蘭志勇 陳禮俊 焦 石 李 理 王 波

（湘潭大學信息工程學院，湖南 湘潭 411105）

功率開關變換器是一類典型的通過控制其開關管開通與關斷來實現(xiàn)電壓變換的非線性系統(tǒng)[1-2]。由于其非線性特性，線性控制理論在此類系統(tǒng)中的應用具有較大的局限性，例如：系統(tǒng)動態(tài)響應與控制精度，因此線性控制理論不適用于開關變換器的分析與設計。研究新型非線性控制技術(shù)，從根本上解決線性控制理論在功率開關變換器上的不足十分重要[2-3]。

近 30年來非線性控制理論在應用研究領域取得了很大的進展，尤其以微分幾何為工具發(fā)展起來的精確線性化方法受到了普遍重視[1-3]。精確線性化方法利用反饋變換以及精確非線性狀態(tài)變換，實現(xiàn)輸入-輸出或輸出-狀態(tài)精確線性化，從而將復雜的非線性系統(tǒng)綜合問題轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)綜合問題[4-5]。該方法在線性化的過程中并沒有像泰勒展開式一般忽略局部高階非線性項，而是定義整體，因此該方法不僅精確而且適用于整個區(qū)域。由文獻[1-5]可知，該方法已經(jīng)被成功地用于解決一些實際控制問題。

就目前研究現(xiàn)狀來看，在電力電子中應用微分幾何理論的反饋線性化非線性控制方法，建立非線性系統(tǒng)的精確數(shù)學模型，未考慮實際系統(tǒng)的不確定性，魯棒性不強[1-2,5]。因此為提高系統(tǒng)的魯棒性，在實際應用中通常將該理論與無源控制、PI控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制等結(jié)合使用。

基于以上分析，本文以Buck-Boost變換器為研究對象，結(jié)合文獻[6]中所提控制策略，由文獻[6]可知，該文所提出控制策略能較好的改善 Boost變換器靜態(tài)動態(tài)性能，但是所提控制策略從未應用于Buck-Boost變換器，因此本文將其結(jié)合并加以利用，用以改善Buck-Boost變換器非線性系統(tǒng)的靜態(tài)動態(tài)性能。首先利用狀態(tài)平均法建立起適用于微分幾何方法的仿射非線性系統(tǒng)標準型，然后利用非線性坐標變換，將原有的仿射非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成可控的線性系統(tǒng)，最后結(jié)合 PI控制構(gòu)造非線性PI反饋律，實現(xiàn)對輸出狀態(tài)變量的控制。該策略一方面可以利用PI控制提高整個控制系統(tǒng)的魯棒性；一方面精確反饋線性化則有助于改善其系統(tǒng)的動態(tài)特性。利用仿真工具，將非線性PI最優(yōu)控制與傳統(tǒng) PI控制相比較，證實了該策略的優(yōu)良的動態(tài)響應特性和強魯棒性。

1 CCM Buck-Boost變換器仿射非線性系統(tǒng)模型

目前PWM型DC/DC變換器建模，常用的方法為狀態(tài)空間平均建模法。依據(jù)平均建模法，圖 1Buck-Boost變換器狀態(tài)空間平均模型為

式中，d為占空比。選取狀態(tài)變量X=[x1,x2]=[iL, uc]，輸入變量u(t)=d，輸出變量y=h(X)=x2?Uref，可得到適用于微分幾何的CCM Buck-Boost變換器的單輸入單輸出的仿射非線性控制系統(tǒng)：

為需要輸出的參考量。

2 變換器非線性控制系統(tǒng)設計

2.1 精確線性化最優(yōu)控制

依據(jù)微分幾何理論，文獻[5,7]中詳細證明式（2）所表示的仿射非線性控制系統(tǒng)滿足系統(tǒng)精確化條件，但單輸入單輸出的仿射非線性控制系統(tǒng)相對階r＜系統(tǒng)的維數(shù)n，需要重新構(gòu)造輸出函數(shù)y=ω(X)，使其滿足系統(tǒng)相對階條件。重新構(gòu)造輸出函數(shù)ω(X)必須滿足：

求解上述微分方程得多解，依據(jù)能量守恒定律，選擇其中一解：

根據(jù)ω(X)構(gòu)造坐標變換可計算：

因此可取坐標變換：

在新坐標下布魯洛夫斯基標準型為

式中，z1、z2為變換后線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量；v為控制變量；u與v的關系式：

