孫璐，劉月田*，王宇，張藝馨，柴汝寬

1 中國(guó)石油大學(xué)油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249，中國(guó)

2 奧克拉荷馬大學(xué)石油與地質(zhì)工程學(xué)院，奧克拉荷馬州諾曼市 73019，美國(guó)

0 引言

目前研究壓裂水平井產(chǎn)能問(wèn)題已成為高效開(kāi)發(fā)致密油藏的重要內(nèi)容，其產(chǎn)能模型應(yīng)該充分考慮人工裂縫的復(fù)雜性以及致密油藏的壓力敏感性，對(duì)此國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。Evans[1]在1993年首先提出了均勻流量模型；Larsen[2-3]在1994年建立了有限導(dǎo)流模型；Ozkan[4-5]以壓裂水平井的滲流區(qū)域?yàn)榛A(chǔ)提出了三線性模型；F. Medeiros[6-7]又發(fā)展到三孔模型，三孔模型認(rèn)為壓裂改造區(qū)(SRV)之外的儲(chǔ)層對(duì)多級(jí)壓裂水平井產(chǎn)能的貢獻(xiàn)可以忽略。三孔模型沒(méi)有考慮縫間干擾的問(wèn)題，也不能真實(shí)地模擬地層中裂縫的形態(tài)及其分布情況。Ozkan[8-9]在1991年提出了Laplace空間的源函數(shù)，Guo和Evans[10]在此基礎(chǔ)上利用源函數(shù)結(jié)合Newmann積分方法得到了多級(jí)壓裂水平井的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)解析解。Raghavan[11]、Chen[12]、姚軍[13]、王曉冬[14]、廉培慶[15]等也利用此方法和疊加原理求解了地層流體流入人工裂縫的數(shù)學(xué)模型，解決了縫間干擾問(wèn)題。2015年郭建春[16-17]等考慮到人工裂縫的導(dǎo)流能力與裂縫寬度有關(guān)，求解了楔形人工裂縫的壓裂水平井的產(chǎn)能模型，但是該研究模擬的裂縫都是與井軸對(duì)稱的垂直縫。在現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際監(jiān)測(cè)和壓裂措施模擬中發(fā)現(xiàn)人工裂縫形態(tài)復(fù)雜多變，存在裂縫兩翼長(zhǎng)度不同，兩翼與井筒的夾角不同，裂縫頸縮，人工裂縫發(fā)生轉(zhuǎn)向，以及轉(zhuǎn)向后各級(jí)裂縫之間距離不相等的情形，這些因素都會(huì)對(duì)壓裂水平井產(chǎn)能造成影響(Menglu Lin[18]、包勁青[19]等)?，F(xiàn)有的致密油藏多級(jí)壓裂水平井產(chǎn)能模型對(duì)人工裂縫的復(fù)雜性考慮得還不是很全面，有待進(jìn)一步提高。

李傳亮[20]、孫來(lái)喜[21-22]等對(duì)低滲、特低滲油藏壓力敏感實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，人工裂縫的壓力敏感系數(shù)大于天然裂縫。因此，致密油藏壓裂水平井產(chǎn)能模型的建立還需要分別考慮人工裂縫和天然裂縫的壓力敏感系數(shù)。Blasingame[23-24]、孫賀東[25]、陳民鋒[26-27]等在壓力敏感油藏產(chǎn)量遞減分析中發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)壓差大，致密油藏生產(chǎn)井產(chǎn)量遞減快。而在油藏開(kāi)發(fā)過(guò)程中，適當(dāng)放大生產(chǎn)壓差，有利于流體流動(dòng)，提高生產(chǎn)井產(chǎn)量。因此，對(duì)壓力敏感油藏進(jìn)行開(kāi)發(fā)時(shí)，確定合理的生產(chǎn)工作制度是致密油藏高效開(kāi)發(fā)的研究?jī)?nèi)容之一，也是致密油藏精細(xì)開(kāi)發(fā)的重要基礎(chǔ)。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，考慮不規(guī)則形態(tài)人工裂縫、人工裂縫與天然裂縫的壓力敏感系數(shù)組合，建立了致密油藏壓裂水平井的產(chǎn)能模型。在模型建立中，引入了不規(guī)則形態(tài)裂縫離散方法，采用Green源函數(shù)并結(jié)合Duhamel原理求解裂縫微元段在線匯節(jié)點(diǎn)處的壓降，采用等效滲透率思想描述了SRV區(qū)中雙重介質(zhì)滲透率，并處理SRV區(qū)壓力敏感問(wèn)題。

