嚴(yán)謹(jǐn) 程時(shí)清 鄭榮臣 王樹平 史文洋 張郁哲 李鼎一

1.中國石化石油勘探開發(fā)研究院；2.中國石油大學(xué)（北京）油氣資源與探測國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；3.中國石油大學(xué)（北京）

致密氣藏儲層致密，孔隙度和滲透率低，氣井不能自然建產(chǎn)，需要水力壓裂改善近井地帶滲透能力。為了評價(jià)壓裂效果、預(yù)測氣井產(chǎn)量，開展壓裂井的產(chǎn)量遞減分析顯得至關(guān)重要。

目前常用的氣井產(chǎn)量遞減分析方法主要有Arps產(chǎn)量遞減分析以及現(xiàn)代遞減分析方法。1945年，Arps［1］首先提出了傳統(tǒng)的Arps遞減曲線分析方法。隨后Fetkovich［2］建立了一套類似于試井分析的雙對數(shù)產(chǎn)量遞減曲線圖版擬合分析方法。90年代中期，Blasingame［3］引入了規(guī)整化產(chǎn)量和物質(zhì)平衡擬時(shí)間來解決變井底流壓問題。1998年，Agarwal［4］在Blasingame遞減方法的基礎(chǔ)上，利用不穩(wěn)定試井分析無量綱參數(shù)來降低多解性。2002年，Pratikno等［5］通過圖版擬合來確定壓裂井裂縫與地層參數(shù)，預(yù)測產(chǎn)量變化。2011年，焦春艷等［6］建立了考慮人工裂縫長期導(dǎo)流能力變化的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)值模擬方法研究了模型的產(chǎn)量遞減規(guī)律。2013年，郭建春等［7］將裂縫水平剖面假設(shè)為楔形，基于壓降疊加原理和直接邊界元法建立了擬穩(wěn)定狀態(tài)下楔形垂直裂縫壓裂井產(chǎn)量預(yù)測模型。2016年，Huang等［8-9］針對這種裂縫部分閉合的現(xiàn)象提出了裂縫分段產(chǎn)液的試井模型，用裂縫流量的不均勻分布來描述壓裂縫不均勻閉合特征。2017年，He［10-12］建立了多段壓裂水平井不均勻產(chǎn)油試井模型，并提出了較詳細(xì)的參數(shù)解釋方法。

蘇里格、大牛地等致密氣藏大量試井解釋和產(chǎn)量遞減分析解釋的裂縫半長遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于壓裂工藝設(shè)計(jì)長度，這種現(xiàn)象與壓裂裂縫部分閉合導(dǎo)致的裂縫流量不均有關(guān)。本文考慮裂縫部分閉合和不均勻產(chǎn)氣，進(jìn)行了壓裂井的產(chǎn)量遞減分析方法研究。

1 考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減模型

1.1 物理模型

均質(zhì)地層中心一口壓裂井，定產(chǎn)生產(chǎn)。設(shè)x軸為壓裂縫延伸方向，z軸為直井井筒方向，如圖1所示。原始地層壓力為pi，綜合壓縮系數(shù)為Ct，地層孔隙度為φ，流體黏度為μ，有效厚度為h，地層滲透率為k，裂縫半長為xf，忽略裂縫寬度。

圖1 考慮裂縫流量不均的壓裂井物理模型Fig.1 Physical model in consideration of nonuniform flow rate in fractures for fractured wells

基本假設(shè)條件為：（1）儲層上下具有封閉邊界，水平方向上具有圓形封閉邊界；（2）將裂縫分為n個(gè)部分，長度分別為xf1，xf2，…，xfn，由于裂縫部分閉合流量不均勻，流量分別為q1/2，q2/2，…，qn/2；（3）裂縫為無限導(dǎo)流裂縫，將每段裂縫視為流量一定的條帶源；（4）只考慮流體從基質(zhì)流向裂縫；（5）只考慮單相流體，忽略重力和毛細(xì)管力的影響；（6）存在圓形封閉邊界，邊界半徑為re。

1.2 數(shù)學(xué)模型

定義下列無量綱量：

無量綱二維坐標(biāo)

近井段無量綱裂縫長度

近井段無量綱裂縫產(chǎn)量

無量綱邊界半徑

無量綱時(shí)間

引入氣體擬壓力函數(shù)

