陳以恒，顧煜佳，王申健，何德峰，余世明

（浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，浙江杭州310023）

泵在流程工業(yè)中具有十分重要的作用，近年來，引起了廣大科技工作者和應(yīng)用工程師的廣泛關(guān)注和興趣[1-2]。隔膜計(jì)量泵作為流體計(jì)量和精確投加的理想設(shè)備，廣泛應(yīng)用于石油、化工、環(huán)保、制藥、食品、造紙、水處理等行業(yè)中[3]，在工藝過程中主要擔(dān)負(fù)著流體定量投加和比例投加（簡稱定比投加）的任務(wù)[4]，籠式轉(zhuǎn)子的三相異步電動機(jī)具有效率高、起動性能好、運(yùn)行可靠、重量輕及性價比高等特點(diǎn)，所以在工業(yè)計(jì)量泵的驅(qū)動中得到廣泛應(yīng)用。雖然三相異步電機(jī)具有上述優(yōu)點(diǎn)，但是工業(yè)現(xiàn)場，工作環(huán)境復(fù)雜多變，存在各種干擾，對其驅(qū)動電機(jī)能否有效控制直接關(guān)系到計(jì)量泵的精度。文獻(xiàn)[5]提出采用計(jì)量泵變頻控制系統(tǒng)，通過PID算法進(jìn)行調(diào)節(jié)控制從而使系統(tǒng)更為穩(wěn)定，提高計(jì)量泵精度。文獻(xiàn)[6]運(yùn)用基于模糊PI的控制方法對三相異步電機(jī)進(jìn)行控制，該方法具有結(jié)構(gòu)簡單，穩(wěn)定可靠等特點(diǎn)，缺點(diǎn)是未基于模型控制，所以無法實(shí)現(xiàn)優(yōu)化控制。

近年來，隨著控制理論和技術(shù)的深入研究，使得三相異步電機(jī)控制系統(tǒng)得到快速的發(fā)展。三相異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型是多變量非線性系統(tǒng)，通過引入反饋線性化的思想，經(jīng)過坐標(biāo)變換和狀態(tài)反饋，將其狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成一個線性模型，再運(yùn)用線性系統(tǒng)控制方法設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[7-9]考慮仿射輸入非線性系統(tǒng)，以微分幾何為處理工具，將非線性系統(tǒng)的控制問題轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)的控制問題。文獻(xiàn)[10]運(yùn)用反饋線性化的思想對異步電機(jī)的磁鏈和轉(zhuǎn)速實(shí)現(xiàn)解耦控制，但這種調(diào)速方法動態(tài)性能不理想。文獻(xiàn)[11]運(yùn)用同樣的線性化思想建立模型，再用線性系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)控制器，對永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制，這種方法改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能，提高了抗干擾能力，但是系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，使其穩(wěn)態(tài)性能變差。

為解決上述問題，文中結(jié)合現(xiàn)代控制理論中極點(diǎn)配置思想和跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)隔膜計(jì)量泵三相異步電機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤控制器。針對經(jīng)坐標(biāo)變換后的三相異步電機(jī)線性系統(tǒng)，利用跟蹤誤差信號增廣線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器，在提高系統(tǒng)動態(tài)性能的同時，改善轉(zhuǎn)速跟蹤精度。最后給出仿真結(jié)果，證實(shí)該控制方法的有效性和正確性。

1 三相異步電機(jī)輸入輸出反饋線性化模型

1.1 三相異步電機(jī)仿射非線性模型

在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（即d-q坐標(biāo)系）下，假設(shè)dq軸已沿轉(zhuǎn)子磁場方向定向，則有：

以轉(zhuǎn)子電角速度、轉(zhuǎn)子磁鏈和定子電流作為狀態(tài)變量的三相異步電機(jī)的四階狀態(tài)方程[12]為：

Rs，Rr分別為定子、轉(zhuǎn)子電阻，Ls，Lr，Lm分別為定子、轉(zhuǎn)子自感和定轉(zhuǎn)子之間的互感，ωr為轉(zhuǎn)子電角速度，uds、uqs為d、q軸定子電壓，ids，iqs為d、q軸定子電流，φdr，φqr為d、q軸定轉(zhuǎn)子磁鏈，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，P為極對數(shù)，J為轉(zhuǎn)動慣量，σ為漏感系數(shù)，d、q分別為電機(jī)磁場定向控制（又叫矢量控制）算法中Park變換的勵磁分量和轉(zhuǎn)矩分量直角坐標(biāo)。取狀態(tài)變量和輸入變量分別為：

定義系統(tǒng)的輸出為：

將（1）重新寫成標(biāo)準(zhǔn)仿射非線性系統(tǒng)的形式：

1.2 反饋線性化

根據(jù)反饋線性化理論，首先對系統(tǒng)輸出變量y1、y2求導(dǎo)，直到出現(xiàn)輸入變量：

根據(jù)微分幾何理論可得，系統(tǒng)輸出變量y1，y2對于輸入變量的相對階分別為r1=2，r2=2可知系統(tǒng)的相對階r=r1+r2=4，而原系統(tǒng)的階次也為4。

與文獻(xiàn)[13]不同，本文中系統(tǒng)的相對階等于系統(tǒng)的階次，因此不存在零動態(tài)問題，且滿足反饋線性化的調(diào)節(jié)，設(shè)計(jì)控制器時不再需要做繁瑣的穩(wěn)定性分析。

取微分同胚變換，變換如下：

在上述坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)上，通過引入非線性狀態(tài)控制律，便可實(shí)現(xiàn)三相異步電機(jī)非線性系統(tǒng)的反饋線性化。