1 數(shù)學(xué)模型建立及求解

圖1所示在封閉的矩形油藏內(nèi)有一口N級(jí)壓裂水平井，沿水平井筒從左至右，人工裂縫依次記為f1、f2、…、fk、…、fN，其中，fk1和fk2分別為左翼和右翼，k=1,2, 3,…,N 。實(shí)際人工裂縫幾何形態(tài)可分為規(guī)則(如fk?1和fk)和不規(guī)則(如fk+1、fk+2和fk+3)2類。建立的產(chǎn)能模型遵循如下基本假設(shè)：①忽略壓裂改造區(qū)(SRV)外圍區(qū)域中流體流動(dòng)，SRV區(qū)具有雙重介質(zhì)結(jié)構(gòu)和滲透率各向異性特征，考慮SRV區(qū)天然裂縫和人工裂縫的壓力敏感系數(shù)組合。②各級(jí)人工裂縫具有不同形態(tài)——垂直楔形縫、斜交楔形縫、轉(zhuǎn)向裂縫、頸縮裂縫、矮裂縫等，各級(jí)裂縫之間存在干擾。③人工裂縫垂直貫穿儲(chǔ)層。④儲(chǔ)層內(nèi)流體僅通過(guò)人工裂縫流入井筒，考慮水平井筒中的摩擦壓降和加速度壓降。⑤流體為單相微可壓縮流體，流動(dòng)滿足達(dá)西定律。

圖1 模擬壓裂水平井平面示意圖Fig. 1 Plan schematic diagram of fractured horizontal wells

1.1 不規(guī)則形態(tài)裂縫離散

如圖2所示，對(duì)于任意形態(tài)的裂縫，以fk的左翼fk1和右翼fk2為例，可將左翼裂縫壁面形狀記為不規(guī)則形狀A(yù)k1Bk1Ck1，Ck1Dk1為中線。流體由遠(yuǎn)處匯流至裂縫壁面處，人工裂縫可視作由沿裂縫中心線分布的線匯微元組成。設(shè)定線匯分布在裂縫的橫截面與2個(gè)壁面交匯的位置，圖2中Ok1,i點(diǎn)記為線匯XHk1,i位置，將橫截面與不規(guī)則形狀A(yù)k1Bk1Ck1中線交點(diǎn)在x?y平面內(nèi)的坐標(biāo)(xk1,i,yk1,i)記為線匯XHk1,i的坐標(biāo)。Ok1,0和Ok2,0分別記為左翼fk1和右翼fk2與水平井筒壁的交匯點(diǎn)。設(shè)定在Ok1,i+1點(diǎn)至Ok1,i點(diǎn)之間是一個(gè)共有(ns?i)個(gè)線匯流量流經(jīng)的矩形微元段，矩形的長(zhǎng)度等于裂縫寬度，矩形的寬度等于相鄰兩個(gè)交匯點(diǎn)間的垂直距離。經(jīng)過(guò)上述方法處理，將任意形態(tài)的裂縫劃分為許多變寬度的矩形微元段。對(duì)于不規(guī)則形態(tài)的裂縫，裂縫的2個(gè)壁面視作2段連續(xù)的曲線，2條曲線的平面距離即為裂縫寬度。結(jié)合壓裂措施模擬的裂縫形態(tài)數(shù)據(jù)，通過(guò)數(shù)值逼近獲取左邊曲線Ak1Ck1形態(tài)的函數(shù)表達(dá)式Fl( x, y )，右邊曲線Bk1Ck1形態(tài)的函數(shù)表達(dá)式Fr( x, y )。對(duì)于矩形縫，2個(gè)表達(dá)式是常數(shù)項(xiàng)不等但斜率相等的一次函數(shù)；對(duì)于楔形縫，2個(gè)表達(dá)式是斜率不等的一次函數(shù)。

1.2 儲(chǔ)層中的數(shù)學(xué)模型

1.2.1 SRV區(qū)的數(shù)學(xué)模型

初始時(shí)刻油藏各邊界無(wú)流體流動(dòng)。開(kāi)始生產(chǎn)時(shí)，線匯對(duì)整個(gè)油藏產(chǎn)生瞬時(shí)壓降。假設(shè)從初始時(shí)間t0=0到時(shí)刻t，人工裂縫fk左翼上任意線匯XHk1,j以qk1,j的速度流入裂縫中，線匯坐標(biāo)為(xk1,j,yk1,j,zk1,j)。在t時(shí)刻，所有線匯對(duì)線匯位置(xk1,j,yk1,j,zk1,j)產(chǎn)生的總壓降為

