衛(wèi) 明， 袁梅宇， 張秋明， 王 赟

(1.昆明理工大學(xué) 信息與自動化學(xué)院 ，云南 昆明 650000；2.陽泉市高新創(chuàng)業(yè)服務(wù)中心，山西 陽泉 045000)

0 引 言

目前,在射電天文圖像重構(gòu)算法中成熟的技術(shù)和方案大多采用潔化算法[1]和最大熵方法[2]作為核心思想的改進(jìn)方法。潔化算法作為處理點(diǎn)源圖像時恢復(fù)效果好于最大熵方法；而在處理展源時，最大熵方法優(yōu)于潔化算法。很多天文圖像處理軟件包均采用這兩種算法，但對于欠采樣問題兩者并未從根本上解決。

壓縮感知理論是近年來由Candes，Romberg，Tao等人[3]新發(fā)表的關(guān)于信號處理的一種新的稀疏信號重構(gòu)技術(shù)，在射電天文成像系統(tǒng)中對于采樣函數(shù)是稀疏的。Donoho D L等人[4]曾多次將壓縮感知技術(shù)應(yīng)用于廣域射電望遠(yuǎn)鏡干涉成像之中，并用該方法解決了宇宙微波背景中的宇宙射線成像問題。為保證所成圖像的精確度，本文使用日像儀天線接收太陽電磁波得到數(shù)據(jù)并對成像觀測數(shù)據(jù)仿真，通過對輸入圖像傅里葉變換與對應(yīng)位置相乘處理得到該圖的頻域數(shù)據(jù)，再經(jīng)過傅里葉變換得到了模糊圖像。 壓縮感知的采樣過程在稀疏域上進(jìn)行，并且采樣的點(diǎn)數(shù)很少；在重構(gòu)方面，利用壓縮感知理論中應(yīng)用的最小范數(shù)，在大量實(shí)驗(yàn)中展示了其良好的效果。利用最大熵方法恢復(fù)了圖像。本文方法取得了不錯的天文圖像恢復(fù)重構(gòu)效果。

1 壓縮感知基礎(chǔ)理論

1.1 信號稀疏表示

(1)

x為只有K個基向量的一個線性組合，并且滿足K?N。K為式(1)中si的非零個數(shù)，剩下的(N-K)個分量均為零。由于信號的稀疏特性，則式(1)中存在標(biāo)準(zhǔn)正交基 ，使得其系數(shù)只有很少的大系數(shù)和很多的小系數(shù)?？蓧嚎s的信號可以很好地被K稀疏信號逼近[8]。

獲得全部的N長度的可壓縮采樣信號X；基于s=ΨTX，計(jì)算在完備集下的變換系數(shù){si}；確定K個大系數(shù)分量，丟棄(K-N)小系數(shù)；對K個大系數(shù)分量進(jìn)行編碼，并記錄下該K個大系數(shù)分量的位置信息以便于重構(gòu)信號。

這種采樣然后壓縮的構(gòu)架模式本身存在著一些缺陷：1)采集到的數(shù)據(jù)長度N很大，但最終所確定的K個大系數(shù)數(shù)目可能會非常??；2)編碼器必須計(jì)算出所有的N長度的變換系數(shù){si}，保留K個最大的，丟棄其余的；3)編碼器不但要記錄K個大系數(shù)，還要記錄其位置信息。

y=ΦX=ΦΨs=Θs

(2)

式中Θ=ΦΨ為一個大小為M×N的矩陣。

觀測過程是非自適應(yīng)的，即觀測矩陣Φ的選取與信號X不相關(guān)。

設(shè)計(jì)一個觀測矩陣Φ和一個重構(gòu)算法，要求：觀測矩陣是一個穩(wěn)定的矩陣，使得在信號降維過程中不會損失重要的信息；重構(gòu)算法是從y=Θs中，在已知y和Θ的情況下找到滿足y=Θs的最稀疏的s。

1.2 穩(wěn)定觀測矩陣設(shè)計(jì)

為解決已知K個非零值的問題。線性方程組M×N有唯一解的充分條件是：對于任意一個具有與s中K個非零元素完全相同的N維向量ν，滿足

(3)

從式(3)中可以看出，矩陣Θ要必須要保證K稀疏向量的度量尺度長度在一定范圍內(nèi)變化。

在實(shí)際運(yùn)用中并不清楚列向量s中K個非零元素的具體位置。然而，對于K稀疏或者可壓縮信號有解的充分且必要的條件正是式(3)，即約束等距條件(restricted isometry property,RIP)[9];另外，一種保證穩(wěn)定性的方法是保證觀測矩陣Φ和稀疏標(biāo)準(zhǔn)正交基Ψ是非相干的，即向量{φj}不能稀疏表示向量{ψj}，反之亦然。

在壓縮感知理論中，通常會為了避免關(guān)于選擇具有約束等距條件的矩陣，而選擇一個隨機(jī)矩陣來作為觀測矩陣Φ。如矩陣中每個元素φj,i均互相獨(dú)立且遵循同一分布的隨機(jī)變量(independent and identically distributed,IID)，比如，觀測矩陣Φ的元素均服從期望為0，方差為1/N的高斯分布[10]，即可保證觀測信號y是原始信號X的M個不同的隨機(jī)加權(quán)的線性組合。另外，矩陣元素為±1的隨機(jī)Rademacher矩陣也滿足約束等距條件，具有普遍性[11]。

1.3 信號重構(gòu)算法

為了在轉(zhuǎn)換零空間中，找出原始信號的稀疏解向量s：

最小l2范數(shù)重構(gòu)方法

(4)

