湯　偉，白志雄，高　祥

(1.陜西科技大學(xué) a.電氣與信息工程學(xué)院；b.機(jī)電工程學(xué)院，西安　710021；2.陜西農(nóng)產(chǎn)品加工技術(shù)研究院，西安　710021)

0　引言

PID是比例積分微分的簡稱，是目前在工業(yè)過程控制中得到普遍應(yīng)用的控制策略，具有結(jié)構(gòu)簡單、實(shí)現(xiàn)方便、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)。而其控制效果的好壞與控制器參數(shù)比例系數(shù)kp、積分時(shí)間ki、微分時(shí)間kd的設(shè)置息息相關(guān)[1]。經(jīng)典的PID控制器參數(shù)整定方法有Ziegler-Nihcols、試湊法、臨界響應(yīng)曲線法等。然而，實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中被控過程通常具有高階、時(shí)滯、非線性等特點(diǎn)，這就使得應(yīng)用上述常規(guī)的設(shè)計(jì)方法往往無法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的控制性能。

近年來，采用智能優(yōu)化算法進(jìn)行PID控制器參數(shù)整定已成為一大研究熱點(diǎn)[2-4]。其中，差分進(jìn)化(Differential Evolution，DE)算法是由Rainer Storn和Kenneth Price于1995年提出的一種隨機(jī)的并行直接搜索算法[5]。因其具有算法簡單、高效和受控參數(shù)少，在求解非線性、不可微連續(xù)空間函數(shù)，特別是非凸、多峰、多谷、非線性數(shù)值優(yōu)化問題中表現(xiàn)出較強(qiáng)的穩(wěn)健性而引起學(xué)術(shù)界廣泛關(guān)注，并被成功應(yīng)用到對(duì)PID參數(shù)的優(yōu)化整定中[6]。然而，同其它智能算法一樣，DE算法也存在進(jìn)化后期由于種群多樣性急劇下降，全局搜索能力被削弱，尤其是隨著問題復(fù)雜程度的上升，算法極易陷入局部最優(yōu)解而“早熟”收斂[7]。

為此，本文提出了一種自適應(yīng)變異的差分進(jìn)化算法。該算法結(jié)合了多策略變異操作和自適應(yīng)動(dòng)態(tài)調(diào)整算法參數(shù)，使得算法同時(shí)兼顧了全局搜索和局部搜索的能力，在一定程度上提高算法的收斂速度及精度，改善了其對(duì)PID控制器的優(yōu)化整定效果。仿真研究驗(yàn)證了算法的優(yōu)越性。

1　差分進(jìn)化算法

(1)

(2)

(3)

2　自適應(yīng)變異差分進(jìn)化算法

DE算法生成策略中，差異的生成和使用是DE算法最重要的思想之一[9]。在算法運(yùn)行的初期，種群多樣性豐富，探索能力強(qiáng)，但隨著演化代數(shù)的增加，群體之間的差異度減小，后期收斂速度變慢，容易陷入局部最優(yōu)解。尤其是在解決高維復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)，隨著維度的增加，極易陷入局部最優(yōu)解而"早熟"收斂。同時(shí)，DE算法的收斂速度和搜索魯棒性之間發(fā)生沖突，難以同時(shí)得到良好的魯棒性和快速的收斂速度。

針對(duì)上述DE算法的缺點(diǎn)和不足，可以看出將差異操作引入到變異中是DE的創(chuàng)新點(diǎn)，也正是DE后期種群多樣性下降的歸結(jié)，因此針對(duì)DE算法的改進(jìn)主要通過對(duì)其幾個(gè)關(guān)鍵操作的改進(jìn)，本文主要針對(duì)變異和交叉操作進(jìn)行改進(jìn)。

2.1　基于群體相似度系數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整變異模式

(1)群體相似度系數(shù)的定義

群體相似度系數(shù)ε，通過定義群體中個(gè)體適應(yīng)值與當(dāng)前群體最優(yōu)適應(yīng)值的相似程度來間接衡量進(jìn)化過程中種群的多樣性，判斷算法是否陷入停頓。ε→0相似度高群體多樣性豐富，ε→1相似度低群體多樣性差。