式中，

圖2 人工裂縫離散處理示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the left wing discretization of arti ficial fractures

1.2.2 人工裂縫中的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)人工裂縫fk內(nèi)的流體保持線性流動(dòng)，可以計(jì)算得到左翼fk1上任意線匯位置Ok1,j和Ok1,0之間的壓差(即Ok1,j到水平井筒壁之間的壓降)為

同理，得右翼內(nèi)任意線匯位置Ok2,j和Ok2,0之間的壓差表達(dá)式。

1.3 產(chǎn)能耦合模型及求解

1.3.1 水平井筒的數(shù)學(xué)模型

井筒內(nèi)的壓降分為摩擦壓降和加速度壓降，則摩擦壓降表達(dá)式和加速度壓降表達(dá)式分別為

設(shè)定各級(jí)人工裂縫的跟端壓力pfk近似為

當(dāng)pf1=pf2=…=pfk=…=pfN時(shí)，求解得到井筒為無(wú)限導(dǎo)流時(shí)多級(jí)壓裂水平井的產(chǎn)能。水平井筒跟端處p0,1=p0,2=pwf。

1.3.2 耦合模型及求解

如圖3所示，選取節(jié)點(diǎn)一-儲(chǔ)層至節(jié)點(diǎn)三-縫口(跟端)作為研究對(duì)象，2個(gè)子系統(tǒng)的壓降表達(dá)式為

已知N級(jí)壓裂水平井，共得到關(guān)于2N? ns個(gè)未知線匯流量的2N? ns個(gè)方程，得到2N? ns階線性方程組。此外，任意線匯是變質(zhì)量流動(dòng)，應(yīng)用Duhamel原理確定任意線匯處的壓力降。采取離散時(shí)間處理，在時(shí)間步n? t下展開(kāi)式(7)可得

圖3 流動(dòng)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)分析示意圖Fig. 3 Schematic diagram of flow node point system

依據(jù)式(8)，提取線性方程組的系數(shù)矩陣，得到時(shí)間步n? t下線性方程組為A? qn?t=B ，其中，系數(shù)矩陣A為

系數(shù)矩陣中各元素的計(jì)算通式如下

其中，d=1,2。

時(shí)間步n? t下的未知量矩陣為

其中，

常數(shù)項(xiàng)矩陣為

矩陣中相應(yīng)系數(shù)計(jì)算表達(dá)式為

當(dāng)壓裂水平井的內(nèi)邊界條件為定井底流壓pwf時(shí)，可以利用式(4)-式(6)計(jì)算不同跟端位置的壓力，并借助人工裂縫的流量qfk來(lái)確定每一級(jí)人工裂縫的跟端壓力。

1.4 SRV區(qū)和人工裂縫壓力敏感的處理

在n? t時(shí)刻，通過(guò)線性方程組A? q=B已經(jīng)得到了第1時(shí)間步至第n時(shí)間步的所有線匯流量。那么，在所有線匯流量和矩形封閉油藏一個(gè)線匯的解的基礎(chǔ)上，應(yīng)用Duhamel原理確定n? t時(shí)刻下油藏中任意位置(x, y, z)的壓力表達(dá)式如下

采用等效滲透率確定SRV區(qū)平均滲透率Kx、Ky、Kz的計(jì)算表達(dá)式(16)。平均滲透率Kx、Ky、Kz與SRV區(qū)地層平均壓力有關(guān)。采用壓力敏感系數(shù)α1表示天然裂縫的壓力敏感程度。

其中，kfx、kfy和kfz的計(jì)算表達(dá)式為

表1 中Bakken致密油井B-1#和B-6#的基礎(chǔ)參數(shù)Table 1 Basic parameters of B-1# and B-6# in Mid-Bakken

圖4 半解析模型與Arps模型及改進(jìn)Ambrose模型的對(duì)比Fig. 4 Comparison of semi-analytical model with Arps model and improved Ambrose model

將不同生產(chǎn)時(shí)刻線匯處的壓力代入人工裂縫的滲透率kf表達(dá)式(17)中，可得沿不同線匯處裂縫微元段中的滲透率。采用壓力敏感系數(shù)α2表示人工裂縫的壓力敏感程度。