無量綱井底壓力

對無限大空間點(diǎn)源解積分得到無限大空間的線源解，再對無限大空間線源解積分得到無限大空間條帶源解。對于頂?shù)追忾]，貫穿且垂直于整個(gè)儲層的裂縫可看作是長為裂縫長度、寬為裂縫高度的條帶源［12］。以裂縫段數(shù)n=2為例，即裂縫分為近井高導(dǎo)流能力裂縫段和遠(yuǎn)井低導(dǎo)流能力裂縫段，根據(jù)疊加原理對各個(gè)裂縫段產(chǎn)生的壓力響應(yīng)進(jìn)行疊加，得到考慮裂縫流量不均勻的壓裂井瞬時(shí)壓力變化［13］

其中

當(dāng)xD=yD=0時(shí)，即可得到井底瞬時(shí)壓力變化。壓裂液在地層中的殘留情況以及地層壓力降低等因素會導(dǎo)致裂縫閉合、導(dǎo)流能力降低。采用裂縫的表皮因數(shù)來表示附加的壓力降。表皮因數(shù)記為S，代入式（8），得到考慮表皮效應(yīng)的井底瞬時(shí)壓力變化

拉氏空間下，圓形封閉邊界對井底壓力的影響表示為［14］

式中，I0（x）為零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，I1（x）為一階第一類修正貝塞爾函數(shù)，K1（x）為一階第二類修正貝塞爾函數(shù)。

根據(jù)疊加原理，拉氏空間下圓形封閉地層考慮裂縫流量不均的壓裂井井底壓力解為

Van Everdingen和Hurst等［15-16］指出，拉氏空間下定產(chǎn)壓力解與定壓產(chǎn)量解具有一定的代數(shù)關(guān)系

對式（12）進(jìn)行Stehfest數(shù)值反演，得到真實(shí)空間下考慮井筒儲集和表皮的壓裂井井底不穩(wěn)定產(chǎn)量解。依據(jù)Blasingame產(chǎn)量遞減分析原理，可得到規(guī)整化產(chǎn)量qDd、規(guī)整化產(chǎn)量積分qDdi、規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)qDdid和物質(zhì)平衡擬時(shí)間tcDd的表達(dá)式，進(jìn)而繪制壓裂井產(chǎn)量遞減典型圖版。其中，qDd=qDbDpss，對于無限導(dǎo)流裂縫井，bDpss參數(shù)與時(shí)間無關(guān)，是reD的函數(shù)［17］

2 典型圖版及參數(shù)敏感性分析

根據(jù)Blasingame產(chǎn)量遞減原理可得到規(guī)整化產(chǎn)量、規(guī)整化產(chǎn)量積分和規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)與物質(zhì)平衡時(shí)間的關(guān)系，進(jìn)而繪制裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線，如圖2所示。在不穩(wěn)定流階段曲線受參數(shù)變化影響較大，但在邊界控制流階段，各參數(shù)敏感性較差。下面主要分析儲層邊界半徑reD、近井段裂縫長度xf1D、近井段裂縫流量q1D等參數(shù)對壓裂井不穩(wěn)定產(chǎn)量遞減的影響。

圖2 考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線Fig.2 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures

2.1 邊界半徑

假設(shè)近井段無量綱裂縫長度xf1D為0.4，近井段無量綱裂縫產(chǎn)量q1D為0.6，無量綱邊界半徑reD分別取10、50、100、1 000，其中reD=1 000接近邊界無窮大的情況，繪制裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線，無量綱邊界半徑reD的大小影響擬穩(wěn)定流階段的開始時(shí)間。如圖3所示，虛線為不穩(wěn)定流階段特征曲線切線，無量綱邊界半徑增大時(shí)，規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)qDdid特征曲線在不穩(wěn)定流階段曲線切線斜率變小，說明遞減趨勢逐漸趨于平緩。

圖3 不同無量綱邊界尺寸產(chǎn)量下考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線Fig.3 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures for different dimensionless production rates at the boundary size

2.2 近井段裂縫長度

假設(shè)無量綱邊界半徑reD為10，近井段無量綱裂縫流量q1D為0.6，近井段無量綱裂縫長度分別取0.2和0.4，繪制裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線。如圖4所示，xf1D值越小，壓裂縫閉合段越長，產(chǎn)量遞減速率越快；裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減曲線位于常規(guī)壓裂井產(chǎn)量遞減曲線下方，早期線性流階段產(chǎn)量遞減速率低于常規(guī)壓裂井30%～50%；擬穩(wěn)態(tài)階段后，2種模型的曲線趨于重合。

