唐泉，黃允滸

（新疆師范大學數(shù)學科學學院，新疆烏魯木齊830017）

乳腺癌是女性中主要癌癥類型，也是女性中第二大致死性癌癥類型，早期檢測和治療被視為最有效的方法來降低乳腺癌的死亡率。它們通常由于圖像質(zhì)量差，普遍缺乏對比度，存在偽影、模糊、噪聲和陰影等。雖然目前已經(jīng)有好多學者提出醫(yī)學圖像增強方法，但是由于受到實際醫(yī)療水平限制、圖像自身的復雜性及其本身固有問題和人體內(nèi)部組織受到外部環(huán)境，如溫度、光照等影響，使得醫(yī)學圖像在獲取過程中往往存在不同程度噪音污染，因此，開展對乳腺圖像的增強研究具有重要意義[1]。鑒于à trous算法未進行下采樣操作，數(shù)據(jù)有很大冗余，便于對每個尺度下的細節(jié)和概貌進行頻譜分析。相對于Mallat算法不但較好的保留了平移不變性，可以有效避免由于非線性變換在邊緣不連續(xù)所引起的Gibbs現(xiàn)象，而二進小波相對于雙正交小波具有平移不變性[2]；在邊緣檢測及圖像增強具有較高的精度的獨特優(yōu)點，因此二進小波在圖像增強，邊緣檢測及特征提取等的應(yīng)用更能表現(xiàn)出更好的性能。

在圖像增強領(lǐng)域中出現(xiàn)了許多實用的算法，諸如直方圖均衡化算法、頻域平滑濾波法等.而偏微分方程（Partial Differential Equations即PDE）圖像去噪是其中非常重要的一類，已經(jīng)成為圖像處理的一個熱點。20世紀90年代，Perona與Malik提出的非線性各向異性擴散代替高斯平滑，建立了P-M模型[3]；然而，由于P-M模型解的不唯一性，具有病態(tài)性質(zhì)，在圖像處理容易產(chǎn)生“塊效應(yīng)”，2000年，You和Kaveh[3-4]提出一個各向異性的四階偏微分方程進行圖像去噪，該方法在去除噪聲同時更好的保持了邊緣特征，克服’塊效應(yīng)’。

近年來，Retinex圖像增強算法已然成為數(shù)字圖像增強技術(shù)研究的熱點。具有增強動態(tài)范圍壓縮、保持顏色恒常性和色調(diào)再現(xiàn)特點[6]。多尺度Retinex（Multi-scale Retinex，即 MSR）是 單 尺 度 Retinex（Single Scale Retinex，即 SSR）的加權(quán)平均[6]；盡管單尺度Retinex算法在圖像增強方面應(yīng)用非常廣泛，優(yōu)勢明顯，如算法模型簡單，便于計算機運算，圖像增強效果好，色彩保持性高等但也存在若干不足之處：算法難以避免光暈的產(chǎn)生，對數(shù)空間內(nèi)數(shù)值取值有限導致單尺度Retinex算法在調(diào)節(jié)亮度對比度時拉伸能力有限。MSR相對于SSR算法優(yōu)勢在于，MSR算法在圖像動態(tài)范圍壓縮方面效果更好，同時圖像的對比度、亮度改善也更為明顯，色彩保持也更好[9]。因此，應(yīng)用MSR算法對醫(yī)學圖像進行增強，從仿真實驗結(jié)果看，該算法在醫(yī)學圖像增強中有較好的效果。

經(jīng)過反復圖像仿真實驗結(jié)果表明本文所提出的算法在對于對比度低、弱光照圖像、陰影圖像，均有獨特的增強效果，在去除光暈現(xiàn)象、噪聲放大問題等都有明顯改善。且亮度、信息熵、對比度與清晰度都得到了進一步增強；為了證明這種方法的有效性，與我們所知道的各種常用增強方法相比，如邊緣增強、反銳化增強、直方圖均衡化、MSR、偏微分方程降噪。

