趙清海，張洪信，朱智富，蔣榮超，袁　林

前言

隨著連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法的不斷發(fā)展、完善和豐富，考慮不確定性因素對結(jié)構(gòu)性能的影響在產(chǎn)品設計過程中愈來愈受到重視[1-3]。因此，基于現(xiàn)有的確定性拓撲優(yōu)化方法，結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計，給出合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)統(tǒng)計特征，遵從一定的設計準則規(guī)劃出理想的設計方案，優(yōu)化產(chǎn)品的性能指標，是對產(chǎn)品開展可靠性拓撲優(yōu)化設計的基本目的[4-5]。

控制臂作為汽車懸架系統(tǒng)的重要零件之一，其主要功用為:通過球鉸、橡膠襯套或液壓襯套等元件連接車輪和車身；控制車輪相對于車身的運動特性。因此，在控制臂的結(jié)構(gòu)設計中，其縱向與橫向剛度和質(zhì)量對車輛的操縱穩(wěn)定性和平順性有重要影響。

不同車型的動力學性能、懸架總成空間布置的多樣性，往往引起控制臂結(jié)構(gòu)設計空間的不確定性，且由于路況和行駛工況的復雜性以及阻尼和摩擦等邊界條件的干擾，極易導致所受載荷的隨機性。同時，材料的多相特征、制造工藝的差異也會引起材料屬性的波動。因此，有必要在控制臂結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化設計時融合可靠性分析，定量計入不確定性因素的影響。

1　確定性拓撲優(yōu)化

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化涉及靜力學問題，一般可分為兩類模型[6]:一為體積約束條件下最小化柔度值，即最大化剛度；二為剛度約束下最小化體積。本文中討論剛度約束下的最小化體積問題?；谧兠芏确ㄍ負鋬?yōu)化理論，建立數(shù)學模型:

式中:ρ為設計變量矢量；V為結(jié)構(gòu)體積；ρe與ve分別為單元相對密度與單元體積；Ne為設計區(qū)域單元總數(shù)；gi(ρ)為約束函數(shù)；m為柔度約束載荷工況個數(shù)；ci和分別對應第i個載荷工況下結(jié)構(gòu)柔度和許用柔度值，依據(jù)結(jié)構(gòu)剛度設計要求計算獲得；K，Ui和Fi分別為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣、第i個載荷工況下節(jié)點位移矢量和載荷矢量；ρmin和ρmax分別為設計變量取值的下限和上限。

2　可靠性拓撲優(yōu)化設計

2.1　可靠性拓撲優(yōu)化問題變量描述

隨機不確定性變量主要表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的材料屬性、載荷的隨機性，適用于采用概率論描述其分布特征[7]。

以變密度法為例，確定性變量表征單元相對密度ρ為拓撲優(yōu)化設計變量。隨機變量X＝[x1，x2，…，xd]表征結(jié)構(gòu)不確定性因素，為連續(xù)型變量。一般將非正態(tài)分布隨機變量進行標準化處理轉(zhuǎn)換為相互獨立的標準正態(tài)隨機變量U＝[u1，u2，…，ud]。變量U服從均值為0、標準差為1的標準正態(tài)分布，記為 N(0，1)。

2.2　可靠性拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

基于可靠性拓撲優(yōu)化問題變量界定，典型的可靠性拓撲優(yōu)化數(shù)學模型可描述為

式中:Gi(·)為第i個極限狀態(tài)函數(shù)或功能函數(shù)；Pr[·]為失效概率；Pfi?為許用失效概率值。在結(jié)構(gòu)可靠性分析中，該功能函數(shù)定義的極限狀態(tài)為:Gi(ρ，X)＝ 0；即隨機變量空間中安全區(qū)域(Gi(ρ，X)≥0)和失效區(qū)域(Gi(ρ，X)≤0)的分界面。圖1展示了確定性最優(yōu)與可靠性最優(yōu)的區(qū)別。

圖1　確定性最優(yōu)和可靠性最優(yōu)示意圖

假設隨機變量X相互獨立，失效概率Pr[Gi(ρ，X)≤0]可通過多維積分計算得到:

式中fX(x)為X的聯(lián)合概率密度函數(shù)。失效概率積分計算的前提是需已知聯(lián)合概率密度函數(shù)和功能函數(shù)。目前主要采用蒙特卡洛法、一次二階矩法[8]與一次可靠度法等[9]近似計算失效概率。

