糊地帶。于是，A是含糊類，當(dāng)且僅當(dāng)，(A,～A)?。反之，如果(A,～A)=?，則A稱為清晰類（如偶數(shù)就是清晰類，因?yàn)榕紨?shù)和非偶數(shù)之間不存在含糊地帶）。關(guān)于含糊類直觀上還應(yīng)該有下面的命題：

設(shè)A是一個(gè)類，P是表達(dá)A的謂詞，P～是相應(yīng)的負(fù)謂詞。此時(shí)P～表達(dá)的是A的補(bǔ)～A。如果A是含糊類，那么P就是含糊謂詞。根據(jù)(a)，因?yàn)锳是含糊類，所以～A也是含糊類，因此P～是含糊謂詞。如果還有表達(dá)(A,～A)的謂詞X，根據(jù)(b)，(A,～A)也是含糊類，所以X也是含糊謂詞。X是正謂詞和負(fù)謂詞之間的謂詞，可以稱為中間謂詞。

因?yàn)樨?fù)樣本的引入，在語言表達(dá)方面引入了負(fù)謂詞，因此也有了正謂詞，還有了中間謂詞和論題詞。這些都是在形式刻畫時(shí)需要考慮的詞類。以下將在一階語言的基礎(chǔ)上通過語言擴(kuò)張的方法，增加一些要素，給出含糊類的形式刻畫。

3 形式語言L?和語義

L?可以是任意一階語言的擴(kuò)張。先給出一階語言L。

語言L

符號(hào)：L的初始符號(hào)有可數(shù)多個(gè)個(gè)體變?cè)?、常?xiàng)符號(hào)和謂詞符號(hào)，有聯(lián)結(jié)詞?、→，量詞符號(hào)?，以及輔助符號(hào)(、)。被定義的符號(hào)有∧、∨、?、?，按通常定義。所有個(gè)體變?cè)募嫌涀鱒，常項(xiàng)符號(hào)集記作C，謂詞符號(hào)集記作P。

詞：(1)個(gè)體詞：個(gè)體變項(xiàng)和個(gè)體常項(xiàng)都是個(gè)體詞，分別用x,y,z和a,b,c等表示。個(gè)體詞又稱為項(xiàng)，用t（或加上下標(biāo)）表示；

(2)謂詞：任意謂詞符號(hào)都是一個(gè)謂詞，用P、Q等表示。

公式：φ ∶=t1≡ tn|Pt1···tn|?φ |φ → ψ |?xφ

語言L?L?是L的擴(kuò)張，列出增加部分。

符號(hào)：設(shè)Π是任意指標(biāo)集。對(duì)任意的P∈Π，有下列符號(hào)

詞：對(duì)任意的P∈Π，～～P稱為以P為論題的相似性等詞，和DP是一元謂詞，分別稱為正、負(fù)樣本謂詞和論題詞。

公式

可以看出，L公式都是L?公式，L?是L的擴(kuò)張。L和L?公式集分別記作F(L)和 F(L?)。

L?語義的結(jié)構(gòu)和模型

L?語義是L語義的擴(kuò)張。L語義即標(biāo)準(zhǔn)的一階語義，由結(jié)構(gòu)A=〈D,η〉、指派ρ（對(duì)變?cè)馁x值）、解釋?duì)? 〈A,ρ〉等這幾部分組成（參見[12]）。L公式t1=tn、Pt1···tn、?φ、φ→φ以及?xφ的解釋按通常定義。解釋也稱為模型。

L?中增加了表示含糊謂詞的指標(biāo)集Π，以及對(duì)任意的P∈Π，有相似性等詞P，和新的謂詞及相應(yīng)的公式。下面考慮對(duì)于這幾種語言表達(dá)式的解釋。這需要對(duì)于原來的語義增加新的要素。

定義3.1(L?結(jié)構(gòu)) 一個(gè)L?結(jié)構(gòu)是一個(gè)L結(jié)構(gòu)的擴(kuò)張，記作A?=〈D,T,δ,θ,ξ,{≈τ|τ∈ T},η?〉，其中

(1)D是任意非空集，稱為個(gè)體域；

(3)δ是T到?(D)的映射（對(duì)任意的τ∈T，δ(τ)?D，即δ對(duì)任意的主題τ指定一個(gè)論題域）；

(4)θ是樣本選擇函數(shù)，對(duì)每個(gè)主題τ，選擇一個(gè)正樣本集θ+(τ)和一個(gè)負(fù)樣本集 θ?(τ)，滿足條件：θ+(τ)∪ θ?(τ)? δτ，θ+(τ)∩ θ?(τ)= ?；

