胡建軍

(1.北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083；2.北京礦冶科技集團有限公司，北京 100160)

金屬礦床是經(jīng)過一系列長期復(fù)雜的地質(zhì)運動與作用而形成的，其空間分布特點表現(xiàn)為雜亂而無序，品位分布也呈現(xiàn)不確定性[1-2]。礦山開采根據(jù)礦體賦存情況而進行設(shè)計，開采后遺留采空區(qū)與礦體分布有相似的空間形態(tài)，加之開采過程中受到構(gòu)造、地應(yīng)力、爆破震動等多重作用，其形態(tài)表現(xiàn)更為不確定性及非線性。三維激光掃描技術(shù)在采空區(qū)探測中的應(yīng)用[3-5]，使得采空區(qū)形態(tài)的可視化和精確測量得以實現(xiàn)，從而利用非線性手段研究采空區(qū)形態(tài)也變?yōu)榭赡?，用非線性的理論方法深入研究釆空區(qū)空間特征及邊界特性，也必然是未來發(fā)展的趨勢[6-8]。

分形理論由B.B.Mandelbrot等第一次提出[9]，之后得到了快速發(fā)展，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是分形幾何學(xué)，即由分形幾何衍生出分形信息、分形設(shè)計、分形藝術(shù)等應(yīng)用。在巖體地質(zhì)、孔洞等方面，分形理論被廣泛應(yīng)用于對巖溶管道(洞穴)形態(tài)的數(shù)學(xué)描述、分形計算以及機理特征研究[10-12]，有學(xué)者將分形理論運用于對鐵路的巖溶洞穴預(yù)報[13]，但對于礦山采空區(qū)形態(tài)分形特征研究方面較為少見，不同于巖溶等地下孔洞的三維形狀分形特點，礦山采空區(qū)為人為擾動形成，受礦體特征、爆破震動、采掘計劃等影響較大，其不規(guī)則程度主要表現(xiàn)在其邊界曲面上。De wijs[14]首次利用分形理論研究了礦體品位分布，并證明了礦體品位的空間分布具有分形特征，礦山開采過程對于礦床來說屬于局部作用過程，即礦山開采形成的采空區(qū)，其分布及形態(tài)與礦體品位的空間分布應(yīng)具有一定相關(guān)性。

1　計盒維數(shù)

在眾多計算分形維數(shù)方法中，計盒維數(shù)概念比較清晰，計算相對簡單明了，從而得到了廣泛的應(yīng)用[15-16]。該方法用邊長或半徑為r的正方形網(wǎng)格、立方體、圓形或球體對研究對象逐次進行柵格化處理，得到一系列不同網(wǎng)格邊長r對應(yīng)的非空格子數(shù)量N(r)，繪制N(r)與r的雙對數(shù)散點圖并進行擬合，若其具有明顯的線性特征，即無標度特性，說明具有分形特征。由分形定義可知[17]：N(r)=Ar-D，兩邊取對數(shù)變換，得：lnN(r)=lnA-Dlnr，線性擬合的直線斜率絕對值即為分維值。

2　單采空區(qū)分形特性

為了揭示研究方法的適用性以及采空區(qū)分形特征的普遍性，本研究選取不同礦山的四個采空區(qū)進行平行對比研究，以求發(fā)現(xiàn)采空區(qū)分形的共性特征和普遍性特點。為描述問題方便，四個采空區(qū)分別用簡寫代號SZY、LM、JM、WF代替，各采空區(qū)均借助BLSS-PE礦用三維激光掃描系統(tǒng)[18]進行精確探測，獲得采空區(qū)實體圖，并對實體模型進行切剖面處理，每個采空區(qū)選擇4個具有代表性的剖面，如圖1所示。

對于一維邊界線及二維平面，首先采用邊長為r的正方形網(wǎng)格進行覆蓋，隨后以1/2倍的比例逐次縮小網(wǎng)格尺寸，得到一系列對應(yīng)的r和Nn(r)，繪制lnNn(r)～lnr散點圖，并進行線性擬合得出線段的斜率，其絕對值即為盒維數(shù)D。而對于三維空區(qū)邊界曲面及三維空間體，則可采用邊長為r的三維立方體進行覆蓋，使用上述方法計算其盒維數(shù)D。