2 模型驗(yàn)證

楊俊峰[28]應(yīng)用Arps模型預(yù)測(cè)了中Bakken致密油井B-1#壓裂水平井產(chǎn)能，用改進(jìn)的Ambrose模型預(yù)測(cè)了中Bakken致密油井B-6#壓裂水平井產(chǎn)能。

圖5 人工裂縫形態(tài)示意圖Fig. 5 Schematic diagram of morphology of arti ficial fractures

表2 人工裂縫、水平井和油藏的參數(shù)Table 2 Parameters of arti ficial fractures, horizontal wells and reservoir

本文對(duì)中Bakken致密油井B-1#和B-6#開(kāi)展模擬計(jì)算，計(jì)算中采用的參數(shù)與楊俊峰的一致，見(jiàn)表1。通過(guò)穩(wěn)態(tài)逐漸逼近非穩(wěn)態(tài)的方法，運(yùn)用本文的半解析模型計(jì)算了壓裂水平井全生產(chǎn)過(guò)程。計(jì)算對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖4，證明半解析模型計(jì)算結(jié)果能夠描述兩口井的生產(chǎn)變化。

3 模型分析

在壓裂水平井模型中設(shè)計(jì)了9種不同形態(tài)的中心對(duì)稱裂縫，其中裂縫與井筒的關(guān)系包括垂直、斜交和轉(zhuǎn)向，裂縫的形態(tài)包括矩形、楔形和頸縮，如圖5中的①-⑨所示。采用拋物線方程描述裂縫⑦和⑧的形態(tài)，采用雙曲線方程來(lái)近似描述裂縫⑥和⑨的形態(tài)，采用線性關(guān)系式來(lái)描述裂縫③的形態(tài)。方程中的系數(shù)根據(jù)裂縫的平均寬度、趾端和跟端寬度、垂直長(zhǎng)度和水平長(zhǎng)度計(jì)算得到。

通過(guò)壓裂施工模擬計(jì)算、微地震監(jiān)測(cè)和示蹤劑測(cè)試解釋來(lái)獲取人工裂縫、水平井、油藏的參數(shù)，計(jì)算各級(jí)裂縫線匯流量的基礎(chǔ)參數(shù)參見(jiàn)表2。

3.1 人工裂縫的形態(tài)與線匯流量的關(guān)系

圖6為裂縫之間無(wú)干擾時(shí)9種形態(tài)裂縫的線匯累積流量圖。由圖6可見(jiàn)，相同裂縫形狀下，垂直縫的累積流量明顯低于斜交縫和轉(zhuǎn)向縫，但均呈現(xiàn)出裂縫越長(zhǎng)，累積線匯流量越大的趨勢(shì)。相同裂縫與井筒關(guān)系下，楔形縫累積線流量最大，頸縮縫次之，矩形縫最小。跟端導(dǎo)流能力大的楔形縫的累積線匯流量比矩形縫的累積線匯流量高出6.5%，跟端導(dǎo)流能力小的頸縮縫比矩形縫的累積線匯流量高出6.3%。

圖6 9種裂縫形態(tài)的累積流量對(duì)比Fig. 6 Comparisons of cumulative flow rates of 9 kinds of fractures

圖7 考慮縫間干擾的9種裂縫形態(tài)累積流量對(duì)比Fig. 7 Comparisons of cumulative flow rates of 9 fractures under the fracture interference

圖8 3種裂縫形狀的累積流量對(duì)比Fig. 8 Comparisons of cumulative flow rates of 3 kinds of fractures

對(duì)比①、②和③可見(jiàn)，矩形縫中近趾端流量與近跟端流量相差不到1%；楔形縫中近趾端流量是近跟端流量的1.58倍；頸縮縫中近趾端流量是近跟端流量的1.55倍。

3.2 人工裂縫干擾與線匯累積流量關(guān)系

圖7為裂縫之間干擾和不干擾2種情形下，9種裂縫形態(tài)整條縫的累積線匯流量及其增加程度對(duì)比。由圖7可見(jiàn)，與裂縫不干擾相比，裂縫之間存在干擾時(shí)，累積線匯流量更大；累積匯流量越大，累積匯流量增加程度也越大。

3.3 合理生產(chǎn)工作制度

圖8中顏色相同的曲線代表人工裂縫壓力敏感系數(shù)相同，SRV區(qū)天然裂縫壓力敏感系數(shù)不同。顏色不相同的曲線代表人工裂縫壓力敏感系數(shù)不同，SRV區(qū)天然裂縫壓力敏感系數(shù)相同。對(duì)于矩形縫、楔形縫、頸縮縫曲線變化趨勢(shì)一致。