(5)ξ∶Π →T（對(duì)任意的P∈Π，ξ(P)=τ∈T，即ξ將指標(biāo)P解釋為主題τ，也可以理解為，對(duì)每個(gè)謂詞都賦予一個(gè)主題）；

(6)對(duì)任意的τ∈T，≈τ是δ(τ)上的自返、對(duì)稱關(guān)系，滿足條件：如果d∈δ(τ)且d ≈τd′則 d′∈ δ(τ)（δ(τ)對(duì)相似性封閉）；不存在 d ∈ θ+(τ)且 d′∈ θ?(τ)，使得d≈τd′（正樣本和負(fù)樣本之間沒有≈τ關(guān)系）。

(7)η?是η的擴(kuò)張。對(duì)任意的L常項(xiàng)和謂詞X，η?的解釋與η的解釋相同，即

η?(X)=η(X)。對(duì)于L?增加的謂詞的解釋為

定義3.2(L?模型) 設(shè)A?= 〈D,η,T,δ,θ,ξ,{≈τ|τ∈ T}〉是任一L?結(jié)構(gòu)，ρ是對(duì)于變?cè)闹概桑ò碙語義對(duì)于指派的定義）。一個(gè)L?的解釋也稱為一個(gè)L?模型，記做 σ = 〈A?,ρ〉，或 σ = 〈D,T,δ,θ,ξ,{≈τ|τ∈ T},η?,ρ〉。

約定tσ=η?(t)，如果t是常項(xiàng)；tσ=ρ(t)，如果t是變項(xiàng)。

定義3.3(L?公式的賦值定義) 設(shè)σ是任意模型。

(1) σ(DPt)=1，當(dāng)且僅當(dāng)，tσ∈ η?(DP)；

(3) σ(t ～～Pt′)=1，當(dāng)且僅當(dāng)，〈tσ,t′σ〉∈ η?(～～P)（又記作 tσ≈ξ(P)t′σ）；

(4)如果φ是形如t1≡tn、Pt1···tn、?φ、φ→ψ或?xφ的公式，則σ(φ)按L語義的賦值定義。

定義3.4(真和有效) 設(shè)σ是任意L?模型，φ是任意L?公式。φ在σ中是真的，當(dāng)且僅當(dāng)，σ(φ)=1；φ是L?可滿足的（簡(jiǎn)稱可滿足），當(dāng)且僅當(dāng)，存在L?模型φ在其中是真的；φ是L?有效的（簡(jiǎn)稱有效），當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意L?模型φ都在其中為真。

命題3.1下列公式是有效的。

按通常方法易證，證明從略。

設(shè) A?= 〈D,T,δ,θ,ξ,{≈τ|τ∈ T},η?〉是任意 L?結(jié)構(gòu)。可以看出，如果 η?是η的擴(kuò)張，那么可以得到，A=〈D,η〉是一個(gè)L結(jié)構(gòu)，A?是A的擴(kuò)張。在L?語義中，關(guān)于變?cè)?、?lián)結(jié)詞和量詞的解釋都與L語義相同，所以L?比L實(shí)際上只是多了新增謂詞的解釋，這表明L?語義也還是一階語義。

4 形式結(jié)果與直觀意義

L?是在一階語言的基礎(chǔ)上通過增加新的符號(hào)和公式得到的用于刻畫含糊類的語言。增加的符號(hào)有，指標(biāo)集Π，其中的元素是用于表達(dá)含糊類的符號(hào)。對(duì)任意的P∈Π，L?增加了謂詞符號(hào)用于表達(dá)以P為主題的相似關(guān)系。兩個(gè)個(gè)體在不同的主題下可以有不同的相似關(guān)系。如張三和李四在身高方面相似，但是在體型上不相似，所以對(duì)于不同的主題有不同的相似關(guān)系。分別表示以P為主題的正樣本和負(fù)樣本集。DP表示以P為主題的論域（論題域）。在L?中可以通過定義得到下面的公式。

定義4.1對(duì)任意P∈Π，

P+?x表示的是，存在關(guān)于P的正樣本，x與之相似。P??x表示的是，存在關(guān)于P的負(fù)樣本，x與之相似。P+?x和P??x是兩個(gè)最基本的公式，也是最弱意義的x是P。其他四個(gè)公式，都由這兩個(gè)公式定義得到。

由以上定義得到三種公式P+?x、sP+x和P?+x可以說都是某種意義的“x是P”。其中哪一種與我們直觀上的“x是P”最吻合？比如，設(shè)P為胖子，當(dāng)我們說“x是胖子”時(shí)，所說的更應(yīng)該是哪一種公式？