2.1　一維邊界線分形特性

以剖面SZY-4邊界線為例，根據(jù)盒維數(shù)計算原理，首先選擇r=10 m的正方形網(wǎng)格進行覆蓋，可得此時N1(10)=12；然后r=5 m，得N2(5)=21；同理可得N3(2.5)=43，N4(1.25)=89，對應(yīng)的網(wǎng)格覆蓋圖如圖2所示，圖2中陰影部分為有效盒子數(shù)。

以lnr為橫坐標，lnNn(r)為縱坐標繪制散點圖，對應(yīng)的關(guān)系曲線如圖3所示，擬合直線的斜率的同理求得四個采空區(qū)各剖面邊界線的相關(guān)系數(shù)及計盒維數(shù)如表1所示。對比分維值計算情況，各剖面邊界線lnNn(r)～lnr曲線線性擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.992～1.000，均高度線性相關(guān)，即存在分形特征；另外，可以看出邊界起伏程度較大的邊界線，其盒維數(shù)值也較大，非線性程度也大。從而，計盒維數(shù)可作為采空區(qū)邊界線復(fù)雜程度的定量指標。

圖1　各采空區(qū)實體圖及剖面位置

圖2　剖面SZY-4邊界線網(wǎng)格覆蓋計算圖

絕對值0.9404即為盒維數(shù)值D，同時可求得線性相關(guān)系數(shù)R2=0.9978。

圖3　剖面SZY-4邊界線lnNn(r)～lnr關(guān)系曲線

表1　各采空區(qū)剖面邊界線分維值

剖面名稱SYZ-1SYZ-2SYZ-3SYZ-4LM-1LM-2LM-3LM-4JM-1JM-2JM-3JM-4WF-1WF-2WF-3WF-4網(wǎng)格數(shù)/個r=10m19201044448755891194r=5m363521669918141212141926196r=2.5m101864512131717343326203436524112r=1.25m24516794222839387071575175781218222相關(guān)系數(shù)R20.9920.9931.0000.9980.9900.9820.9980.9980.9980.9990.9990.9890.9920.9990.9981.000計盒維數(shù)D1.2551.0481.0800.9400.8380.9541.0771.0661.0311.1261.1651.0791.0971.0271.1381.067

2.2　二維平面分形特性

一維邊界線分維值可有效表達空區(qū)剖面邊界的復(fù)雜程度，但其不能全面反映二維平面的復(fù)雜程度，本節(jié)擬在邊界線分析的基礎(chǔ)上，考慮剖面內(nèi)部包含屬性，利用計盒維數(shù)分析剖切平面區(qū)域的二維分形特性，仍然采用網(wǎng)格覆蓋法進行分維值計算，在邊界線網(wǎng)格覆蓋的基礎(chǔ)上，將邊界內(nèi)部包含網(wǎng)格也計算在內(nèi)，得到新的網(wǎng)格數(shù)，重新計算計盒維數(shù)。

仍以SZY-4剖面為例，其網(wǎng)格覆蓋圖盒子數(shù)分別為N1(10)=13，N2(5)=32，N3(2.5)=104，N4(1.25)=353，對應(yīng)的網(wǎng)格覆蓋圖見圖4。

圖4　剖面SZY-4區(qū)域網(wǎng)格覆蓋計算圖

2.3　采空區(qū)三維分形特性

常規(guī)礦山空場法開采，空區(qū)頂板及邊界面是典型的非線性空間曲面，無法用常規(guī)的幾何理論進行定量描述。前述研究表明，單個采空區(qū)任何一個剖面的邊界線和平面區(qū)域都具有分形特性，本部分擬針對采空區(qū)三維邊界曲面和三維空區(qū)體的分形特性開展研究，揭示其內(nèi)在特點。

2.3.1三維邊界面分形特性

四個采空區(qū)三維界面曲面的計盒維數(shù)計算結(jié)果見表3，可以看出線性擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.999～1.000，其線性相關(guān)度均極強，即各空間邊界曲面存在非常好的分形特征；另外，可以看出邊界曲面的盒維數(shù)值均大于平面或邊界線，其邊界復(fù)雜程度更為綜合、明顯。