2.3　可靠性拓撲優(yōu)化-解耦格式

由式(2)可靠性拓撲優(yōu)化數(shù)學模型可知，其求解過程一般包含:針對隨機變量的可靠性分析和針對設計變量的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化。目前，基于可靠性的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計方法主要采用雙層嵌套格式。該方法的主要缺點是計算量大，計算效率低且收斂困難，因此其廣泛應用受到限制。為此，提出可靠性拓撲優(yōu)化-解耦格式，即將問題分解為可靠性分析和等價的確定性拓撲優(yōu)化兩個獨立子問題分別進行求解。具體流程為:首先根據(jù)一次可靠度法中可靠性指標的幾何意義，尋求滿足目標可靠性指標的設計點，然后依據(jù)隨機變量的靈敏度信息進行隨機變量修正，從而將可靠性約束條件轉(zhuǎn)化為等價的確定性約束條件，最后進行確定性拓撲優(yōu)化。對于確定性優(yōu)化問題，可以直接借助現(xiàn)有的成熟軟件優(yōu)化求解器進行求解。具體的優(yōu)化流程如圖2所示。

根據(jù)一次可靠度法，失效概率約束可轉(zhuǎn)化為可靠性指標約束:式中:βi和 βi

?分別為第i個失效概率的可靠性指標和許用可靠性指標。遵循結(jié)構(gòu)可靠性指標的幾何意義[5]，結(jié)合可靠性指標約束，構(gòu)建關(guān)于正態(tài)隨機變量的優(yōu)化模型:

其中，結(jié)構(gòu)可靠性指標相對于正態(tài)隨機變量的靈敏度可解析為

該模型的最優(yōu)解u?稱為設計點。根據(jù)Rosenblatt逆變換[10-11]，獲得隨機變量的修正值:

其中 i＝1，…，m；j＝1，…，n

圖2　可靠性拓撲優(yōu)化-解耦格式示意圖

式中:mxj和σxj分別為隨機變量xj的均值和標準方差。而功能函數(shù)相對于隨機變量均值的靈敏度信息可通過有限差分法近似求得:

通常取步長 Δmxj＝0.01mxj。

基于隨機變量的修正值，將可靠性優(yōu)化轉(zhuǎn)化為等價的確定性拓撲優(yōu)化問題:

3　控制臂算例分析

以某汽車懸架系統(tǒng)的下控制臂為例，考慮結(jié)構(gòu)的材料屬性與載荷工況的不確定性，根據(jù)控制臂的結(jié)構(gòu)特點與裝配關(guān)系定義初始設計空間，如圖3所示。其中，控制臂與球鉸和橡膠襯套的連接部位設置為非設計區(qū)域。采用剛性單元(RBE2)模擬球鉸或橡膠襯套與控制臂之間的裝配接觸。位移自由度約束設置為:約束后襯套節(jié)點處沿X，Y，Z方向的平動自由度、前襯套節(jié)點處沿X，Z方向的平動自由度和控制臂球鉸節(jié)點處沿Z方向的平動自由度。在控制臂球鉸節(jié)點處施加縱向力Fx和側(cè)向力Fy兩個載荷?？刂票鄄牧蠈傩耘c載荷工況設置見表1。

圖3　控制臂的設計空間

對于確定性拓撲優(yōu)化，結(jié)構(gòu)柔度約束條件，即許用柔度值，縱向力工況時為c1?＝2.9×103N·mm；側(cè)向力工況時為c2?＝5.0×104N·mm。制造工藝性約束設置為最小成員尺寸約束與雙向拔模約束。得到的確定性拓撲優(yōu)化材料分布如圖4所示，其中，拓撲構(gòu)型密度閾值設置為0.30。

圖4　控制臂材料分布方案(確定性設計)

表1　控制臂的材料屬性與載荷工況(均值)

對于可靠性拓撲優(yōu)化，可靠性指標約束設置為3，4，5。隨機變量選取為彈性模量E、縱向力Fx和側(cè)向力Fy，其中變量滿足正態(tài)分布，設置標準差為σ＝0.10m，m為隨機變量的均值?？煽啃酝負鋬?yōu)化結(jié)果如圖5所示，密度閾值設置為0.30。確定性拓撲優(yōu)化結(jié)果與可靠性拓撲優(yōu)化體積目標迭代曲線如圖6所示。采用可靠性分析-解耦格式，計算結(jié)果匯總于表2。

表2　確定性與可靠性拓撲優(yōu)化設計結(jié)果

通過對比確定性和可靠性優(yōu)化結(jié)果可以看出，基于可靠性的拓撲優(yōu)化結(jié)果需要更多的材料分布構(gòu)型，以便滿足可靠性指標約束要求，且材料分布均勻，具備良好的可制造加工性，結(jié)果更趨于合理。

由表2可知:依據(jù)可靠性指標可方便進行隨機變量修正，且只需要幾十次迭代優(yōu)化計算即可獲得良好的拓撲構(gòu)型；相較于確定性拓撲優(yōu)化算法，計算速度更快，計算效率更高。對比確定性與可靠性優(yōu)化結(jié)果目標函數(shù)體積，以β?＝3為例，體積相對增加37.8%，表明結(jié)構(gòu)可靠性的提高有可能伴隨結(jié)構(gòu)體積的增大。

