徐浩

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重難點，與其他知識的結(jié)合自然且靈活多變，是幫助學(xué)生全面深入理解“函數(shù)”這一概念以及加強學(xué)生思維訓(xùn)練的合適內(nèi)容. 我校初中數(shù)學(xué)實行分層教學(xué)，筆者執(zhí)教的是最高層次S層，本堂習(xí)題課選擇了一道經(jīng)典的二次函數(shù)與直角三角形相結(jié)合的綜合問題，題目設(shè)置不難，學(xué)生容易入手. 為了充分挖掘題目價值，讓課堂“思維流量”最大化，筆者決定把課堂“還給”學(xué)生，讓學(xué)生主講，將他們的思維充分展現(xiàn)出來，適時加以引導(dǎo)和點撥，激發(fā)學(xué)生自主探究精神，提升他們解決問題的能力.

一、課堂實錄

（下發(fā)學(xué)案）

已知：如圖1，一次函數(shù)y=x+1的圖像與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與一次函數(shù)y=x+1的圖像交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標(biāo)為（1，0） .（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由.

師：請同學(xué)們用8分鐘時間思考和完成這道習(xí)題.

（8分鐘后）

師：本題第1問比較基礎(chǔ)，考查二次函數(shù)解析式的求解，請同學(xué)直接上臺板書答案.

（生1板書答案：y=x2-x+1）

師：答案正確嗎？

生齊：正確.

評析：選擇學(xué)生板書，而不是口答，目的在于強調(diào)書寫的規(guī)范.

師：第2問考查“點是否存在”的問題，請問做此類題型，我們需要注意哪些問題？

生2：可以先假設(shè)存在符合條件的點P，然后驗證它的合理性，并且往往求出來不止一個點；這里點P在x軸上，所以它的縱坐標(biāo)一定是0，因此可以設(shè)P（a，0）.

生3：這里要求直角三角形，而不是我們最常見等腰三角形，并且題目已經(jīng)限定直角頂點是點P，那么不需要分類討論了.

師：兩位同學(xué)分析的十分到位，認(rèn)真審題和針對此類題型積累的經(jīng)驗會對解題非常重要.

評析：從學(xué)生角度分析題干和總結(jié)題型經(jīng)驗會給他們留下更加深刻的印象.

師：老師在巡查大家做題的過程中發(fā)現(xiàn)幾種不同的做法，那請同學(xué)們上臺講解自己的做法.

（生4上臺，投影自己的學(xué)案）

生4：我先假設(shè)點P存在，并在x軸上為它取一個大概的位置，再連接BP和CP. 由題意知∠BPC=90°，那么由勾股定理可得到：BP2+CP2=BC2，而BP、CP和BC的長度均可根據(jù)坐標(biāo)系中“兩點距離公式”寫出來，從而得到關(guān)于a的方程：1+a2+9+（4-a）2=20，化簡后為a2-4a+3=0，解得a1=3，a2=1，所以存在符合題意的點P，且有兩個，坐標(biāo)分別是P1（3，0）、P2（1，0）.

（全班掌聲）

師：請問有多少同學(xué)用這個方法？（學(xué)生舉手）一多半同學(xué)。的確，提到直角三角形，我們很快能想到用勾股定理，其中運用“兩點距離公式”時需要認(rèn)真計算. 用其他方法解題的同學(xué)請上臺展示.

生5：我是這樣做的：過點C向x軸作垂線CH，發(fā)現(xiàn)有“一線三等角”模型，因此我用相似三角形對應(yīng)邊成比例計算，我列的等量關(guān)系是=，這些線段長度都很容易表示出來，因此列方程 =，化簡后也是 a2-4a+3=0，答案和上一個同學(xué)一樣.

（全班掌聲）

師：很棒的發(fā)現(xiàn)，原來相似三角形無處不在。但是老師這里需要提醒：方程=是一個分式方程，因此求解過程大家不要忽略了“檢驗”這一步. 我聽見下面有同學(xué)說還有方法，有請上臺.

生6：我們知道如果兩條直線垂直，那么它們解析式的斜率乘積就是-1，即 KBP·KCP=-1，我計算得到KBP=-，KCP=，所以有方程=-1，化簡后也是a2-4a+3=0.

（全班掌聲）

師：從大家熱烈的掌聲中，老師聽出了同學(xué)對這種方法的認(rèn)可. 的確，坐標(biāo)系中垂直直線斜率的關(guān)系往往為求解直角三角形的問題帶來新的思路.

生7：老師，這個“斜率乘積為-1”的結(jié)論考試中能直接用嗎？教材上沒有講到.

師：可以的，雖然這是高中教材上的知識點，但知識是相通的，可以“提前”使用. 同學(xué)們腦洞大開，提出了三種解法，相信大家已經(jīng)很有收獲了，謝謝上臺展示的同學(xué)們.

生8：老師，我好像又想到一種方法，但不知道行不行？

師：沒關(guān)系，你來講一講，同學(xué)們掌聲鼓勵.

（全班掌聲）

生8：我們剛學(xué)了圓的知識，知道了圓的直徑所對的圓周角是直角，那么點P就一定在以BC為直徑的圓上.

