王怡，朱凌云

(東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620)

氣動(dòng)技術(shù)是以壓縮空氣為工作介質(zhì)傳遞信號(hào)和動(dòng)力，以實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)機(jī)械化和自動(dòng)化的一項(xiàng)技術(shù)，是工業(yè)自動(dòng)化領(lǐng)域的一個(gè)重要分支。近年來，隨著微電子、計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展和現(xiàn)代控制理論的不斷完善，機(jī)電一體化、工業(yè)自動(dòng)化已經(jīng)成為工業(yè)發(fā)展的大趨勢(shì)[1-2]。氣缸作為氣動(dòng)系統(tǒng)中最常見的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于自動(dòng)化生產(chǎn)中，在許多工業(yè)應(yīng)用場合中，如半導(dǎo)體、瓷器、玻璃等行業(yè)，機(jī)械零件加工和磨削，常常需要低速驅(qū)動(dòng)，此時(shí)氣缸的低速性能顯得尤為重要。然而，氣缸在低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)爬行現(xiàn)象，嚴(yán)重影響了氣缸運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性。因此，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)避免爬行的產(chǎn)生，保證氣缸在正常工作范圍內(nèi)平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)[3]。

1　氣缸控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

氣缸控制系統(tǒng)主要由機(jī)械運(yùn)動(dòng)和控制采集兩部分組成，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。機(jī)械運(yùn)動(dòng)部分由直流伺服電機(jī)、傳動(dòng)設(shè)備和氣缸組成?？刂撇杉糠钟晒怆娋幋a器、壓力及流量傳感器、直流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制器構(gòu)成，實(shí)現(xiàn)了直流伺服電機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制以及位置、速度、壓力和流量信號(hào)的實(shí)時(shí)采集。

圖1　氣缸控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意

氣缸控制系統(tǒng)的控制流程主要包括：

1) 上位機(jī)設(shè)定期望跟蹤曲線，作為運(yùn)動(dòng)控制器的輸入。

2) 運(yùn)動(dòng)控制器輸出相應(yīng)的脈寬調(diào)制信號(hào)，通過電機(jī)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)直流電機(jī)運(yùn)動(dòng)。

3) 絲杠滑臺(tái)將電機(jī)轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)化成一定的直線位移，帶動(dòng)氣缸活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

4) 電機(jī)上的光電編碼器將位置信息實(shí)時(shí)反饋給運(yùn)動(dòng)控制器，構(gòu)成閉環(huán)控制。

5) 運(yùn)動(dòng)控制器通過控制期望位移與實(shí)際位移的誤差，輸出相應(yīng)的控制信號(hào)，使得直流伺服電機(jī)按照期望跟蹤曲線運(yùn)動(dòng)。

2　氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

氣缸控制系統(tǒng)是高精度、低速伺服系統(tǒng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，其執(zhí)行機(jī)構(gòu)氣缸所產(chǎn)生的非線性摩擦力，使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及靜態(tài)性能受到很大程度的影響，主要表現(xiàn)為低速時(shí)出現(xiàn)爬行現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)時(shí)有較大的靜差。因此，在建立整個(gè)伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，選擇合適的氣缸低速運(yùn)動(dòng)摩擦力數(shù)學(xué)模型，對(duì)研究主動(dòng)模擬肺控制系統(tǒng)具有重要意義。為了方便研究，本文在不影響氣缸控制系統(tǒng)的實(shí)際工作原理的前提下，建立了易于研究、切合實(shí)際的伺服控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

2.1　機(jī)械運(yùn)動(dòng)部分?jǐn)?shù)學(xué)模型

機(jī)械運(yùn)動(dòng)部分?jǐn)?shù)學(xué)模型由驅(qū)動(dòng)裝置數(shù)學(xué)模型、直流伺服電機(jī)數(shù)學(xué)模型、傳動(dòng)設(shè)備數(shù)學(xué)模型和氣缸低速運(yùn)動(dòng)摩擦力數(shù)學(xué)模型組成。