由于式(4)中的l2范數(shù)不能反映出解的稀疏特性，因此,直觀的思想在解向量中直接找到最稀疏的那組解，即最小l0范數(shù)

(5)

由式(5)中可以看出，只用M=K+1個高斯觀測值，任意的優(yōu)化解都能夠高概率直接重構(gòu)K稀疏信號[12]。但求解式(5)是一個不穩(wěn)定，而且NP難問題。

2 最大熵原理

圖像熵的定義有很多形式[13～16],其中,Frieden提出的形式主要用于天文圖像上。熵最大時表示這些事件具有最大的不確定度，這在客觀上要求事件是等概率分布,使圖像的灰度趨于平滑,圖像最大熵的恢復(fù)問題的公式表達(dá)為

(6)

由圖像熵的定義可知，I(x,y)不能為負(fù),否則H(x,y)沒有意義，因此，使圖像最大熵作為判據(jù)，圖像的正性將這個先驗(yàn)知識自然地得到了保證。

3 壓縮感知與最大熵結(jié)合的圖像恢復(fù)方法

3.1 最大熵方法

(7)

(8)

式中f(I)為I(x,y)的熵函數(shù)。對式(9)I(x,y)求導(dǎo)有

(9)

滿足式(9)的解取代了式(7)的約束條件，獲得了關(guān)于λ(x,y)的非線性等式。稱函數(shù)J(x,y)為“帶限”函數(shù)，通過式(9)能找到滿足熵值最大的圖像I(x,y)，即

I(x,y)=f'-1[J(x,y)]≡g[J(x,y)]

(10)

熵函數(shù)的定義為f(I)=-IlnI，則g[J(x,y) ]=e(-1-J)。因此，圖像函數(shù)I(x,y)即為一個關(guān)于“帶限”函數(shù)J(x,y)的非線性函數(shù)。

3.2 最大熵方法與壓縮感知相結(jié)合的方法理論

討論一維熵函數(shù)

H=∑-xlnx

(11)

由函數(shù)-xlnx在x∈(0,1]區(qū)間的圖像知曲線光滑，且在(0,+∞)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在x=e-1時-xlnx達(dá)到最大值。

為了使函數(shù)滿足凸函數(shù)，將熵函數(shù)變形為xlnx，求其導(dǎo)數(shù)為1+lnx，其在x∈(0,5]區(qū)間取值示意圖如圖1所示。圖像中1+lnx只含有一個零點(diǎn)并且xlnx在零點(diǎn)左側(cè)是減函數(shù)，零點(diǎn)右側(cè)是增函數(shù)，因此，函數(shù)xlnx具有全局最小值。

圖1 函數(shù) 1+lnx的曲線圖像

用泰勒公式將xlnx展開在x0=0.4展開，有

(12)

圖2 函數(shù)y與y1對比示意

取得區(qū)間為[0.01,1]步長為0.01的MATLAB仿真圖。兩曲線在該區(qū)間下的均方誤差為0.053 7。求解最大熵就轉(zhuǎn)換為了求解一個二次規(guī)劃問題，即

(13)

因此，最大熵條件是作為一個目標(biāo)函數(shù)，與壓縮感知方法相結(jié)合后的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

(14)

4 實(shí) 驗(yàn)

4.1 最大熵與壓縮感知相結(jié)合方法實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)分為3幅不同的輸入圖片和3個不同的采樣函數(shù)，即其效果和評價如圖3和表1～表3,即采樣函數(shù)為22條線，大型螺旋線、中心螺旋線，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別為峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)。

表1 采樣函數(shù)為22條線仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2 采樣函數(shù)為大型螺旋線實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖3 采樣函數(shù)為中心螺旋線仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖像臟圖PSNR/dB恢復(fù)圖PSNR/dB臟圖SSIM/%恢復(fù)圖SSIM/%Sun117.364217.596871.4172.39Sun223.039923.215998.8399.04Sun319.902219.356394.0994.49

4.2 最大熵方法和最大熵與壓縮感知結(jié)合方法對比

對于兩種方法的對比結(jié)果如表4～表6。

表4 采樣函數(shù)為22條線2種算法的恢復(fù)效果數(shù)據(jù)對比

表5 采樣函數(shù)為大型螺旋線2種算法的恢復(fù)效果數(shù)據(jù)對比

表6 采樣函數(shù)為中心螺旋線2種算法的恢復(fù)效果數(shù)據(jù)對比

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

總體上看,用壓縮感知和最大熵相結(jié)合的方法恢復(fù)圖像的效果無論是PSNR還是SSIM上均較最大熵方法略勝一籌。不足之處在于,對于最后一組實(shí)驗(yàn)即183點(diǎn)中心螺旋線構(gòu)成的采樣函數(shù)中,sun1和sun3圖像的PSNR和SSIM均較傳統(tǒng)的最大熵恢復(fù)效果差，主要是因?yàn)椴蓸狱c(diǎn)數(shù)太少，采樣率為0.279 %，采樣條件比較苛刻，另外，又由于采樣點(diǎn)主要集中在零頻附近幾乎所有的采樣點(diǎn)均為低頻采樣。

5 結(jié) 論

應(yīng)用最大熵方法和壓縮感知方法，對熵函數(shù)進(jìn)行變換，用泰勒公式展開,化為二次型的形式，然后將這個二次型與稀疏解最小化作為目標(biāo)函數(shù)，對圖像進(jìn)行恢復(fù)，對比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，圖像的效果有所提高，證明了方法的有效性。

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