其中v=[v1v2]T為線性化系統(tǒng)虛擬輸入變量。由式（8）可得到系統(tǒng)的非線性狀態(tài)反饋：

根據(jù)（7）和（8），系統(tǒng)可以簡化為：

將系統(tǒng)重新寫成狀態(tài)空間模型：

2 三相異步電機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤控制器設(shè)計(jì)

運(yùn)用控制理論中的狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置[14，15]方法，對經(jīng)過反饋線性化后的三相異步電機(jī)系統(tǒng)（10）設(shè)計(jì)控制器。對于狀態(tài)空間模型（11），由于，等于系統(tǒng)的階次，則系統(tǒng)（11）一定是能控的，因此該系統(tǒng)能通過狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)。所設(shè)定的閉環(huán)極點(diǎn)可根據(jù)不同的性能指標(biāo)進(jìn)行修改。設(shè)計(jì)系統(tǒng)（11）的設(shè)狀態(tài)反饋控制器為v=-Kz，其中K為極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋增益矩陣，其值由所配置的極點(diǎn)決定。

通過配置閉環(huán)極點(diǎn)，能改善閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能，但可能使其穩(wěn)態(tài)性能變差，會產(chǎn)生一定的穩(wěn)態(tài)誤差?？紤]文獻(xiàn)[16]中跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方法，本文通過在控制回路中增加r個積分器，其中r=rank(C)，對極點(diǎn)配置后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)跟蹤控制器。

考慮增廣系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下：

系統(tǒng)（12）中，q是r個積分器的輸出。由于極點(diǎn)配置后系統(tǒng)是能控的，且矩陣的行列式不等于零，故，則增廣系統(tǒng)是能控的。因此增廣系統(tǒng)也能通過狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)，對系統(tǒng)（12）設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器為。

通過運(yùn)用極點(diǎn)配置和跟蹤控制器設(shè)計(jì)的三相異步電機(jī)的控制系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 三相異步電機(jī)增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)框圖

3 仿真與結(jié)果討論

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制方法的正確性。本文在MatLab環(huán)境下對所建立的控制系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真，所提出的反饋線性化控制算法用C語言編寫，仿真時的采樣周期Ts=0.2 ms。三相異步電機(jī)控制系統(tǒng)參數(shù)如下：額定功率PN=1.5 kW，額定電壓UN=380 V，額定電流IN=2.78 A，額定頻率fN=50 Hz，額定轉(zhuǎn)矩TN=7.45 N?m，Rs=4.98 Ω，Rr=5.07Ω，Ls=0.532 H ，Lr=0.598 H，Lm=0.523 H，極對數(shù)P=2，轉(zhuǎn)動慣量J=0.05 kg?m2，nN=1 410 r/min，σ=0.5。

在驗(yàn)證極點(diǎn)配置方法的正確性時，將期望極點(diǎn)配置為λ1=[-2+4j-2-4j-5-6]，運(yùn)用MatLab工具計(jì)算出極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋增益矩陣，代 入控制器v=-Kz，觀察系統(tǒng)的仿真輸出結(jié)果。

圖2為單一運(yùn)用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)控制器的系統(tǒng)的輸出仿真結(jié)果。圖中實(shí)線表示磁鏈φdr，虛線表示轉(zhuǎn)速ωr。

圖2 經(jīng)極點(diǎn)配置后的系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)

達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的電機(jī)轉(zhuǎn)速為147.434rad/s，磁鏈為499.834 Wb?？梢姶嬖谝欢ǖ姆€(wěn)態(tài)誤差，為了改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，筆者構(gòu)造了三相異步電機(jī)的增廣系統(tǒng)，在極點(diǎn)配置的基礎(chǔ)上加入跟蹤控制器的設(shè)計(jì)，對其設(shè)計(jì)控制器。

對增廣系統(tǒng)配置極點(diǎn)為

λ2=[-2+4j-2-4j-5-6-10-20]，同理可求出K=[K1K2]，其中K1和K2的值如下：，將結(jié)果代入控制器，觀察仿真結(jié)果。

使用該控制器的系統(tǒng)輸出仿真結(jié)果如圖3所示：

圖3 極點(diǎn)配置后加入跟蹤控制器的系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)

達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的電機(jī)轉(zhuǎn)速為147.716rad/s，磁鏈為499.943 Wb。通過上述分析，可知本文提出的控制方法與單一使用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)的控制器相比，減少了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，使系統(tǒng)具有更加好的抗負(fù)載擾動性、動靜態(tài)性能以及魯棒性，有助于提高計(jì)量泵在復(fù)雜環(huán)境下運(yùn)行的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

文中從轉(zhuǎn)子面向磁場定向控制的三相異步電機(jī)模型出發(fā)，運(yùn)用直接反饋線性化的理論得到狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的輸入-輸出線性化。然后根據(jù)現(xiàn)代控制理論中極點(diǎn)配置和跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了虛擬控制器，最后得到了三相異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制器。仿真結(jié)果表明，文中提出的控制方法相比于單一的極點(diǎn)配置方法，減少了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，當(dāng)存在負(fù)載擾動和參數(shù)變化時，在保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件下，具有更好的動穩(wěn)態(tài)性能和魯棒性。且控制器的參數(shù)可根據(jù)實(shí)際性能指標(biāo)進(jìn)行調(diào)整，適用于隔膜計(jì)量泵對電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)和控制精度要求高的工業(yè)現(xiàn)場。

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