直流伺服電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型與調(diào)速電動(dòng)機(jī)無本質(zhì)區(qū)別，假定氣隙磁通恒定，則直流伺服電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)方程為[4]

(1)

式中：Id——電樞電流；∑R——包括驅(qū)動(dòng)器內(nèi)阻的電樞回路電阻；∑L——電樞回路電感；ω1——電機(jī)轉(zhuǎn)速；ML——阻力矩。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Ceω1，Ce——伺服電動(dòng)機(jī)電動(dòng)勢(shì)系數(shù)；電磁轉(zhuǎn)矩Te=CTId，CT——伺服電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

絲杠滑臺(tái)作為伺服系統(tǒng)的機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，主要作用是將直流伺服電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為直線運(yùn)動(dòng)。電機(jī)與絲杠滑臺(tái)相連接，電機(jī)轉(zhuǎn)速等于螺母轉(zhuǎn)速[5]。絲杠滑臺(tái)的導(dǎo)程就是指絲杠上螺母旋轉(zhuǎn)1圈所行走的直線距離，由于絲杠與氣缸相連接，所以該直線距離即為活塞前進(jìn)的距離，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2)

式中：ω2——絲杠螺母轉(zhuǎn)速，ω1=ω2；l1——絲杠位移,m；l2——活塞位移，m，l1=l2；ph——絲杠導(dǎo)程；t——絲杠動(dòng)作時(shí)間。

通常使用絲杠的傳動(dòng)效率來表示系統(tǒng)的阻力矩和摩擦力矩：

(3)

式中：Mx——伺服電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩；FN——絲杠輸出推力；ηs——絲杠傳動(dòng)效率。

由式(2)和式(3)可知，對(duì)于固定的1個(gè)絲杠滑臺(tái)，其傳動(dòng)效率和絲杠導(dǎo)程是一定的，因而絲杠螺母的轉(zhuǎn)角與絲杠的位移成比例關(guān)系，絲杠輸出推力與伺服電機(jī)輸出力矩成比例關(guān)系。綜上，絲杠滑臺(tái)數(shù)學(xué)模型為線性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為常數(shù)，且只受到傳動(dòng)效率和絲杠導(dǎo)程的影響。

氣缸作為氣動(dòng)系統(tǒng)中最常見的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，以其結(jié)構(gòu)簡單、控制方便等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于自動(dòng)化生產(chǎn)中。根據(jù)牛頓第二定律，氣缸活塞的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：m——活塞、活塞桿及驅(qū)動(dòng)部件的質(zhì)量，kg；p1，p2——分別為氣缸兩腔內(nèi)壓力，Pa；S1，S2——分別為兩側(cè)活塞作用面積，m2；Ff——?dú)飧啄Σ亮?。氣缸摩擦力為非線性，當(dāng)活塞運(yùn)動(dòng)速度為零時(shí)，摩擦力為靜摩擦力；當(dāng)氣缸開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，靜摩擦力快速下降為動(dòng)摩擦力，此時(shí)摩擦力的變化可表示為速度的函數(shù)。

氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中，氣缸做低速運(yùn)動(dòng)。Stribeck摩擦力模型很好地描述了氣缸低速運(yùn)動(dòng)時(shí)的非線性摩擦特性[6]，能夠較為準(zhǔn)確地反應(yīng)摩擦力負(fù)阻尼特性，如圖2所示。采用速度的指數(shù)函數(shù)來描述摩擦的非線性：

1) 當(dāng)|v|

2) 當(dāng)|v|>v0時(shí)，動(dòng)摩擦力為

式中：Ff1(t)——靜摩擦力；Ff2(t)——?jiǎng)幽Σ亮?；F(t)——驅(qū)動(dòng)力；Fm——最大靜摩擦力；Fc——庫倫摩擦力；kv——黏性摩擦比例系數(shù)；v——活塞運(yùn)動(dòng)速度；v1——混合潤滑區(qū)向彈性流體動(dòng)力潤滑區(qū)過渡的臨界速度；v0——臨界速度。

