王強(qiáng)，石紅瑞

(東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620)

機(jī)器人的分類多種多樣，按照結(jié)構(gòu)可以將機(jī)器人分為： 串聯(lián)機(jī)器人、并聯(lián)機(jī)器人和混聯(lián)機(jī)器人。其中并聯(lián)機(jī)器人因具有剛度大、承載能力強(qiáng)、精度高、末端慣性小、操作空間大等一系列的優(yōu)點(diǎn)，使其成為機(jī)器人的主要研究熱點(diǎn)之一[1-3]。目前并聯(lián)機(jī)器人是應(yīng)用最廣泛且技術(shù)相對(duì)比較成熟的工業(yè)機(jī)器人之一，并聯(lián)機(jī)器人不僅能夠應(yīng)用在一些危險(xiǎn)惡劣及操作復(fù)雜的環(huán)境下，而且能夠以相對(duì)高的速度和準(zhǔn)確率完成大量重復(fù)性工作，這樣可以避免人力處于危險(xiǎn)的施工環(huán)境中，減輕了工人的勞動(dòng)強(qiáng)度，提升了勞動(dòng)生產(chǎn)效率，提高了產(chǎn)品的質(zhì)量[4]。自并聯(lián)機(jī)器人誕生以來，國內(nèi)外大量學(xué)者對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行了積極的研究[5-6]： Mustafa等人采用解析法對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，計(jì)算了三種典型關(guān)節(jié)向量下動(dòng)平臺(tái)位姿[7]；而C.Szep等采用了基于逆解的數(shù)值方法研究其定姿態(tài)的位置空間[8]。本文基于運(yùn)動(dòng)空間機(jī)構(gòu)學(xué)理論[9]分析出并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)位移方程，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出并聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解模型以及雅可比矩陣，并通過并聯(lián)機(jī)器人三維實(shí)體建模及仿真對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)各個(gè)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1　Tripod機(jī)器人結(jié)構(gòu)分析

Tripod機(jī)器人是由貝加萊工業(yè)自動(dòng)化有限公司和奧地利HTLWels大學(xué)共同設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)器人，主要由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、主動(dòng)臂和從動(dòng)臂構(gòu)成，三維結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。靜平臺(tái)的3條邊通過3根完全相同的運(yùn)動(dòng)支鏈連接到動(dòng)平臺(tái)上，每根支鏈都包含1個(gè)主動(dòng)臂和1個(gè)從動(dòng)臂。靜平臺(tái)和主動(dòng)臂之間通過旋轉(zhuǎn)副連接，主動(dòng)臂和從動(dòng)臂、從動(dòng)臂和動(dòng)平臺(tái)之間則由球鉸連接在一起，其中從動(dòng)臂的結(jié)構(gòu)類似平行四邊形，由4個(gè)球鉸與連桿組成。在執(zhí)行分揀操作過程中，主動(dòng)臂在驅(qū)動(dòng)力矩(T1,T2,T3)作用下做上、下擺動(dòng)，帶動(dòng)從動(dòng)臂和動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其中3組均勻分布的平行四邊形閉環(huán)結(jié)構(gòu)使得動(dòng)平臺(tái)只能保持和靜平臺(tái)平行移動(dòng)以及在空間里上下運(yùn)動(dòng)。

圖1　Tripod機(jī)器人三維模型示意

2　Tripod機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1　Tripod機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

[(R+L1sinθi-r)cosαi-xb]2+
[(R+L1sinθi-r)sinαi-yb]2+

(1)

圖2　Tripod機(jī)器人簡(jiǎn)化模型示意　　　　圖3　靜平臺(tái)等效圖示意

式(1)為運(yùn)動(dòng)學(xué)的位移方程，為求方程組的解，將上述方程使用tan(θi/2)表達(dá)，經(jīng)過整理可以得到式(2)表示的統(tǒng)一形式：

(2)

式中：ti=tan(θi/2)；Ki,Ui,Vi均為已知量，所以式(2)即為關(guān)于ti的一元二次方程。其中

(3)

θi=2tan-1ti

(4)

因此，當(dāng)給定機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的位置就能直接求出主動(dòng)臂輸入角度。當(dāng)已知Tripod機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)R,r,L1,L2以及動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)坐標(biāo)(xb,yb,zb)時(shí)，基于式(1)～式(4)可以求解出運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解θi的值。令R=75 mm,r=50 mm,L1=200 mm,L2=350 mm，給定動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)坐標(biāo)可得表1對(duì)應(yīng)的各個(gè)主動(dòng)臂輸入角大小。

表1　主動(dòng)臂輸入角角度　(°)

根據(jù)表1，給定動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡：xb=linspace(-100, 100, 21)；yb=linspace(0, 0, 21)；zb=linspace(-500, -500, 21)。對(duì)應(yīng)主動(dòng)臂各個(gè)輸入角的變化曲線如圖4所示。

圖4　主動(dòng)臂輸入角θi變化曲線

2.2　Tripod機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)速度和加速度分析

雅可比矩陣是研究機(jī)構(gòu)學(xué)的重要概念，它反映了機(jī)構(gòu)學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。利用雅克比矩陣可以很容易地求出機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的速度與加速度的表達(dá)式；同時(shí)通過雅克比矩陣行列式等于零的代數(shù)法，也能得出機(jī)構(gòu)奇異位置的表達(dá)式。以Tripod機(jī)器人為例，Mb為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)位置坐標(biāo)，θ1,θ2,θ3為主動(dòng)臂的輸入角度，可得Mb=f(θ1,θ2,θ3)，由于輸入角θi是隨時(shí)間變化的，則：