圖5　控制臂材料分布方案(可靠性設計)

圖6　控制臂結(jié)構(gòu)目標體積收斂迭代曲線

根據(jù)可靠性拓撲優(yōu)化設計結(jié)果(β?＝4)，并考慮制造工藝條件、空間布置要求以及設計準則，并且對控制臂結(jié)構(gòu)細節(jié)部位尺寸、形狀進一步優(yōu)化的基礎上，經(jīng)過詳細設計后的控制臂結(jié)構(gòu)如圖7所示。其中確定性模型與可靠性模型質(zhì)量分別為1.523和1.545kg。

圖7　可靠性拓撲優(yōu)化設計模型重構(gòu)

依據(jù)最終設計方案，對新控制臂結(jié)構(gòu)進行有限元分析驗證，計算結(jié)構(gòu)剛度及動力學性能，并與確定性控制臂結(jié)構(gòu)進行性能對比。控制臂確定性與可靠性拓撲優(yōu)化設計剛度分析如圖8所示。

圖8　控制臂可靠性拓撲優(yōu)化設計剛度分析

為了驗證控制臂模型仿真結(jié)果的有效性，開展剛度試驗。試驗測試系統(tǒng)包括力傳感器、直線導軌和百分表等。測試臺架如圖9所示?？刂票鄞_定性模型與可靠性模型剛度試驗所得載荷-位移曲線如圖10所示。

圖10　控制臂模型剛度載荷-位移曲線

計算仿真與試驗測試結(jié)果表明:確定性設計與可靠性設計均能滿足性能設計要求。結(jié)構(gòu)在縱向和側(cè)向載荷工況作用下，縱向位移和側(cè)向位移均小于1mm，滿足剛度性能；并且仿真驗證與試驗校核結(jié)果相吻合，控制臂縱向剛度和側(cè)向剛度分別提升3.8%和7.5%，結(jié)構(gòu)在受力時抵抗彈性變形的能力得到增強。

控制臂結(jié)構(gòu)模態(tài)對整車NVH性能起著至關(guān)重要的作用，因此對其進行模態(tài)分析，其1階模態(tài)振型如圖11所示。

圖11　控制臂模態(tài)分析(1階模態(tài))

進行控制臂模型模態(tài)試驗，用彈性繩懸掛方式模擬被測樣件的自由狀態(tài)，測試系統(tǒng)包括激勵系統(tǒng)、響應拾振系統(tǒng)及模態(tài)分析和處理系統(tǒng)3大部分?？刂票勰B(tài)試驗臺架如圖12所示?？刂票勰B(tài)分析仿真與試驗結(jié)果匯總于表3。

圖12　控制臂模態(tài)試驗臺架

表3　控制臂模態(tài)分析結(jié)果(前3階)

模態(tài)結(jié)果表明:確定性設計與可靠性設計控制臂結(jié)構(gòu)1階頻率均大于600Hz，滿足NVH性能?？煽啃栽O計結(jié)果的1階模態(tài)比確定性設計高3%左右，從而降低發(fā)生共振現(xiàn)象的概率，有效避免結(jié)構(gòu)疲勞破壞的出現(xiàn)。因此，確定性拓撲優(yōu)化設計和可靠性拓撲優(yōu)化設計均能滿足控制臂結(jié)構(gòu)設計性能需求，而后者性能更優(yōu)。結(jié)果表明:與確定性優(yōu)化結(jié)果相比，可靠性拓撲優(yōu)化結(jié)果能在不過多增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量的前提下，顯著提高了結(jié)構(gòu)的靜力學與動力學性能，能適應良好的載荷不確定性的影響，增強了結(jié)構(gòu)工作的可靠性，避免由于參數(shù)變動引起結(jié)構(gòu)性能的波動甚至結(jié)構(gòu)失效的發(fā)生。

4　結(jié)論

由汽車控制臂的可靠性優(yōu)化設計算例結(jié)果可得，本文中提出的方法通過求解符合滿足可靠性指標的標準化變量值，完成隨機變量的修正，進而進行等價的確定性拓撲優(yōu)化，避免了優(yōu)化過程中繁瑣的可靠性分析，從而大大緩解了可靠性優(yōu)化的計算負擔。所提出的優(yōu)化算法不僅能獲得優(yōu)良的可靠性拓撲優(yōu)化構(gòu)型，且能通過合理修改結(jié)構(gòu)的參數(shù)值，獲得指定的可靠性指標。因此，所提出的方法具備良好的實用價值，可最大限度地滿足經(jīng)濟性和安全性的設計要求。

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