P+?x：有胖子的樣本，x與之相似。這是最弱也是最寬泛意義的胖子，是所有胖子都有的底線意義，包括下面的“疑似”胖子。

P?x：有胖子的樣本，x與之相似，也有非胖子的樣本，x與之相似。這時(shí)x含糊地是胖子，或x是“疑似”胖子。

sP+x：有胖子的樣本，x與之相似，且沒有非胖子的樣本，x與之相似。這是確定的胖子，包括任意的超級(jí)胖子，但不包括疑似胖子。

P+?x是所有胖子都有的底線意義。在此基礎(chǔ)上可以有兩種情況：或者有負(fù)樣本x與之相似，得到P?x，或者沒有負(fù)樣本x與之相似，得到sP+x。

對(duì)此我們的直觀是，通常情況下P+?x一般不單獨(dú)使用，而會(huì)在這個(gè)基礎(chǔ)上，再看負(fù)樣本如何。如果有負(fù)樣本與之相似，就是疑似胖子，否則是比較確定的胖子。就這兩種情況來說，人們一般不會(huì)將疑似胖子稱為“胖子”。平時(shí)說“x是胖子”時(shí)，相對(duì)來說還是比較確定的，不包括疑似胖子。如果x是疑似胖子，人們一般會(huì)說“x有點(diǎn)胖”，而不說他是胖子。這里還會(huì)有一些細(xì)節(jié)。比如，當(dāng)人們看某個(gè)個(gè)體x是不是胖子時(shí)，會(huì)與心目中的樣本比較。當(dāng)x與更多或更典型的正樣本相似，而較少與負(fù)樣本相似（不是完全沒有與之相似的負(fù)樣本），人們也會(huì)說“x是胖子”。詳細(xì)地研究這個(gè)問題，給出更精確的標(biāo)準(zhǔn)，可能需要心理學(xué)方面的實(shí)驗(yàn)。就當(dāng)下處理說，如果只是考慮三種情況，兩種極端情況和中間情況，可以將“x是胖子”理解為有胖子的正樣本與之相似且沒有負(fù)樣本與之相似的個(gè)體。

類似地，關(guān)于“x是非P”，也有三種公式P??x、sP?x和P?～x3P?～x的意思是，有非胖子的樣本，x與之相似，也有胖子的樣本，x與之相似。這時(shí)可以說，x含糊地是非胖子。直觀上看，對(duì)同一個(gè)人，如果我們比較含糊地說他是非胖子（即不是很確定他不是胖子），那么說他是胖子也會(huì)含糊，而且反之亦然。所以P?～x和P?x是等價(jià)的。。直觀上的“x是非胖子”應(yīng)該是sP?x。

綜上，可以將sP+x和sP?x進(jìn)一步簡(jiǎn)化，通過定義引入下面的L?公式。

定義4.2

Px ∶=P+?x ∧ ?P??x

P～x ∶=P??x∧ ?P+?x

該定義中Px即sP+x，也就是直觀上的“x是P”。類似地，P～x即sP?x，是直觀上“x是非P”。

命題4.1以下公式(1)–(3)是有效的，(4)–(7)不是有效的。

(1)Px→?P～x

(2)P～x→?Px

(3)P?x ? P?～x

(4)?P～x→Px

(5)?Px→P～x

(6)Px??P～x

(7)P～x??Px

證明:(1)和(2)按公式定義分別為

是重言式。(3)由定義可得。(4)和(5)按公式定義分別為

對(duì)此容易得到模型使之為假。如果(6)和(7)有效則分別有(4)和(5)有效。 □

在L?語義中，Px和?Px是矛盾關(guān)系（不可同真，不可同假），但Px與P～x有所不同。從(1)–(2)和(4)–(5)可以看出，Px和P～x不可同真，但是可以同假，這是反對(duì)關(guān)系，不是矛盾關(guān)系。這也表明?Px與P～x不等值。用于胖子的例子，“x不是胖子”和“x是非胖子”并不等值。通常人們會(huì)將“x不是胖子”和“x是非胖子”看成等值關(guān)系，二者可以互推，這是因?yàn)橛姓撚虻淖饔?，默認(rèn)了是在人這個(gè)論域中用這兩個(gè)表達(dá)式。否則，即超出了這個(gè)論域，便不能從前者推出后者。(3)表明，“x含糊地是P”和“x含糊地是非P”，此二者是等值的。

