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        一類具阻尼項的偶階中立型泛函微分方程的振動性

        2018-04-03 01:21:22
        關(guān)鍵詞:時滯高階阻尼

        林 文 賢

        (韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣東 潮州 521041)

        1 預(yù)備知識

        考慮一類具有連續(xù)分布時滯和阻尼項的偶階中立型泛函微分方程

        (1)

        其中n≥2為偶整數(shù),方程(1)中的積分為Stieltjes積分.本文若無說明,總假設(shè)下列條件成立:

        (H5)σ(ξ)∈C[a,b],τ(η)∈C[c,d]是非減的.

        對高階中立型泛函微分方程[1]振動性質(zhì)的研究引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注.[2-8]通過引入?yún)?shù)函數(shù)H(t,s)和h(t,s),本文得到方程(1)的若干新的振動準則,推廣了文獻[2-4]的相應(yīng)結(jié)論.

        2 主要結(jié)果

        引理1[7]設(shè)y(t)∈Cn(I,R)為常號函數(shù),在I上y(n)(t)≠0且滿足y(n)(t)y(t)≤0.則:

        (ⅰ) 存在t1≥t0使得y(i)(t)在[t1,∞)上常號,i=1,2,…,n-1.

        y(i)(t)>0,t≥t1,i=0,1,2,…,; (-1)i+y(i)(t)>0,t≥t1,i=+1,…,n.

        引理2[8]設(shè)y(t)滿足引理1的條件,且y(n-1)(t)y(n)(t)≤0,t≥t1.則對θ∈(0,1), 存在常數(shù)N>0 使得

        |x′(θt)|≥Ntn-2|x(n-1)(t)|,t≥t1.

        引理3設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解,令

        (2)

        則存在t1≥t0使得

        Z(t)>0,Z′(t)>0,Z(n-1)(t)>0,Z(n)(t)≤0,t≥t1.

        (3)

        證明因x(t)是方程(1)的最終正解,利用(H2)和(H4)知存在t1≥t0,當(dāng)t≥t1時有x(t)>0,x[g(t,ξ)]>0和x[r(t,η)]>0成立.由(H1),(H3)和(H5),有Z(t)>0且

        (4)

        于是

        易證Z(n-1)(t)>0,t≥t1.注意到

        再由條件(H1)有Z(n)(t)≤0,t≥t1.從而由引理1容易得出Z′(t)>0,t≥t1.

        D0={(t,s)|t>s≥t0},D={(t,s)t≥s≥t0}.

        定理1設(shè)存在函數(shù)H(t,s)∈C(D,R),h(s,t)∈C(D0,R),ρ(t)∈C′(I,R+),滿足:

        (ⅰ)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

        (ⅱ)H(t,s)在D0上對第二個變量存在連續(xù)非正的偏導(dǎo)數(shù)且滿足等式

        (5)

        則方程(1)振動.其中:

        λ=1-p,

        證明設(shè)方程(1)有最終正解x(t),由引理3知存在ti≥t0使得

        Z(t)>0,Z′(t)>0,Z(n-1)(t)>0,Z(n)(t)≤0,t≥t1.

        注意到(H1),(H3)和(2)式,

        (6)

        其中λ=1-p.利用(H2),(H4),(4)和(6)式,

        [r(t)Z(n-1)(t)]′+m(t)Z(n-1)(t)≤-λQ(t)Z[g(t,a)],t≥t2,

        (7)

        這里Q(t)由(H2)定義.

        (8)

        Z′(λg(t,a))≥Ngn-2Z(n-1)[g(t,a)]≥Ngn-2(t,a)Z(n-1)(t),t≥t4.

        (9)

        由(7)和(9)式,

        (10)

        以H(t,s)乘以(10)式,從T到t(t>T≥t4)積分得

        (11)

        利用不等式x2+y2≥2xy有

        (12)

        (13)

        推論1若定理1中的(5)式代之以

        那么系統(tǒng)(1)振動.

        當(dāng)(5)式不成立時,可得以下結(jié)果:

        定理2將定理1中的(5)式替換為

        (14)

        (15)

        且存在函數(shù)φ∈C(I,R)使對任一t≥t0,T≥t0有

        (16)

        (17)

        其中φ+(s)=max(φ(s),0).則方程(1)振動.

        證明類似定理1的證明,對一切t>T≥t4,有(13)式成立,即

        (18)

        由(17)和(18)式有

        φ(T)≤W(T),T≥t4,

        (19)

        (20)

        故由(16)與(19)式,

        (21)

        為完成定理的證明,只需證明(21)式不能成立.定義

        則由(11)和(20)式有

        (22)

        (23)

        U(tk)-V(tk)≤C,k=1,2,….

        (24)

        (25)

        (26)

        (27)

        另一方面,由Schwartz不等式,

        (28)

        [參考文獻]

        [1]HALE J K.Theory of functional differential equations[M].New York:Springer,1977:8-18.

        [2]林文賢,俞元洪.高階中立型時滯微分方程的振動準則[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2014,37(6):1018-1024.

        [3]WANG P G.,F(xiàn)U X L,YU Y H.Oscillation of solutions for a class of higher order neutral differential equations[J].Apple Math JCU,1998,13B:397-402.

        [4]MENG F W,XU R.Kamenev-type oscillation criteria for even order neutral differential equations with deviating arguments[J].Apple Math Comput,2007,190:1402-1408.

        [5]林文賢.一類具阻尼項和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型微分方程的振動性[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,48(3):25-29.

        [6]LIN W X.Oscillation theorems for certain higher order neutral equations with continuous distributed deviating arguments[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics,2012,34(4):849-854.

        [7]AGARWAL R P,GRACE S R,REGAN D O.Oscillation theory for differential equations[M].Dordrecht:Kluwer Academic,2000:72-75.

        [8]PHILOS C G.A new criterion for the oscillation and asymptotic behavior of delay differential equations[J].Bull Acad Pol Sci Ser Sci Mat,1981,39:61-64.

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