在圖8中，以矩形縫為例，忽略壓力敏感時(shí)，隨著井底流壓降低，累積流量線性增加?？紤]壓力敏感時(shí)，當(dāng)人工裂縫壓力敏感系數(shù)為0.05時(shí)(黑色曲線)，隨著井底流壓降低，累積流量逐漸增加；當(dāng)井底流壓相同時(shí)，天然裂縫壓力敏感系數(shù)越大，累積流量越小。當(dāng)人工裂縫壓力敏感變形系數(shù)為0.15時(shí)(藍(lán)色曲線)，隨著井底流壓降低，累積流量先增加后降低；當(dāng)井底流壓相同時(shí)，天然裂縫壓力敏感系數(shù)α2變化對(duì)累積流量影響很小。由圖8的曲線分析可知，當(dāng)人工裂縫壓力敏感系數(shù)大于0.15時(shí)，存在最優(yōu)井底流壓。

4 結(jié)論

(1) 建立了壓敏致密油藏壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)模型，模型能夠描述不規(guī)則形態(tài)的人工裂縫以及垂直、斜交、轉(zhuǎn)向的人工裂縫，能夠計(jì)算SRV區(qū)天然裂縫與人工裂縫壓力敏感系數(shù)組合下的壓裂水平井產(chǎn)能。

(2) 本文模型能夠準(zhǔn)確描述中Bakken的 B-1#和B-6#兩口致密油井生產(chǎn)變化，說(shuō)明了本文模型的可靠性。

(3) 人工裂縫導(dǎo)流能力由大到小依次為楔形縫、頸縮縫、矩形縫。當(dāng)人工裂縫壓力敏感系數(shù)大于0.15時(shí)，壓裂水平井存在最優(yōu)井底流壓，SRV區(qū)天然裂縫的壓力敏感系數(shù)越大，累積流量越小。

符號(hào)說(shuō)明

N—裂縫級(jí)數(shù)，整數(shù)；yfk1、yfk2—左翼和右翼的趾端縱坐標(biāo)；(xk1,i,yk1,i,zk1,i)—線匯XHk1,i的坐標(biāo)；ns—人工裂縫單翼微元段數(shù)，整數(shù)；wk1,i—Ok1,i和Ok1,i-1之間的裂縫fk1微元段的寬度，m；t—生產(chǎn)時(shí)間，天；qk1,g、qk2,g—分別為線匯XHk1,i和XHk2,g的流量，m3/d；?p—壓降，MPa；pini—油藏原始地層壓力，MPa；?ps1,i、?ps2,i—左翼上線匯XHs1,i和右翼上線匯XHs2,i對(duì)任意線匯位置(x, y, z)產(chǎn)生的瞬時(shí)壓降，MPa；xe、ye、h—油藏的長(zhǎng)度、寬度和厚度，m；φ—孔隙度，小數(shù)；μ—流體黏度，mPa? s；Ct—綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；S1、S2、S3—點(diǎn)(xk1,i,yk1,i,zk1,i)處的Green函數(shù)；α=φμCt；Kx、Ky、Kz—x、y、z方向的滲透率，mD；rw—井筒半徑，m；pk1,0、pk2,0—水平井筒壁Ok1,0和Ok2,0處的壓力，等于pfk；kf—人工裂縫滲透率，mD；Qk1,i—左翼上通過(guò)第i個(gè)微元橫截面的流量，α1、α2—SRV區(qū)裂縫和人工裂縫的壓力敏感系數(shù)；nx、ny—對(duì)xe、ye平均分段的數(shù)目，正整數(shù)?！獫B透率張量；kfx、kfy、kfz—x、y、z方向的SRV區(qū)裂縫滲透率，mD；kff0—SRV區(qū)裂縫初始滲透率，mD；km—基質(zhì)滲透率，mD；kf0—人工裂縫初始滲透率，mD；pk1,i、pk2,i—左翼和右翼上第i個(gè)線匯位置處的壓力，MPa；frk—井段?Lk壁面摩擦因子，與管壁粗糙度f(wàn)τ和流動(dòng)狀態(tài)有關(guān)；ρ—流體的密度，kg/m3；Qk—井段?Lk中流體流量，m3/d；pfk—人工裂縫fk的進(jìn)入壓力，MPa；pwf—井底流壓，MPa。

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