1 à trous算法與P-M模型算法

1.1 à trous算法基本理論

à trous算法（à trous algorithm）[10-12]是由濾波器組{hi}與{gi=δi-hi}定義的一種非正交多分辨率分解算法，其中的克羅內(nèi)克（Kronecker）算子δi是一個全通濾波器。為了提高該算法的時間效率，本文采用快速二進小波變換à trous算法[11-12]?，F(xiàn)推廣一維à trous算法并將其應(yīng)用于圖像的分解與重構(gòu)過程中。

定理1 二維à trous算法

分解公式

重構(gòu)公式

二進小波把原始醫(yī)學圖像I(x,y)分解成大小相同的4個子圖像，分別是水平垂直皆為低頻;水平低頻，垂直高頻;水平高頻，垂直低頻;水平、垂直皆為高頻。文中選取r=2,m=2的B-樣條二進小波濾波器，此方法正是Mallat提出的構(gòu)造方法的推廣.這些濾波器生成如圖1所示的兩個尺度函數(shù)和小波 (φ,ψ,φ,ψ?)。

1.2 偏微分方程去噪方法

1.2.1 P-M模型具有如下特點

1）各向異性。

2）保留了因果性。

圖1 兩個尺度函數(shù)和小波 (φ,ψ,,)的圖像

3）計算代價小[14-15]。

1.2.2 正則化的P-M模型

1992年，Cattle、Lions、Morel和 Coll提出了正則化模型[14]，其表達式如下：

式中I0是原圖像，div表示散度算子，?I是圖像梯度，|?I|是圖像梯度模長。是以方差為σ的高斯卷積核，正則化的P-M模型本質(zhì)上是在P-M模型處理之前進行了一次高斯濾波，解決了P-M模型無法去除大的噪聲點和P-M模型的解是否存在唯一性問題，同時增強了去噪能力[3，15]。Perona與Malik給出式（3）中兩個既能去噪又能增強邊緣的擴散系數(shù)：

其中K為圖像梯度閾值，P-M模型能很好解決了熱擴散無法對圖像邊緣和平滑區(qū)域選擇去噪的缺陷[3]，過度去噪時會出現(xiàn)‘塊效應(yīng)’。

1.2.3 新的擴散系數(shù)

文章提出一種新的擴散系數(shù)，其表達式為：

式（6）中0＜α≤2，取梯度閾值K=10。如圖2所示，給出了u1,u2和新的擴散系數(shù)u3在α分別等于0.2，0.5，1和2的圖像。

圖2 不同擴散系數(shù)函數(shù)圖像

2 圖像增強原理

2.1 Otsu最大類間方差法原理

Otsu提出一種閾值分割法，它是建立在一幅圖像灰度直方圖基礎(chǔ)上[15]，通過閾值將原圖像分成兩個圖象即前景，背景。前景用g1,csum,h1來表示在當前閾值下的前景的點數(shù)，質(zhì)量矩，平均灰度。后景用g2,sum-csum,h2來表示在當前閾值下的背景的點數(shù)，質(zhì)量矩與灰度均值。Otsu的公式推導：

記k為前景與背景的分割閾值，前景點數(shù)占圖像比例為ω0，平均灰度為u0；背景點數(shù)占圖像比例為ω1，平均灰度為u1。圖像的總的灰度均值為：u=ω0?u0+ω1?u1；類間方差：

類間方差越大，兩類灰度差別越大，使得σ2最大的即為所求最佳閾值；因此本文采用如下最大類間方差法的7段對稱連續(xù)分段函數(shù)E(x)如下：

其中，km,kh為閾值門限，ei(x)與E(x)為變換前后的小波系數(shù)。

2.2 圖像增強具體步驟

步驟1：首先利用二維à trous算法對原圖像I(x,y)進行J層分解，得到低頻子帶aJ和高頻子帶

3 增強實驗及分析

3.1 增強實驗

本文的實驗環(huán)境為CPU：P4 2.93G，內(nèi)存為4G，軟件環(huán)境：結(jié)合Matlab2010（a）與C語言作為平臺進行編程，為驗證該算法有效性，增強實驗選取2幅1024×1024的女性乳腺X醫(yī)學圖像做圖像增強測試研究，本文算法的2組實驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 X線乳腺圖像處理前后對比