圖2　摩擦-速度穩(wěn)態(tài)關(guān)系曲線示意

2.2　系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

本文所研究的氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型主要由驅(qū)動(dòng)板數(shù)學(xué)模型、直流伺服電機(jī)數(shù)學(xué)模型、絲杠滑臺(tái)數(shù)學(xué)模型及氣缸數(shù)學(xué)模型組成。下面結(jié)合各個(gè)部分?jǐn)?shù)學(xué)模型，建立整個(gè)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

由式(2)可知，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度與活塞位移成正比，由此可得電機(jī)轉(zhuǎn)速與活塞運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系式為

(4)

(5)

氣缸活塞運(yùn)動(dòng)的摩擦力Ff(t)是直流電機(jī)阻力矩的一部分，可采用氣缸活塞運(yùn)動(dòng)速度的指數(shù)函數(shù)來表示。由式(5)可知，絲杠導(dǎo)程為定值時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)速度與電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比。因此，氣缸低速運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦力可采用電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的指數(shù)函數(shù)來描述：

(6)

由于本文所研究的直流伺服系統(tǒng)主要針對(duì)位置信號(hào)控制，暫時(shí)忽略電樞電感，電流環(huán)和速度環(huán)為開環(huán)。綜上所述，該氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

(7)

轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程可描述如下：

(8)

3　氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)算法研究

由式(8)可知，該系統(tǒng)為二階非線性系統(tǒng)，并帶有擾動(dòng)因子，為了減輕機(jī)械伺服系統(tǒng)中的摩擦環(huán)節(jié)以及擾動(dòng)環(huán)節(jié)帶來的負(fù)面影響，可采用適當(dāng)?shù)目刂品椒ㄟM(jìn)行系統(tǒng)控制。此時(shí)，原理簡單、使用方便的常規(guī)PID控制策略已經(jīng)無法實(shí)現(xiàn)理想的控制效果。因此，本文采用基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)腜D控制，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)帶有參數(shù)不確定性的非線性部分進(jìn)行逼近，并結(jié)合常規(guī)的PD控制方法設(shè)置控制器，對(duì)非線性的氣缸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤控制。

將式(8)化為傳統(tǒng)的二階非線性系統(tǒng)方程：

(9)

3.1　自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的設(shè)計(jì)[7]

(10)

取控制律為

(11)

取自適應(yīng)律為

(12)

3.2　穩(wěn)定性分析

求非線性二階系統(tǒng)的解是很困難的過程，李雅普諾夫第二法可以在不求出狀態(tài)方程的解的條件下，直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面基于李雅普諾夫第二法對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析[8]：

由式(11)代入式(9)，可得如下系統(tǒng)的閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程：

(13)

(14)

(15)

再將式(10)代入上式，可得閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程：

(16)

證明： 定義李雅普諾夫函數(shù)

式中：γ——正常數(shù)；P是1個(gè)正定矩陣且滿足李雅普諾夫方程ΛTP+PΛ=-Q，Q是1個(gè)任意的2×2正定矩陣，Λ已給出。

則

(ETPbh(x))+ETPbω

則V的導(dǎo)數(shù)為

綜上所述，自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的設(shè)計(jì)是基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論獲得權(quán)值自適應(yīng)律，從而獲得閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，具有可靠性和穩(wěn)定性，可以被用來進(jìn)行氣缸的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制。

4　氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的Matlab仿真與實(shí)現(xiàn)

為了檢驗(yàn)本文所提數(shù)學(xué)模型及控制算法的有效性，以期望跟蹤曲線是正弦曲線為例，基于氣缸控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行跟蹤控制，并將本文采用的控制算法與傳統(tǒng)的PD控制算法進(jìn)行比較。

氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

伺服系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置： ∑R=7.77 Ω，CT=6 (N·m)/A，Ce=1.2 V/(rad·s-1)，J=0.6 kg·m2，k1=11，ηs=50%，ph=12 mm。摩擦模型參數(shù)設(shè)置：Fc=20 N·m，F(xiàn)m=40 N·m，kv=10 Nms/rad。由氣缸運(yùn)動(dòng)控制數(shù)學(xué)模型可知本系統(tǒng)是以電機(jī)的轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速作為控制量實(shí)現(xiàn)對(duì)氣缸活塞位置和運(yùn)動(dòng)速度的控制。設(shè)置活塞位置跟蹤信號(hào)為yd(t)=50sint。

4.1　PD控制算法

仿真結(jié)果表明： 該平臺(tái)在采用PD控制的情況下，存在速度跟蹤“死區(qū)現(xiàn)象”和位置跟蹤“平頂現(xiàn)象”。最大位置跟蹤誤差絕對(duì)值達(dá)到4.6 mm，最大速度跟蹤誤差絕對(duì)值達(dá)到7.8 mm/s，且隨時(shí)間呈周期性變化并無收斂于0的趨勢(shì)，因而控制系統(tǒng)精度有待提高。

圖3　PD控制算法仿真曲線示意

圖4　PD控制算法仿真誤差曲線示意

4.2　基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)腜D控制算法

圖5　自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)腜D算法曲線示意

圖6　自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)腜D算法誤差曲線示意

仿真結(jié)果表明： 該平臺(tái)在采用基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PD控制算法的情況下，氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)能夠快速良好地實(shí)現(xiàn)位置跟蹤和速度跟蹤。雖然，在1 s內(nèi)存在較大的速度跟蹤誤差，但能在1 s之后實(shí)現(xiàn)對(duì)位置及速度曲線的高精度跟蹤，位置跟蹤誤差能夠收斂到有界區(qū)間[-1, +1]，單位為mm，同時(shí)，速度跟蹤誤差能夠收斂到有界區(qū)間[-1, +1]，單位為mm/s，此時(shí)誤差遠(yuǎn)低于PD控制算法時(shí)誤差，能很好地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的高精度控制。

4.3　自適應(yīng)非線性函數(shù)

仿真結(jié)果表明： 在β(t)=0且t>1 s時(shí)，fx在區(qū)間[-0.06, +0.07]內(nèi)波動(dòng)；在β(t)=0.1且t>1 s時(shí)，fx在區(qū)間[-0.14, +0.10]內(nèi)波動(dòng)。fx足夠小，即RBF能快速自適應(yīng)逼近非線性函數(shù)，實(shí)現(xiàn)非線性部分的有效補(bǔ)償，且對(duì)不確定因素有一定的不敏感性。所以，所設(shè)計(jì)的控制器能有效地實(shí)現(xiàn)位置指令的跟蹤，控制效果良好。

圖7　β(t)=cos(t)與β(t)=0情況下的逼近誤差示意

5　結(jié)束語

針對(duì)氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)位置跟蹤所存在的缺陷，建立氣缸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并采用了先進(jìn)的控制算法。在傳統(tǒng)PD算法的基礎(chǔ)上，引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，設(shè)置控制律和自適應(yīng)律。針對(duì)擾動(dòng)因子存在的情況，能較快地實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性函數(shù)的自適應(yīng)補(bǔ)償。通過對(duì)傳統(tǒng)PD算法和基于RBF自適應(yīng)補(bǔ)償PD控制算法的比較以及系統(tǒng)模型進(jìn)行干擾實(shí)驗(yàn)表明，RBF自適應(yīng)補(bǔ)償PD控制算法情況下的位置跟蹤誤差較低，能較好地實(shí)現(xiàn)位置跟蹤及速度跟蹤，且對(duì)擾動(dòng)因子有一定的不敏感性，極大地提高了位置跟蹤的精確度，證明了建立模型及采用算法的有效性。

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