趙匯濤，趙苗嬋，吳景珠

(周口師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 周口 466001)

高等數(shù)學中關于多元函數(shù)條件極值的理論，能夠有效解決實際生活中的極值問題，如實際生活中有些問題需要滿足一定的條件并且取得投入最少、產出最多的成效，這種問題通過多元函數(shù)條件極值就能夠得到有效解決．同時，學習多元函數(shù)條件極值也是培養(yǎng)學生發(fā)散思維、創(chuàng)新思維的重要手段之一，它能夠有效地提高學生的應用能力，對學生靈活解決實際問題具有重要的意義．另外，近年來，線性代數(shù)中關于基礎解系問題的證明及其應用十分廣泛，這對于解決一些數(shù)學問題有很大的幫助．目前，在運用基礎解系解題和求解多元函數(shù)條件極值的問題上，國內外已有許多研究成果．

文獻[1]給出了極值的定義和分類，這需要熟練地掌握．文獻[2-5]則簡單地介紹了多元函數(shù)極值的定義和一般解法，并且針對數(shù)學基礎薄弱的學生列舉出了一些簡單的解法，如拉格朗日乘數(shù)法、均值不等式法、代入降元法等．文獻[6]闡述了拉格朗日乘數(shù)法的充分條件和其解題的一般步驟．文獻[7-8]以例子為主要形式就基礎解系相關問題進行了探討．文獻[9]則給出了條件極值的必要條件．文獻[10]和文獻[11]中通過對條件極值問題的研究分析，發(fā)現(xiàn)一類不滿足條件極值的必要條件并且一般不能用拉格朗日乘數(shù)法求解的條件極值問題，但是這類極值問題本身卻存在極值，并舉例說明．

一般地，解條件極值問題最常用的方法是拉格朗日乘數(shù)法，但前提是此問題必須滿足條件極值的必要條件才有解，并且拉格朗日乘數(shù)法的計算量往往很大，所以并不是所有的條件極值問題都適用拉格朗日乘數(shù)法．對于不能運用拉格朗日乘數(shù)法求解的極值問題可以用基礎解系來求解此類特殊條件極值問題，在本文第二部分附有具體例子來驗證此方法的可行性．

1　 相關定義及結論

1.1　條件極值的定義

定義1[1]實值函數(shù)

y=f(x)=f(x1,x2,…,xn)，

在滿足以下函數(shù)方程組

(1)

的極值稱為條件極值．方程組(1)稱為函數(shù)f的約束條件，函數(shù)f常稱為約束條件下極值問題的目標函數(shù)．

1.2　條件極值的常用解法

求條件極值的方法多種多樣，如拉格朗日乘數(shù)法、均值不等式法、代入降元法等，其中最常用方法是拉格朗日乘數(shù)法，特別是在約束條件比較多的情況下用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值問題更簡便適用．

定理1[6]設目標函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在條件函數(shù)

φk(x1,x2,…,xn)=0,(k=1,2,…,m,mn)限制下的極值，若f(x1,x2,…,xn)和φk(x1,x2,…,xn)有連續(xù)的偏導數(shù)，且雅可比矩陣

用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的步驟如下：

首先，構造拉格朗日函數(shù)

L(x1,x2,…,xn,…,λ1,…,λm)

然后，解方程組

1.3　基礎解系的概念及求法

定義2[7]齊次線性方程組

(2)

的一組解稱為方程組(2)的一個基礎解系，如果

1)方程組(2)的任一解都能表成η1,η2,…,ηt的線性組合；

2)η1,η2,…,ηt線性無關．

定理3[8]設數(shù)域K上有非齊次線性方程組

(3)

對非齊次線性方程組(3)，如果

r(B)=r(Bβ)=r

其中B是方程組(3)的系數(shù)矩陣，β=(b1,b2,…,bn)T．則方程組(3)有無窮多解．此時如果ξ是(3)的一個特解，η1,η2,…,ηn-r是導出組(2)的一個基礎解系．

2　 用基礎解系解某些極值問題

2.1　一類特殊的極值問題

在有關多元函數(shù)條件極值問題方面，大學數(shù)學中有許多求解此類問題的方法，其中最常用的求解方法是拉格朗日乘數(shù)法．一般地，只要滿足條件極值的必要條件，這個極值問題才有解．但這種情況并不是絕對的，如：

命題1[9]設u=g(x1,x2,…,xn)在

條件下具有條件極值的必要條件是拉格朗日函數(shù)