(4)

式中，fbest為種群最優(yōu)適應(yīng)值；fi為種群個(gè)體適應(yīng)值。

(2)改進(jìn)的變異操作模式

DE算法參與變異個(gè)體都為隨機(jī)選取，這有利于算法的全局尋優(yōu)，但是收斂速度慢。同時(shí)隨著種群的進(jìn)化多樣性下降，原有的變異操作模式使得算法有時(shí)會(huì)陷入局部最優(yōu)點(diǎn)。為了解決算法收斂速度和全局尋優(yōu)能力之間的矛盾，本文將兩種變異模式進(jìn)行結(jié)合使用，具體變異實(shí)現(xiàn)步驟為：

(1)引入新種群Y=[Y1,Y2,…YNP]T,其中每個(gè)個(gè)體為Yi=[yi,1,yi,2,…yi,D]。

(5)

(2)變異操作方式為：

(6)

圖1　群體相似度進(jìn)化曲線圖

2.2　基于變異個(gè)體優(yōu)劣系數(shù)自適應(yīng)交叉概率因子

(1)個(gè)體優(yōu)劣系數(shù)的定義

個(gè)體優(yōu)劣系數(shù)δ，通過定義種群中個(gè)體的適應(yīng)值與當(dāng)前種群平均適應(yīng)值的比值來說明個(gè)體的優(yōu)劣。以求解某函數(shù)最小值為例，δ<1表示當(dāng)前個(gè)體較優(yōu)，反之則個(gè)體較差。

(7)

式中，fi為當(dāng)前種群中的個(gè)體適應(yīng)值，favg為與當(dāng)前種群平均適應(yīng)值。

(2)改進(jìn)的交叉操作模式

CR取值決定了新產(chǎn)生的試驗(yàn)個(gè)體取自變異個(gè)體還是目標(biāo)個(gè)體，DE算法交叉操作時(shí)，只是單純的給定交叉概率因子并沒有考慮到當(dāng)前的變異個(gè)體的適應(yīng)值優(yōu)劣。，本文提出基于變異個(gè)體優(yōu)劣的自適應(yīng)交叉概率因子，當(dāng)變異個(gè)體的適應(yīng)值f(vi)較優(yōu)時(shí)，試驗(yàn)個(gè)體要以較大的概率取自變異個(gè)體，CR應(yīng)取較大值；當(dāng)變異個(gè)體適應(yīng)值較差時(shí)，試驗(yàn)要以較小的概率取自變異個(gè)體，此時(shí)CR應(yīng)取較小的值。本文提出的自適應(yīng)CR調(diào)節(jié)機(jī)制如下所示：

(8)

其中，favg代表當(dāng)前變異矢量群體的適應(yīng)度大小平均值，f(vi)表示當(dāng)前變異矢量個(gè)體，f(vbest)表示當(dāng)前變異矢量群體適應(yīng)度最優(yōu)值，CRmax和CRmin分別為CR取值的上下限。

式(8)說明當(dāng)δ<1，也就是當(dāng)f(vi)小于當(dāng)前變異矢量群體的平均適應(yīng)值，說明此時(shí)產(chǎn)生的變異矢量個(gè)體f(vi)較優(yōu)，試驗(yàn)矢量個(gè)體要以較大的概率取自變異矢量個(gè)體，那么相對(duì)應(yīng)的CR值就越大。反之，δ≥1，則說明對(duì)應(yīng)的變異矢量個(gè)體較差，CR取CRmin使得變異矢量對(duì)試驗(yàn)矢量貢獻(xiàn)越小。圖2為AMDE算法求解某函數(shù)最小化問題時(shí)基于變異個(gè)體動(dòng)態(tài)交叉概率因子動(dòng)態(tài)圖。