2.3.2空區(qū)體三維分形特性

三維邊界曲面的分維值計算，很好的表達了采空區(qū)邊界曲面的分形特性，但其未包含空區(qū)內(nèi)部空間的屬性。將三維邊界曲面覆蓋立方體與內(nèi)部空間立方體數(shù)相加，重新計算得到空區(qū)體計盒維數(shù)。四個采空區(qū)整體的計盒維數(shù)計算情況如表4所示，線性擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.994～0.998，表明其具有線性相關(guān)性，即各采空區(qū)空間體也存在很好的分形特征。

表2　各采空區(qū)剖面分維值

表3　各采空區(qū)三維邊界面分維值

表4　各采空區(qū)三維體分維值

3　某鎢礦采空區(qū)群頂板分形特征

前述各礦山單個采空區(qū)的一維邊界線、二維平面區(qū)域、三維邊界曲面、三維空區(qū)體都具有很好的分形特征，然而，采礦現(xiàn)實中，采空區(qū)大多以空區(qū)群形式存在，尤其全面法開采后留下的采空區(qū)，其礦柱視頂板情況、開采環(huán)境預(yù)留，大小不一，各空區(qū)相互貫通，形態(tài)十分復(fù)雜。采空區(qū)群的空間復(fù)雜賦存分布，各采空區(qū)共同作用下形成了復(fù)雜的頂板形態(tài)，研究頂板的形態(tài)可以表征采空區(qū)群的邊界特征。本研究以某鎢礦空區(qū)群為例，在三維激光精細掃描的基礎(chǔ)上，將單采空區(qū)分維值計算方法拓展至采空區(qū)群頂板分維值計算，研究其頂板三維曲面的分形特征。

圖5　某鎢礦采空區(qū)群頂板所選剖面位置

表5　某鎢礦采空區(qū)群頂板各剖面分維值

剖面名稱XLS-1XLS-2XLS-3XLS-4XLS-5XLS-6XLS-7XLS-8網(wǎng)格數(shù)/個r=20m1214131315242015r=10m2227242631434027r=5m4554494667898450r=2.5m10011210289139181160106相關(guān)系數(shù)R20.9960.9990.9980.9991.0000.9980.9990.997計盒維數(shù)D1.0211.0000.9950.9151.0750.9791.0070.935

圖6　采空區(qū)群頂板曲面lnNn(r)～lnr關(guān)系曲線

同樣，為便于研究，將采空區(qū)頂板進行剖切面處理，圖5為某鎢礦采空區(qū)群頂板所選剖面位置，各剖面分維值計算情況見表5，可以看出各剖面具有明顯的分形特征。

進一步計算整個采空區(qū)群頂板的三維曲面計盒維數(shù)，并繪制頂板曲面lnNn(r)～lnr曲線圖如圖6所示，可以看出線性擬合相關(guān)系數(shù)R2=1，表明其具有極強線性相關(guān)性，即采空區(qū)群頂板曲面存在很好的分形特征。

4　結(jié)　論

1) 通過四個不同礦山單采空區(qū)的一維、二維、三維空間分形特征研究可知，采空區(qū)形狀在各維度上均具有良好的分形特性，自相似性程度很高，計盒維數(shù)的大小與其復(fù)雜程度有密切關(guān)系。將該方法拓展至采空區(qū)群分析，結(jié)果表明采空區(qū)群頂板三維曲面形狀也具有明顯的分形特征。

2) 分維值是反映采空區(qū)復(fù)雜程度的定量參數(shù)，其為復(fù)雜采空區(qū)研究提供了一種新的方法，在采空區(qū)形狀預(yù)測、采空區(qū)圍巖質(zhì)量分級、穩(wěn)定性評價等方面具有廣闊的應(yīng)用前景，但由于采空區(qū)本身的復(fù)雜性、隨機性，所提出的采空區(qū)分形特征普遍性尚有待大量工程實踐驗證，并進一步拓展研究深度和廣度。

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