(4)

滿足

(5)

但是，實際情況下，還存在一類條件極值問題，其在不滿足以上條件(4)和(5)的情況下卻存在極值．下面分析這類問題：

如果要求

在

條件下的條件極值，采用拉格朗日乘數(shù)法，可以得到條件極值的必要條件是使線性方程組

(6)

有解．但是，經研究發(fā)現(xiàn)，在很多情況下，雖然方程組(6)是沒有解的[11]，但此問題卻又存在極值．此時，可以用另一種相對簡單的方法來解決這個問題．如下面的例1，雖然算子λi不存在，但是問題本身卻存在極值．

下面運用基礎解系法來求解此類特殊的條件極值問題，步驟如下：

首先，選定線性無關的未知量xi(i=1,2,…)，將原方程組

轉化為關于xi的解的新方程組，然后求出此方程組的通解

x*=ξ+k1η1+…+knηn,(n=1,2,…)，

之后將它代入目標函數(shù)中，得出關于kn的新的目標函數(shù)表達式，再進行相應的判斷．若不滿足取得極值的條件，再重復以上步驟；若經過迭代過程后滿足條件，則xi取得相應值，使得目標函數(shù)取得極值．

2.2　利用基礎解系解一類條件極值

下面通過分析具體的例題，它雖然不滿足條件極值的必要條件，即算子λi不存在，方程組(6)沒有解，但是條件極值問題本身卻存在極值．

例1求z=x1+2x2+11x3+7x4+6x5在

(7)

條件下的極大值．

解先采用拉格朗日乘數(shù)法求解.

首先，構造拉格朗日乘數(shù)函數(shù)

G(x1,x2,…,x5,λ1,λ2)

=x1+2x2+11x3+7x4+6x5

+λ1(x1+2x3+x4+2x5-10)

+λ2(x2+3x3+3x4+x5)

由

可知，當λ1=-1,λ2=-2時，不滿足方程組內全部方程，故λi不存在，此方程組無解．然而實際上此條件極值問題是有解的．在這種情況下，用基礎解系來求解．有方程組

(8)

其通解是

然后將其帶入目標函數(shù)，得

z=22+3k1+2k3．

由已知條件知x*≥0，可以得到

ki≥0,(i=1,2,3)．

于是，可以根據(jù)目標函數(shù)z=22+3k1+2k3可以看出，當k1與x3相等才可使目標函數(shù)z增加更快．對于方程組(8)，x3可以最大增加到2，這時x2=0．此時，目標函數(shù)相對于x3可達到極大值．又根據(jù)方程組(8)可以得到下面方程組

(9)

得到新的通解

再次代入目標函數(shù)，得

z=28-k1-3k2+k3．

又再次得到新的通解

代入目標函數(shù)，得

又因為x*≥0，因此可以得到

ki≥0,(i=1,2,3)．

從而可得，當

條件下的極大值．

解設目標函數(shù)是關于x1,x2,x3的函數(shù)，經變形可得方程組

(10)

其通解為

(11)

然后代入目標函數(shù)y中可得，

y=700-6k1-2k2+2k3，

又因為x*≥0，可得

ki≥0,(i=1,2,3)，

由y=700-6k1-2k2+2k3可知當k3與x6相等時，才可使y值更大．為使y取得極大值，就要使k3或x6增加到最大．

由方程組(11)，x*≥0可知，令k1=0,k2=0，解得k3=0=x6，故y的極大值就是當k1=k2=k3=0，也即x1=0,x2=50,x3=50，x4=0,x5=0,x6=0時取得極大值y=700．

如果采用拉格朗日乘數(shù)法求解，算子λi同樣是不存在的．

例3求函數(shù)z=5x1+21x3在

(12)

的條件下的極小值．

解同樣此問題也不能用拉格朗日乘數(shù)法求解．下面用基礎解系求解.

易知方程組

(13)

的通解為

代入目標函數(shù)，得

又因為x*≥0，可得

(14)

得到新的通解為

代入目標函數(shù)，得

又因為x*≥0，可得

ki≥0,(i=1,2,3)，

根據(jù)目標函數(shù)

本文通過分析基礎解系法所得的通解中的常數(shù)和方程組中的變量之間的相互關系，得到了目標函數(shù)與變量變化的迭代過程．實際上條件極值問題如果存在有界的解，則經過多次迭代最終一定會得到極值，進而解決不能用拉格朗日乘數(shù)法求解的一類條件極值問題．

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