在圖3中，（a），（b）表示所選擇的 2幅源圖像，（c）、（d）為本文方法的實驗結(jié)果。從結(jié)果中，我們可以看出實驗結(jié)果圖像的視覺效果比原來的圖像效果好。（a）、（b）由于腺體組織較多，噪聲干擾較大，經(jīng)過本文方法處理后邊緣輪廓得到增強顯得更清晰，有效去除部分噪聲，過亮區(qū)域被減弱，過暗區(qū)域得到增強。

3.2 實驗結(jié)果

在分析部分，為證明本文算法實驗結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)的圖像增強方法，我們將本文方法與如下5種常用的增強方法：直方圖、均衡化邊緣增強、反銳化、MSR和偏微分方程降噪作比較，幾種增強算法如圖3、4所示。

圖4 不同增強方法對比

表1 圖3（a）在不同增強方法的信息熵、對比度和信噪比

與此同時，我們也給出了圖像處理效果評價指標與大量定量分析結(jié)果，到目前為止還沒有一個公認的良好主觀和客觀評價標準，目前對于一幅處理過的圖像常使用信息熵、對比度、信噪比、峰值信噪比等評價指標。

3.3 實驗分析

表1對應(yīng)圖4，分別給出對應(yīng)乳腺X線圖像在不同圖像預處理結(jié)果的客觀性評價，從圖4中和表1可以看出，邊緣增強結(jié)果如圖4（c）所示，該方法增強整個圖像的輪廓，且信息熵和對比度得到進一步增強，效果較好；直方圖均衡化結(jié)果如圖4（b）所示，該方法對整個圖像增強的對比度過大，效果并不理想，由于直方圖處理的圖像灰度級有限，變換后灰度級變少，嚴重影響圖像的實用性；4（d）采用反銳化對圖像進行增強反銳化掩模增強圖像，在一定程度上抑制了噪聲，但對于圖像邊緣增強效果一般，實驗表明只要參數(shù)設(shè)置合理，可以對圖像起到很好的增強效果；4（e）是在MSR算法增強后的結(jié)果，可以看出，直接使用MSR處理算法出現(xiàn)光暈的問題，此方法亮度拉伸增益過大，圖像噪聲明顯被放大了。4（e）是基于偏微分方程的直接利用正則化P-M模型，未采用新的擴散系數(shù)的結(jié)果，過度去噪時出現(xiàn)了’塊效應(yīng)’，影響整幅圖像的協(xié)調(diào)性，丟失了部分有用信息，效果也不佳.結(jié)合圖3（c）和（d）與表1，可以看出本文方法在對于過暗或過亮區(qū)域提高了圖像的對比度，對低像素圖像做拉伸，而對于高像素過亮圖像區(qū)域進行壓縮，增強圖像輪廓邊緣，保留更多細節(jié)信息，對于對比度下降的不足有了較好改善，有效抑制塊狀效應(yīng)，較好地去除光暈現(xiàn)象，視覺效果好，層次感更豐富，且在信息熵、對比度與信噪比都得到了進一步提高。