命題4.2下列公式是有效的。

(1)Px→P+?x（例：胖子都有正樣本與之相似。）

(2)P～x→P??x（例：非胖子都有負(fù)樣本與之相似。）

(3)P?x→?Px（例：如果x含糊地是胖子，那么他還不是胖子。）

(4)P?x→?P～x（例：如果x含糊地是胖子，那么他不是非胖子。）

(5)Px→?P?x（例：如果x是胖子，那么并非他含糊地是胖子。）

(6)P～x→?P?x（例：如果x是非胖子，那么并非他含糊地是胖子。）

證明從略。

這些公式表達(dá)了正謂詞和負(fù)謂詞以及中間謂詞之間的關(guān)系。

命題4.3下列公式是有效的。

(1)Px→DPx

(2)P～x→DPx

(3)?DPx→P～x

(4)?DPx→?Px

(5)Px?P+?x∧?P??x∧DPx

(6)P～x?P??x∧?P+?x∧DPx

(7)?Px??P+?x∨P??x∨?DPx

(8)?P～x??P??x∨P+?x∨?DPx

(9)DPx→(Px??P～x)

根據(jù)公式的定義和語義定義易證，證明從略。

命題3.1與命題4.3一起，主要表現(xiàn)了樣本、正謂詞、負(fù)謂詞和論題域之間的關(guān)系，也表現(xiàn)了論題域在刻畫含糊類中的作用。

命題3.1(1)–(4)是關(guān)于樣本和論題域關(guān)系的公式。這些公式表明的是，關(guān)于某論題的正樣本、負(fù)樣本都在其論題域之中，反之，不在論題域之中的個(gè)體不能成為樣本，不論是正樣本還是負(fù)樣本。

命題4.3(1)–(4)是關(guān)于正謂詞和負(fù)謂詞的與論題域關(guān)系的公式。這些公式表明，是P的那些個(gè)體和是非P的那些個(gè)體都在論題域之中。

根據(jù)定義4.2和命題4.3(5)–(8)可以得到下面的有效公式：

(a)和(b)表明，有無DPx是等值的，這體現(xiàn)了論題域是“隱藏”在背后的這種與正謂詞和負(fù)謂詞的關(guān)系和作用。(c)和(d)表明，如果x不在論題域中，那么Px和P～x都為假。命題4.3(9)表達(dá)的是，如果限于論題域，Px和P～x是矛盾的。正謂詞和負(fù)謂詞的關(guān)系實(shí)際上是正謂詞、負(fù)謂詞以及論題詞三者之間的關(guān)系。這些公式對(duì)此給出了合理的表達(dá)。

L?是在L的基礎(chǔ)上增加了相似性等詞、正負(fù)樣本謂詞和論題詞得到的語言，在其中可以通過定義得到表達(dá)含糊類的正謂詞、負(fù)謂詞、中間謂詞以及相應(yīng)的公式。從上面對(duì)于L?語義得到的形式結(jié)果的解釋看，L?及其語義對(duì)此給出了與直觀相吻合的刻畫。

5 結(jié)語

對(duì)于含糊性問題有多種研究方法和途經(jīng)。含糊類是基于樣本和相似性得到的類。樣本和相似性是基于認(rèn)知的概念，通過樣本和與樣本的相似性處理含糊對(duì)象是人們?cè)诿鎸?duì)含糊性時(shí)常用的方法。所以，基于樣本和相似性理解提出含糊類及其開展相應(yīng)的研究是認(rèn)知主義研究進(jìn)路。

從樣本和相似性的角度看，含糊類有樣本收斂和樣本發(fā)散兩大類型，后者應(yīng)該更為普遍。樣本收斂的含糊類也是有核含糊類，可以通過核來處理邊界情況。但是因?yàn)闃颖景l(fā)散含糊類同時(shí)也是無核含糊類，所以這個(gè)方法不適用于樣本發(fā)散含糊類。從人們對(duì)于含糊對(duì)象的實(shí)際處理看，除了用正面的樣本外，還會(huì)用到反面的樣本。將這個(gè)過程加以抽象，我們提出了負(fù)樣本以及由正樣本和負(fù)樣本共同處理邊界情況的方案。由此得到的含糊類理論更具一般性。在此基礎(chǔ)上不僅可以處理樣本發(fā)散含糊類，也可以處理樣本收斂含糊類。

對(duì)基于正負(fù)樣本的含糊類理論的形式刻畫是本文要解決的主要問題。對(duì)此本文在一階語言的基礎(chǔ)上通過增加正樣本謂詞、負(fù)樣本謂詞和論題詞給出了語言L?及其語義。在L?中可以進(jìn)一步定義正謂詞、負(fù)謂詞以及中間謂詞，通過這些表達(dá)式可以對(duì)于含糊對(duì)象及其性質(zhì)給出相應(yīng)的刻畫。

形式刻畫的意義是可以使用形式方法對(duì)含糊類問題進(jìn)行更精確的討論，進(jìn)而可以將問題研究引向深入，比如討論關(guān)于含糊性語句的真值問題，高階含糊性問題等。在認(rèn)知主義的框架下，基于正負(fù)樣本的含糊類理論及其形式刻畫對(duì)于這些問題的解決提供了新的基礎(chǔ)，將有可能得到新的理論。

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