師生齊（驚喜）：是的，對的.

生8：呃，可是我還沒想到怎么計算.

師：沒關(guān)系，能聯(lián)想到圓的性質(zhì)已經(jīng)很厲害了. 老師也沒想好怎么計算，那我們再花幾分鐘時間想一想這個辦法能否行得通. 開始！

（2分鐘后）

生9（激動）：老師，行得通，我做出來了.

師：太好了，那你來完成它.

生9：以BC為直徑的圓的圓心在BC的中點，標(biāo)上點M，那么MP就是半徑，即MP=BC，點M的坐標(biāo)可以用 “中點坐標(biāo)公式”計算，也就是（2，2），然后用“兩點距離公式”寫出EP和BC的長度，列出方程 （2-a）2+22=5，化簡后還是 a2-4a+3=0.

（全班掌聲）

生10：老師，用“直角三角形中斜邊上中線等于斜邊的一半”也能解釋這個問題.

師：是的. 直徑BC、弦BP和CP圍成的直角三角形，這時半徑MP則為斜邊BC上的中線. 大家看，這些知識的聯(lián)系還是非常緊密的. 對于這個二次函數(shù)和直角三角形的綜合題，大家表現(xiàn)非常好，一共想到了四種解法，不愧是S班的學(xué)生. 這里老師給大家留一個課后作業(yè)：若將題目中“以點P為直角頂點”的字樣去掉，那么答案又是怎樣？請大家至少用兩種方法求解.

評析：全程展示學(xué)生的成果，配合他們自己的講解，充分將學(xué)生的做題思路和思維方式展現(xiàn)出來. 學(xué)生成為課堂的主人，充分體現(xiàn)其主體地位；教師適當(dāng)點評和引導(dǎo)，不失其課堂主導(dǎo)作用. 面對預(yù)設(shè)外的課堂生成，教師靈活積極地處理，而非“避而不談”，使得學(xué)生收獲信心、得到啟發(fā)，課堂不失靈氣. 因勢利導(dǎo)地安排課后作業(yè)，激發(fā)學(xué)生 “二次思考”，達(dá)到落實和提高的效果.

二、教學(xué)反思

1. 學(xué)生是課堂的主體

“新課程”理念的不斷推進(jìn)，要求教師不斷更新觀念，轉(zhuǎn)變角色，改變課堂中注重知識傳授的傾向，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會合作，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，在教學(xué)中尊重學(xué)生，凸顯學(xué)生的主體地位. 課堂上教師把時間和空間讓出來，學(xué)生帶著興趣思考和展示，充分發(fā)揮自己的想象，在相互評價與質(zhì)疑中得到拓展與提升. 教師不再是課堂的主體，但并不意味著喪失主導(dǎo)權(quán). 教師精心備課、合理預(yù)設(shè)、適時點撥以及靈活應(yīng)對是保證課堂上學(xué)生思維活躍、學(xué)習(xí)過程詳略得當(dāng)、教學(xué)結(jié)構(gòu)完整有序的基礎(chǔ)，從而教師之于課堂的“舵手”作用得以彰顯.

2. 課堂生成是課堂的資源

教師每天面對的是一群充滿活力、充滿個性的“生命體”，教師的課堂總處于一種變化的狀態(tài)中，通過預(yù)設(shè)和對話促使課堂生成，不斷加強對課堂生命和課堂生成狀態(tài)的思考正是我們執(zhí)著的追求.本文課堂實錄中“生8”提出的第四種解法是課堂預(yù)設(shè)外的，面對課堂即時生成的資源，教師不是敷衍了事、一筆帶過，而是引導(dǎo)并參與到學(xué)生的繼續(xù)探究中. 這里，筆者感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非單純的解題與應(yīng)用，而且是對問題的深入思考，也是對事物內(nèi)在聯(lián)系的探索. 同時，我也看到了學(xué)生無限的想象力與創(chuàng)造力，教師是點燃火炬的人，課堂生成不僅能讓火炬旺盛地燃燒，甚至可以把火炬燃燒到課外，指引學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、思考和解決問題.

3. 課后作業(yè)是課堂的延伸

一直以來，如何把握“熱烈的課堂氛圍”和“知識的鞏固落實”的關(guān)系是一線數(shù)學(xué)教師研討的重要議題，筆者認(rèn)為課后作業(yè)的設(shè)計在一定程度上能將二者有效結(jié)合. 課堂實錄中將例題自然地改編為一道作業(yè)題，沒有新編的背景、沒有復(fù)雜的數(shù)據(jù)，僅將題干的條件弱化，達(dá)到了拓寬題目廣度和深度的目的. 這樣的設(shè)計既能讓學(xué)生保持繼續(xù)探索的熱情，還能將課堂上并未“落在筆頭”的知識與技能鞏固. 科學(xué)有效的課后作業(yè)設(shè)計是課堂延伸的重要一環(huán)，就像剛欣賞完一部優(yōu)秀的影視作品，人們在津津樂道、流連忘返的同時，更加期待續(xù)集的上演.

責(zé)任編輯羅峰