圖2　基于變異個(gè)體的動(dòng)態(tài)交叉概率因子動(dòng)態(tài)圖

2.3　基于自適應(yīng)變異的差分進(jìn)化算法流程

對(duì)于最小值優(yōu)化問題minf(X)，AMDE算法實(shí)現(xiàn)的具體流程圖如圖3所示：

圖3　AMDE算法流程圖

3　基于AMDE算法的PID參數(shù)整定優(yōu)化

3.1　PID控制器參數(shù)整定

常規(guī)PID控制器一般形式為：

(9)

通過AMDE算法對(duì)PID參數(shù)優(yōu)化，首先以待尋優(yōu)的比例系數(shù)kp、積分時(shí)間常數(shù)ki和微分時(shí)間常數(shù)kd三個(gè)參數(shù)為分量構(gòu)成一個(gè)三維行向量，進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)編碼，組成差分進(jìn)化算法的個(gè)體X(kp,ki,kd)。以ZN法獲得的參數(shù)為基準(zhǔn)，向兩邊擴(kuò)展作為算法的搜索空間。

(10)

以系統(tǒng)的性能指標(biāo)作為AMDE算法的適應(yīng)度函數(shù)，目前在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下常用的一些性能指標(biāo)如下：

本文采用常用的時(shí)間絕對(duì)偏差積分ITAE作為控制系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)，PID參數(shù)設(shè)計(jì)的目的就是使得性能指標(biāo)函數(shù)最小，由于AMDE算法具有較強(qiáng)的搜索能力，經(jīng)過一系列尋優(yōu)迭代，可以把需要優(yōu)化的PID 參數(shù)放大，實(shí)現(xiàn)較大范圍的搜索空間，擺脫了傳統(tǒng)的PID 過于依賴經(jīng)驗(yàn)值的缺陷。綜上所述，基于AMDE算法的PID控制器參數(shù)尋優(yōu)的流程如下：

(1)設(shè)定種群規(guī)模NP、變異因子F、交叉概率因子上限CRmax和下限CRmin、最大迭代次數(shù)G、PID三個(gè)參數(shù)kp,ki,kd的上下限，并隨機(jī)產(chǎn)生初始種群；

(2)計(jì)算當(dāng)前群體中個(gè)體適應(yīng)值和群體相似度系數(shù)ε，得到最優(yōu)個(gè)體，同時(shí)按照式(6)選擇相應(yīng)的變異操作模式；

(3)計(jì)算變異個(gè)體優(yōu)劣系數(shù)δ，根據(jù)式(8)得到相匹配的交叉概率因子CR。按照式(2)進(jìn)行交叉操作；

(4)適應(yīng)度函數(shù)采用誤差性能指標(biāo)ITAE，按式(3)進(jìn)行選擇操作；

(5)如果滿足最大迭代次數(shù)，則退出算法，得到最優(yōu)解。否則，返回步驟(2)。

3.2　仿真實(shí)驗(yàn)

本文選擇的被控對(duì)象為直流電機(jī)[10]，其模型為：

G(s)=Y(s)/U(s) =1/(s3+9s2+23s+15)

(11)

根據(jù)式(11)在Simulink中搭建對(duì)象模型進(jìn)行仿真研究。①設(shè)定AMDE算法參數(shù)，種群規(guī)模NP=50、變異因子F=0.8、交叉概率因子上限CRmax=0.9、下限CRmin=0.1、最大迭代次數(shù)G=150、延拓系數(shù)α=0.3，β=5。②在t=0s時(shí)，給系統(tǒng)加入一個(gè)階躍輸入信號(hào)，仿真時(shí)間T=15s，采樣時(shí)間tm=0.05ms。經(jīng)過AMDE算法對(duì)上述對(duì)象進(jìn)行PID參數(shù)優(yōu)化整定，最優(yōu)控制器參數(shù)及性能指標(biāo)為Kp=72.32、Ki=28.01、Kd=18.91、ITAE=1.70。圖4為AMDE算法優(yōu)化PID得到的性能指標(biāo)ITAE變化曲線。

