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        隨機(jī)SIVS傳染病模型的持久性和滅絕性

        2018-04-03 01:21:49陳易亮滕志東
        關(guān)鍵詞:感者確定性擾動(dòng)

        陳易亮,滕志東

        (新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830046)

        0 引言

        傳染病極大地危害著人類的健康和生活.為了更好地預(yù)防和控制傳染病,可通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來研究傳染病的傳播和發(fā)展規(guī)律.許多學(xué)者對確定性傳染病模型進(jìn)行研究,并得到了一些很好的結(jié)果.但在現(xiàn)實(shí)生活中,傳染病在傳播過程中不可避免地受到一些隨機(jī)因素的影響,所以近幾年對隨機(jī)傳染病模型的研究得到了廣泛重視.[1]由于引入擾動(dòng)的方法不同,得到的隨機(jī)傳染病模型也不盡相同.引入擾動(dòng)的方法主要有兩種:一種是對確定性模型中的參數(shù)進(jìn)行擾動(dòng);另一種是對確定性模型圍繞其地方病平衡點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng).[2-3]

        因?yàn)榘l(fā)生率包含了易感者和感染者個(gè)體的行為變化和擁擠程度,其對保證傳染病模型的準(zhǔn)確描述起著關(guān)鍵作用.在許多經(jīng)典的傳染病模型中,雙線性發(fā)生率和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率被經(jīng)常使用,如Wang等[4]研究了具有雙線性發(fā)生率的SIR傳染病模型.此外,一些學(xué)者對具有非線性發(fā)生率的隨機(jī)傳染病模型進(jìn)行了研究,如Liu[5]研究了具有非線性發(fā)生率的隨機(jī)和確定性SIRS 傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為.Zhao等[6]研究了具有飽和發(fā)生率的隨機(jī)SIVS傳染病模型

        (1)

        得到如下結(jié)果:

        為了更好地描述和預(yù)測傳染病的動(dòng)力學(xué)行為,在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上,本文討論具有非線性發(fā)生率的隨機(jī)SIVS傳染病模型

        (2)

        其中:S(t)和I(t)分別表示種群的易感者和感染者;V(t)表示通過接種獲得免疫的人群數(shù)量,即接種者;Λ表示人口的輸入率;β表示S(t)和I(t)之間的傳輸率;μ表示自然死亡率;p是對易感者接種的比例系數(shù);q是對新生兒的接種率;δ表示接種個(gè)體的喪失免疫率;ν表示因病死亡率;γ表示恢復(fù)率;同時(shí)假定所有的系數(shù)非負(fù).

        1 預(yù)備知識

        引理1假設(shè)(H1)與(H2)成立,D={(S,I)|0≤S≤Λ/μ,0≤I≤Λ/μ}.則

        (3)

        (4)

        即存在常數(shù)M1>0,?(S,I)∈D,

        證明(3)式顯然成立.對(S,I)∈D,定義函數(shù)

        由L’Hospital準(zhǔn)則,

        因此對于(S,I)∈D,H(S,I)和G(S,I)均連續(xù),故(4)式成立.

        是系統(tǒng)(2)的正向不變集.

        這個(gè)引理可用類似文獻(xiàn)[7]的方法證明,這里省略.

        由引理1,d(S+I+V)≤[Λ-μ(S+I+V)]dta.s.,于是

        這個(gè)引理可用類似文獻(xiàn)[6]的方法證明,這里省略.

        2 疾病的滅絕性

        證明對系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程應(yīng)用It公式得

        (6)

        對(6)式兩邊從0到t進(jìn)行積分,再同時(shí)除以t有

        (7)

        2012年前后,杭州市政府大力探索智慧城市建設(shè),區(qū)域醫(yī)療信息化建設(shè)推進(jìn)迅速,希望實(shí)現(xiàn)醫(yī)療機(jī)構(gòu)互聯(lián)互通,達(dá)成“智慧醫(yī)療”概念。最終,市民卡成為患者進(jìn)入杭州醫(yī)療服務(wù)體系的一個(gè)“公共載體”。這些網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè),為醫(yī)院一系列后續(xù)流程變革創(chuàng)造了條件。

        若條件(A)成立,則有

        若條件(B)成立,由假設(shè)條件(H1),(H2)及中值定理,

        (8)

        (9)

        對充分小的常數(shù)ε>0,由(7)式得

        (10)

        由(7)和(8)式及引理2,進(jìn)一步有

        (11)

        (12)

        (13)

        從而有

        (14)

        當(dāng)ε→0時(shí),

        (15)

        3 疾病的持久性

        其中

        由中值定理,存在(ξ,θ)∈D,η位于S0和S之間,使得

        從而

        對上式兩邊從0到t進(jìn)行積分再除以t,由引理2得

        因?yàn)?ξ,θ)∈Γ,由引理1可知

        再根據(jù)假設(shè)(H1),

        從而

        由于

        從而

        同理可得

        因此

        進(jìn)一步地,

        并且

        此外,

        由于

        綜上,

        4 總結(jié)

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]TORNATORE E,BUCCELLATO S M,VETRO P.Stability of a stochastic SIR system[J].Physica A:Statistical Mechanics & Its Applications,2005,354(1):111-126.

        [2]SANTONJA F J,SHAIKHET L.Probabilistic stability analysis of social obesity epidemic by a delayed stochastic model[J].Nonlinear Analysis Real World Applications,2014,17(1):114-125.

        [3]MENG XIN-ZHU.Stability of a novel stochastic epidemic model with double epidemic hypothesis[J].Applied Mathematics & Computation,2010,217(2):506-515.

        [4]WANG J J,ZHANG J Z,JIN Z.Analysis of an SIR model with bilinear incidence rate [J].Nonlinear Analysis Real World Applications,2010,11(4):2390-2402.

        [5]LIU Q,CHEN Q.Analysis of the deterministic and stochastic SIRS epidemic models with nonlinear incidence[J].Physica A:Statistical Mechanics & Its Applications,2015,428:140-153.

        [6]ZHAO D,ZHANG T,YUAN S.The threshold of a stochastic SIVS epidemic model with nonlinear saturated incidence[J].Physica A:Statistical Mechanics & Its Applications,2016,443:372-379.

        [7]ZHAO Y,JIANG D,O’REGAN D.The extinction and persistence of the stochastic SIS epidemic model with vaccination[J].Physica A:Statistical Mechanics & Its Applications,2013,392(20):4916-4927.

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