2.3 近井段裂縫流量

圖4 不同無量綱近井段裂縫長度下考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線Fig.4 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures for different dimensionless fracture lengths near the well

假設(shè)無量綱邊界半徑reD為10，無量綱近井段裂縫長度xf1D為0.4，無量綱近井段裂縫流量q1D分別取0.4和0.8，繪制裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線（見圖5）。

圖5 不同無量綱近井段裂縫產(chǎn)量下考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線Fig.5 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures for different dimensionless fracture production rates near the well

由圖5可看出，q1D的敏感性與xf1D正好相反，隨著q1D的不斷增大產(chǎn)量遞減速率加快；當(dāng)q1D足夠小時(shí)，不穩(wěn)定階段的早期線性流消失。因?yàn)閝1D足夠小表示儲層向近井段裂縫幾乎不供液，近井段裂縫相當(dāng)于井筒的一部分，因此早期線性流特征消失，這也是與常規(guī)壓裂井產(chǎn)量遞減曲線的明顯區(qū)別之一。

3 模型擬合方法

裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減曲線擬合分析步驟如下。

步驟1：計(jì)算物質(zhì)平衡時(shí)間。

步驟2：計(jì)算規(guī)整化產(chǎn)量、規(guī)整化產(chǎn)量積分和規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)。

氣井的規(guī)整化產(chǎn)量為

氣井的規(guī)整化產(chǎn)量積分為

氣井的規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)為

步驟3：在雙對數(shù)圖上分別繪制出規(guī)整化產(chǎn)量、規(guī)整化產(chǎn)量積分和規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)與物質(zhì)平衡時(shí)間的曲線，同時(shí)將3組曲線與某一xf1D和q1D值的理論圖版曲線進(jìn)行擬合，使得每組曲線盡量都能獲得較好的擬合。

步驟4：根據(jù)擬合結(jié)果記錄無量綱邊界半徑reD，并計(jì)算出bDpss。

步驟5：選擇一個(gè)擬合點(diǎn)，記錄實(shí)際擬合點(diǎn)（tc，q/dp）M以及相應(yīng)的理論擬合點(diǎn)（tcDd，qDd）M。若已知?dú)獠睾穸?、綜合壓縮系數(shù)、井徑，則可計(jì)算儲層滲透率、表皮因數(shù)、井控面積、儲量及閉合程度等參數(shù)。

通過以上參數(shù)解釋的步驟可以編制歷史擬合計(jì)算程序?qū)崿F(xiàn)自動擬合，從而求出所需參數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中為了提高擬合速度和降低擬合結(jié)果的多解性，在擬合之前需要進(jìn)行初始值計(jì)算。先利用常規(guī)壓裂井模型擬合出一個(gè)結(jié)果，將此結(jié)果作為近井段裂縫參數(shù)的初值擬合值，再給定近井段裂縫長度和裂縫流量一個(gè)梯度擾動進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)擬合誤差確定擬合參數(shù)值。由于初始值給定范圍合理，擬合速度和準(zhǔn)確性能得到有力保障。

4 實(shí)例分析

利用裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減模型，對蘇里格、大牛地氣田的大批量氣井進(jìn)行了產(chǎn)量遞減分析，選取其中一口壓裂氣井D1-1-24進(jìn)行分析舉例。該井于2004年12月27日完井，盒3氣層（2 659.2～2 666.7 m，2 673.1～2 677.5 m）測井解釋為孔隙度7.8%、滲透率0.93 mD、含氣飽和度78%的工業(yè)氣層，2005年3月對盒3氣層進(jìn)行射孔壓裂作業(yè)，儲層及流體等基礎(chǔ)參數(shù)如表1所示。

表1 儲層及流體等基礎(chǔ)參數(shù)Table 1 Basic parameters of reservoir and fluid

繪制規(guī)整化產(chǎn)量、產(chǎn)量積分和積分導(dǎo)數(shù)與物質(zhì)平衡時(shí)間的實(shí)際曲線，分別與常規(guī)壓裂井Blasingame理論圖版和本文模型產(chǎn)量遞減典型圖版擬合。通過多組xf1D和q1D理論圖版對比發(fā)現(xiàn)，xf1D=0.4、q1D=0.6時(shí)的典型圖版中，reD=5的曲線擬合效果較好，裂縫解釋結(jié)果如表2所示，擬合結(jié)果如圖6所示。