圖4　性能指標(biāo)ITAE變化曲線

由圖4可知，性能指標(biāo)ITAE在優(yōu)化中不斷減小，AMDE算法具有較快的收斂速度，通過AMDE算法實(shí)現(xiàn)了較大范圍內(nèi)的參數(shù)尋優(yōu)，使得設(shè)計(jì)出的PID控制器參數(shù)選擇更加合理，實(shí)現(xiàn)了更好的控制效果。同時(shí)為了驗(yàn)證AMDE算法整定PID參數(shù)的優(yōu)越性，在調(diào)節(jié)時(shí)間ts、峰值時(shí)間tp、超調(diào)量δ3個(gè)方面將AMDE-PID，DE-PID，QPSO-PID[10]和傳統(tǒng)PID進(jìn)行仿真對(duì)比，見表1及圖5所示。

表1　最優(yōu)參數(shù)組及主要性能指標(biāo)對(duì)比

由驗(yàn)證結(jié)果知，與傳統(tǒng)PID，DE-PID和QPSO-PID控制相比較，AMDE-PID控制在超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間和峰值時(shí)間上面都有比較明顯的優(yōu)勢，進(jìn)而驗(yàn)證了AMDE-PID控制有效性。

圖5　系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

4　結(jié)束語

本文提出了一種自適應(yīng)變異差分進(jìn)化算法。該算法定義了群體相似度系數(shù)和個(gè)體優(yōu)劣系數(shù)，根據(jù)群體相似度系數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整變異操作模式，發(fā)揮不同變異操作模式的優(yōu)點(diǎn)，使得算法同時(shí)兼顧了全局搜索和局部搜索的能力，同時(shí)引入了新種群的參與使得差異矢量始終存在，保證了算法在運(yùn)行后期同樣具有強(qiáng)大的全局搜索能力；根據(jù)變異個(gè)體優(yōu)劣系數(shù)自適應(yīng)調(diào)整交叉概率因子，改變以往交叉概率因子為定值常數(shù)，算法能夠根據(jù)變異個(gè)體優(yōu)劣選擇合適的交叉概率因子，進(jìn)一步提高了算法的性能。將本文提出的AMDE算法用于以直流電機(jī)模型為被控對(duì)象的PID控制器參數(shù)優(yōu)化中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)PID，DE-PID和QPSO-PID控制，AMDE-PID控制器具有超調(diào)量小、調(diào)節(jié)時(shí)間短、響應(yīng)速度快等優(yōu)勢，具有良好的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)精度，控制效果理想。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 沈春娟. 基于自適應(yīng)蟻群算法的PID控制器設(shè)計(jì)[J]. 儀表技術(shù)與傳感器,2016(12):126-128,156.

[2] 楊智,陳穎. 改進(jìn)粒子群算法及其在PID整定中的應(yīng)用[J]. 控制工程,2016(2):161-166.

[3] 王旭明,郭業(yè)才,于小兵. 基于組合差分進(jìn)化算法的PID參數(shù)整定優(yōu)化[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2015(11):79-82.

[4] 曾成,趙錫均. 改進(jìn)量子遺傳算法在PID參數(shù)整定中應(yīng)用[J]. 電力自動(dòng)化設(shè)備,2009(10):125-127,139.

[5] Storn R, Price K. Differential evolution-a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces [J]. Journal of Global Optimization, 1997, 11(4):341-359.

[6] 王朋,劉林,陳哲,等. 基于改進(jìn)DE算法的PID參數(shù)整定及其應(yīng)用[J]. 動(dòng)力工程學(xué)報(bào),2015,35(3):191-196.

[7] 劉波,王凌,金以慧. 差分進(jìn)化算法研究進(jìn)展[J]. 控制與決策,2007,22(7):721-729.

[8] Xiaofen Lu, KeTang. A newself-adaptation scheme for differential evolution [J]. Neurocomputing, 2014,146(C):2-16.

[9] 陳良,戴光明,張全元,等. 差異演化算法及其改進(jìn)形式的綜述[J]. 計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì),2008,29(1):131-134,255.

[10] 霍延軍. 基于量子粒子群算法的PID參數(shù)自整定方法[J]. 微電子學(xué)與計(jì)算機(jī),2012,29(10):194-197.

(編輯李秀敏)