林 文 賢

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 潮州 521041)

1　預(yù)備知識

考慮一類具有連續(xù)分布時滯和阻尼項的偶階中立型泛函微分方程

(1)

其中n≥2為偶整數(shù)，方程(1)中的積分為Stieltjes積分.本文若無說明，總假設(shè)下列條件成立：

(H5)σ(ξ)∈C[a，b]，τ(η)∈C[c，d]是非減的.

對高階中立型泛函微分方程[1]振動性質(zhì)的研究引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注.[2-8]通過引入?yún)?shù)函數(shù)H(t，s)和h(t，s)，本文得到方程(1)的若干新的振動準則，推廣了文獻[2-4]的相應(yīng)結(jié)論.

2　主要結(jié)果

引理1[7]設(shè)y(t)∈Cn(I，R)為常號函數(shù)，在I上y(n)(t)≠0且滿足y(n)(t)y(t)≤0.則：

(ⅰ) 存在t1≥t0使得y(i)(t)在[t1，∞)上常號，i=1，2，…，n-1.

y(i)(t)>0，t≥t1，i=0，1，2，…，； (-1)i+y(i)(t)>0，t≥t1，i=+1，…，n.

引理2[8]設(shè)y(t)滿足引理1的條件，且y(n-1)(t)y(n)(t)≤0，t≥t1.則對θ∈(0，1)， 存在常數(shù)N>0 使得

|x′(θt)|≥Ntn-2|x(n-1)(t)|，t≥t1.

引理3設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，令

(2)

則存在t1≥t0使得

Z(t)>0，Z′(t)>0，Z(n-1)(t)>0，Z(n)(t)≤0，t≥t1.

(3)

證明因x(t)是方程(1)的最終正解，利用(H2)和(H4)知存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時有x(t)>0，x[g(t，ξ)]>0和x[r(t，η)]>0成立.由(H1)，(H3)和(H5)，有Z(t)>0且

(4)

于是

易證Z(n-1)(t)>0，t≥t1.注意到

再由條件(H1)有Z(n)(t)≤0，t≥t1.從而由引理1容易得出Z′(t)>0，t≥t1.

記

D0={(t，s)|t>s≥t0}，D={(t，s)t≥s≥t0}.

定理1設(shè)存在函數(shù)H(t，s)∈C(D，R)，h(s，t)∈C(D0，R)，ρ(t)∈C′(I，R+)，滿足：

(ⅰ)H(t，t)=0，t≥t0，H(t，s)>0，(t，s)∈D0;

(ⅱ)H(t，s)在D0上對第二個變量存在連續(xù)非正的偏導(dǎo)數(shù)且滿足等式

(5)

則方程(1)振動.其中：

λ=1-p，

證明設(shè)方程(1)有最終正解x(t)，由引理3知存在ti≥t0使得

Z(t)>0，Z′(t)>0，Z(n-1)(t)>0，Z(n)(t)≤0，t≥t1.

注意到(H1)，(H3)和(2)式，

(6)

其中λ=1-p.利用(H2)，(H4)，(4)和(6)式，

[r(t)Z(n-1)(t)]′+m(t)Z(n-1)(t)≤-λQ(t)Z[g(t，a)]，t≥t2，

(7)

這里Q(t)由(H2)定義.

(8)

Z′(λg(t，a))≥Ngn-2Z(n-1)[g(t，a)]≥Ngn-2(t，a)Z(n-1)(t)，t≥t4.

(9)

由(7)和(9)式，

(10)

以H(t，s)乘以(10)式，從T到t(t>T≥t4)積分得

(11)

利用不等式x2+y2≥2xy有

(12)

(13)

推論1若定理1中的(5)式代之以

那么系統(tǒng)(1)振動.

當(dāng)(5)式不成立時，可得以下結(jié)果：

定理2將定理1中的(5)式替換為

(14)

(15)

且存在函數(shù)φ∈C(I，R)使對任一t≥t0，T≥t0有

(16)

(17)

其中φ+(s)=max(φ(s)，0).則方程(1)振動.

證明類似定理1的證明，對一切t>T≥t4，有(13)式成立，即

(18)

由(17)和(18)式有

φ(T)≤W(T)，T≥t4，

(19)

(20)

故由(16)與(19)式，

(21)

為完成定理的證明，只需證明(21)式不能成立.定義

則由(11)和(20)式有

(22)

(23)

U(tk)-V(tk)≤C，k=1，2，….

(24)

(25)

(26)

(27)

另一方面，由Schwartz不等式，

(28)

[參考文獻]

[1]HALE J K.Theory of functional differential equations[M].New York：Springer，1977：8-18.

[2]林文賢，俞元洪.高階中立型時滯微分方程的振動準則[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2014，37(6)：1018-1024.

[3]WANG P G.，F(xiàn)U X L，YU Y H.Oscillation of solutions for a class of higher order neutral differential equations[J].Apple Math JCU，1998，13B：397-402.

[4]MENG F W，XU R.Kamenev-type oscillation criteria for even order neutral differential equations with deviating arguments[J].Apple Math Comput，2007，190：1402-1408.

[5]林文賢.一類具阻尼項和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型微分方程的振動性[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，48(3)：25-29.

[6]LIN W X.Oscillation theorems for certain higher order neutral equations with continuous distributed deviating arguments[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2012，34(4)：849-854.

[7]AGARWAL R P，GRACE S R，REGAN D O.Oscillation theory for differential equations[M].Dordrecht：Kluwer Academic，2000：72-75.

[8]PHILOS C G.A new criterion for the oscillation and asymptotic behavior of delay differential equations[J].Bull Acad Pol Sci Ser Sci Mat，1981，39：61-64.