4 結(jié) 論

改善乳腺X線圖像質(zhì)量有利于乳腺圖像特征提取，有助于醫(yī)生對乳腺疾病的發(fā)現(xiàn)分析和診斷.本文提出結(jié)合à trous算法與偏微分方程的乳腺圖像增強，利用推廣的二維à trous算法，并選擇具有線性相位、緊支撐、高階消失矩及有限長單位脈沖響應(yīng)的r=2,m=2提升二進小波濾波器的B-樣條濾波器對乳腺圖進行分解對乳腺圖進行多層分解，對經(jīng)過分解后的圖像的低頻子帶通過采用不同的軟硬閾值法去噪，進而利用基于Otsu閾值法的7段連續(xù)分段對稱函數(shù)增強，而在偏微分方程的正則化模型基礎(chǔ)上利用一個新的擴散系數(shù)，調(diào)整常數(shù)α來自適應(yīng)模型以達到對高頻子帶噪聲更好抑制，后用改進的MSR算法進行增強，最后利用à trous算法重構(gòu)增強后的低頻和高頻子帶.仿真試驗結(jié)果表明，邊緣增強也是一個較好的圖像增強方法，尤其在原圖像中含有較少的噪聲時，其結(jié)果非常接近本文的增強效果。本文方法在去除噪聲的同時具有顏色保真且更好地增強圖像弱邊緣、保留了圖像更多細節(jié)信息，對于對比度低、弱光照圖像、陰影圖像，均有獨特的增強效果，在去除光暈現(xiàn)象、噪聲放大問題等都有明顯改善；且亮度、信息熵、對比度與清晰度都得到了進一步增強，凸顯圖像的輪廓的同時，更好地改善乳腺圖像的視覺效果。

參考文獻：

[1]Karen Panetta，Yicong Zhou，Sos Agaian，et al.Nonlinear unsharp masking for mammogram enhancement[J].IEEE Transactions on Informatin Technology Inbiomedicine，2011（15）：918-919.

[2]吐爾洪江·阿布都克力木.小波信號處理基礎(chǔ)[M].北京：北京郵電大學出版社，2014.

[3]趙銀善，吐爾洪江·阿布都克力木.基于偏微分方程擴散系數(shù)的圖像去噪研究[J].科學技術(shù)與工程，2015，15（1）：263-265.

[4]郭茂銀，田有先.改進的LIP偏微分方程圖像去噪方法 [J].計算機應(yīng)用，2011，31（2）：383-385.

[5]艾力米努·阿布力江，阿卜杜如蘇力·奧斯曼.一種基于二進小波變換的醫(yī)學圖像增強算法[J].計算機與應(yīng)用化學，2012，29（8）：951-953.

[6]常戩，白佳宏.基于回轉(zhuǎn)對稱雙邊濾波的Retinex圖像增強方法 [J].計算機工程，2016（42）：265-273.

[7]丁暢，尹清波，魯明羽.數(shù)字圖像處理中的偏微分方程方法綜述 [J].計算機科學，2013，40（11）：341-345.

[8]車進，師一帥.基于分數(shù)階微分的視網(wǎng)膜血管圖像增強[J].計算機工程與應(yīng)用，2012，48（34）：162-165.

[9]Lenka R，Khandual Dr A.A study on Retinex theory and illumination effects-I[J].International Journal of Advanced Research in computer Science and Software Engineering ，2016，6（1）：15-21.

[10]黃允滸，王鑫，張鵬杰.基于二進提升方案的二進小波濾波器構(gòu)造方法研究[J].科技展望，2016，9（33）：75-76.

[11]譚娜·斯特海琪著，王強，劉燕，金晶譯.圖像融合：算法與應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2015.

[12]張海英，吐爾洪江·阿布都克力木.基于二進小波的醫(yī)學圖像增強[J].科學技術(shù)與工程，2010：3261-3263.

[13]趙亮亮，袁欣.一種改進的骨部鈣化點CT圖像增強方法[J].計算機工程與應(yīng)用，2011，47（1）：166-168.

[14]T·AbdukirimTurik.Dyadicwavelettheoryanditsap?plications.[M].Beijin：buptpress，2016（5）：69-111.

[15]徐長新，彭國華.二維Otsu閾值法的快速算法[J].計算機應(yīng)用，2012，32（5）：1258-1260.

[16]侯園園，周萍.基于小波變換的數(shù)字胸片增強[J].中國醫(yī)學影像技術(shù)，2010（10）：1976-1979.