(5)

(6)

Tripod機(jī)器人的雅可比矩陣描述了機(jī)器人末端執(zhí)行器的速度和機(jī)器人關(guān)節(jié)速度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是主動(dòng)臂輸入角速度與動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比。

雅可比矩陣的求解可由Tripod機(jī)器人運(yùn)動(dòng)位移方程推導(dǎo)得到，令Fi=fi(xb,yb,zb,θi)=0，則：

Fi=[(R+L1sinθi-r)cosαi-xb]2+
[(R+L1sinθi-r)sinαi-yb]2+

(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行泰勒一階展開:

(8)

等式兩邊同除以Δt可得：

(9)

(10)

由式(10)可求得矩陣A和矩陣B，從而可以求出雅克比矩陣J：

J=A-1B

(11)

2.3　基于Adams的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

Tripod機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真可以基于虛擬樣機(jī)來實(shí)現(xiàn)，三維實(shí)體建模軟件(UG)具有很好的三維實(shí)體建模的功能，但它的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析功能稍差一些，而機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)自動(dòng)分析軟件(Adams)的特點(diǎn)剛好和它相反。所以可以根據(jù)Tripod機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)在UG中將其三維模型建好，靜平臺(tái)內(nèi)接圓半徑R=75 mm，動(dòng)平臺(tái)半徑r=50 mm，主動(dòng)臂L1=200 mm，從動(dòng)臂L2=350 mm。通過對(duì)其關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的分析，在靜平臺(tái)中心點(diǎn)添加固定副，靜平臺(tái)和主動(dòng)臂之間添加旋轉(zhuǎn)副，從動(dòng)臂和主動(dòng)臂、從動(dòng)臂和動(dòng)平臺(tái)之間通過球鉸(球面副)連接起來。當(dāng)完備的模型建立成功后將其導(dǎo)入到Adams中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，Tripod機(jī)器人導(dǎo)入Adams軟件中的模型如圖5所示。

圖5　Tripod機(jī)器人模型示意

Adams軟件的點(diǎn)驅(qū)動(dòng)[10]定義的是空間2點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在動(dòng)平臺(tái)中心施加點(diǎn)驅(qū)動(dòng)，空間2點(diǎn)的坐標(biāo)為(-100, 0, -500)，(100, 0, -500)。設(shè)置21個(gè)采樣點(diǎn)得到21組坐標(biāo)，生成動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的樣條驅(qū)動(dòng)函數(shù)。從初始位置(-100, 0, -500)開始，設(shè)置仿真時(shí)間2 s，仿真步數(shù)100，終止位置(100, 0, 500)，可以得到動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的主動(dòng)臂輸入角θ隨時(shí)間變化曲線，如圖6所示，其中動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為1條直線。

當(dāng)給予3個(gè)主動(dòng)臂轉(zhuǎn)速都為5° /s時(shí)，從初始位置開始，設(shè)置仿真時(shí)間5 s，仿真步數(shù)100，可以得到主動(dòng)臂輸入角θ時(shí)間變化曲線，如圖7所示；動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化曲線，如圖8所示；動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的速度隨時(shí)間變化曲線，如圖9所示；加速度時(shí)間變化曲線，如圖10所示。

圖6　主動(dòng)臂輸入角θi隨時(shí)間變化曲線

圖7　主動(dòng)臂輸入角θi隨時(shí)間變化曲線

圖8　動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)位移隨時(shí)間變化曲線

圖9　動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)速度隨時(shí)間變化曲線

圖10　動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)加速度隨時(shí)間變化曲線

由Adams運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果表明：

2) 當(dāng)給定主動(dòng)臂輸入角旋轉(zhuǎn)角速度時(shí)，可得到圖7～圖10所示動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位移、速度及加速度隨時(shí)間變化關(guān)系，由動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的速度 /加速度隨時(shí)間變化曲線可知在運(yùn)動(dòng)過程中并未發(fā)生突變，機(jī)構(gòu)運(yùn)行較為平穩(wěn)。并且通過分析主動(dòng)臂旋轉(zhuǎn)角速度和動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度可以驗(yàn)證由雅可比矩陣推導(dǎo)出的速度正解模型加速度正解模型的準(zhǔn)確性。

3　結(jié)束語

本文主要介紹了Tripod并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，基于空間機(jī)構(gòu)理論建立了并聯(lián)機(jī)器人的空間運(yùn)動(dòng)位移模型。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解模型，并對(duì)其進(jìn)行了求解。又對(duì)雅可比矩陣進(jìn)行了推

導(dǎo)，在已知雅可比矩陣的情況下得到速度正解模型和加速度正解模型，從而可以根據(jù)機(jī)構(gòu)的輸入角速度得出動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度及加速度。最后經(jīng)UG建立三維實(shí)體模型并將其導(dǎo)入到Adams中經(jīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)各個(gè)模型的準(zhǔn)確性。通過運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，可以為后面的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃及運(yùn)動(dòng)控制提供正確的依據(jù)。

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