表2 本文遞減模型與常規(guī)壓裂井遞減模型解釋結(jié)果對比Table 2 Comparison of the results of the decrement model and the conventional fracturing well reduction model

圖6中藍(lán)色的曲線為常規(guī)壓裂井模型的典型圖版，紅色的曲線為裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型圖版，可以看出本文模型擬合效果比常規(guī)模型擬合效果更好。本文模型擬合近井段裂縫半長xf1=41.2 m，遠(yuǎn)井段裂縫半長xf2=61.8m，總裂縫半長達(dá)到103 m，與常規(guī)方法解釋結(jié)果69.9 m相比，更符合壓裂施工設(shè)計(jì)值（121 m）。因此考慮裂縫部分閉合壓裂井遞減模型與常規(guī)模型相比，可以確定壓裂縫部分閉合后每段裂縫長度，可以更加準(zhǔn)確地預(yù)測壓裂氣井產(chǎn)量變化的趨勢。

圖6 考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線擬合結(jié)果Fig.6 Fitting result of typical production decline curve of fractured well in consideration of nonuniform flow rate in fractures

5 結(jié)論

（1）考慮裂縫部分閉合情況，建立了壓裂井在圓形封閉地層中的產(chǎn)量遞減模型，通過Newman乘積及拉氏反演方法，得到壓裂井不穩(wěn)定產(chǎn)量解析解。

（2）在考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減模型中，xf1D值的越小，裂縫閉合程度越嚴(yán)重，產(chǎn)量遞減速率越快，井的產(chǎn)量越低；q1D足夠小時(shí)，不穩(wěn)定階段的早期線性流消失。與常規(guī)壓裂井模型相比，考慮裂縫流量不均的壓裂井線性流階段產(chǎn)量遞減速率偏低30%～50%，進(jìn)入邊界控制流階段后，兩者遞減速率接近。

（3）考慮裂縫部分閉合的壓裂井產(chǎn)量遞減模型解釋的裂縫長度較常規(guī)方法解釋結(jié)果更加符合壓裂設(shè)計(jì)參數(shù)值，同時(shí)能夠確定壓裂縫部分閉合后每段裂縫長度，更加準(zhǔn)確地預(yù)測壓裂氣井產(chǎn)量變化的趨勢。

符號說明：

A為井控面積，m2；Bg為氣體體積系數(shù)；Bgi為氣體原始體積系數(shù)；Ct為巖石綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；Cg為氣體壓縮系數(shù)，MPa-1；G為動態(tài)儲量，108m3；h為氣藏厚度，m；k為地層滲透率，mD；psc為標(biāo)況下壓力，MPa；pi為原始地層壓力，MPa；pw為井底壓力，MPa；ppi為原始地層擬壓力，MPa2/（mPa·s）；ppw為井底擬壓力，MPa2/（mPa·s）；pwD為無量綱井底壓力；（pwD）t為無量綱井底壓力響應(yīng)；（pwD）b為邊界對于井底的無量綱壓力響應(yīng)；q為裂縫總產(chǎn)量，m3/d；q1為近井段裂縫產(chǎn)量，m3/d；q2為遠(yuǎn)井段裂縫產(chǎn)量，m3/d；q1D為近井段無量綱裂縫產(chǎn)量；q2D為遠(yuǎn)井段無量綱裂縫產(chǎn)量；qDd為規(guī)整化產(chǎn)量；qDdi為規(guī)整化產(chǎn)量積分；qDdid為規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)；rw為井筒半徑，m；re為泄氣半徑，m；reD為無量綱泄氣半徑，m；S為表皮因數(shù)；Sw為地層含水飽和度；Swi為原始含水飽和度；t為氣井生產(chǎn)時(shí)間，d；tD為無量綱時(shí)間；tcDd為物質(zhì)平衡擬時(shí)間；T為地層溫度，K；Tsc為標(biāo)況下溫度，K；u為拉氏變換變量；xD為無量綱橫坐標(biāo)；xf為裂縫半長，m；xf1為近井段裂縫半長，m；xf2為遠(yuǎn)井段裂縫半長，m；xf1D為近井段無量綱裂縫半長；xf2D遠(yuǎn)井段無量綱裂縫半長；yD為無量綱縱坐標(biāo)；Z為氣體壓縮因子；φ為地層孔隙度；μ為氣體黏度，mPa·s。