其中：

2.2 非線性PI反饋律設計

由以上分析可以得出通過所構(gòu)建的虛擬函數(shù)，原仿射非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為完全可控的線性系統(tǒng)。在實現(xiàn)原仿射非線性系統(tǒng)精確線性化的前提下，引入輸出參考量Vref，實現(xiàn)PI控制電壓輸出，即構(gòu)建具有非線性調(diào)節(jié)功能的PI控制環(huán)節(jié)[6,8-9]。其中非線性反饋坐標變換中的狀態(tài)變量（ic、x2）由誤差的比例積分過程來產(chǎn)生，kp、ki分別為 PI控制器參數(shù)，其參數(shù)的整定采用幅相裕度補償法。

PI控制器設計具體步驟為：首先根據(jù)變換器系統(tǒng)參數(shù)，應用變換器開環(huán)傳遞函數(shù)式（13）計算被控對象數(shù)學模型；然后依據(jù)最小相位系統(tǒng)理論進行補償，計算系統(tǒng)的PI參數(shù)穩(wěn)定域；獲得的參數(shù)穩(wěn)定域后，經(jīng)多次仿真測試確定最優(yōu)PI控制器參數(shù)。求得 PI最優(yōu)參數(shù)為：kp=0.001，ki=1。式（13）中 d為占空比，uo為輸出電壓。

本文采用 Buck-Boost變換器非線性 PI最優(yōu)控制策略，在線性PI控制向量中對輸出誤差的擾動先予以補償，然后利用非線性最優(yōu)控制組合出高品質(zhì)控制器[6]。該方法結(jié)合了精確反饋線性化非線性控制與PI控制的優(yōu)點，一方面利用PI調(diào)節(jié)對于干擾的不變性，提高整個系統(tǒng)的魯棒性；另一方面精確線性化有利于建立PI控制，改善系統(tǒng)動態(tài)響應特性。其系統(tǒng)控制與如下。

圖2 變換器系統(tǒng)整體控制框圖

3 系統(tǒng)仿真與實驗

3.1 數(shù)值仿真參數(shù)

為了驗證所采用的方法的正確性和優(yōu)越性，利用 Matlab對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，并與傳統(tǒng)PI控制方法進行對比分析，結(jié)果表明所提控制方法具有優(yōu)越的動態(tài)性能和良好的魯棒性。系統(tǒng)仿真參數(shù)如下：輸入電壓Uin=30V，輸出電壓Uout=40V，負載R=20Ω，開關頻率fs=100kH，輸入電感L=2mH，輸出電容C=50μF，PI控制器的參數(shù)：kp=0.001，ki=1。

3.2 起動響應特性

圖3分別是傳統(tǒng)PI控制與非線性PI最優(yōu)控制的起動電壓波形對比圖與起動電流波形對比圖。比較分析可知，非線性PI最優(yōu)控制能在極短的時間內(nèi)跟蹤到給定電壓值，且沒有超調(diào)，穩(wěn)定后紋波小；同樣電感電流起動亦具有相同的優(yōu)點。

圖3 輸出電壓和起動電感電流波形對比圖

3.3 穩(wěn)態(tài)特性

圖4非線性PI最優(yōu)控制控制下的穩(wěn)態(tài)特性

圖4 分別為非線性PI最優(yōu)控制控制下電感電流與輸出電壓的穩(wěn)態(tài)特性波形圖，以及在開關周期內(nèi)的細化圖。系統(tǒng)穩(wěn)定運行時，由圖4可知電壓穩(wěn)定輸出為x2=uo=40V，電流穩(wěn)定輸出為x1=iL=4.85A。輸出電壓與電感電流基本上在很小的范圍內(nèi)波動，具有較好的穩(wěn)態(tài)特性。

3.4 負載擾動下動態(tài)響應

圖5為負載由15Ω跳變到20Ω時兩種控制策略的動態(tài)響應曲線。其中圖5（a）為兩種控制策略下，負載電阻突變時輸出電壓對比波形圖。圖5（b）為兩種控制策略下，負載電阻突變時變換器電感電流對比波形圖。由圖5可知，在非線性PI最優(yōu)控制策略下電感電流在負載電阻突變時能迅速響應，并穩(wěn)定在新的穩(wěn)態(tài)值，超調(diào)量小、無振蕩過渡過程，變換器輸出電壓雖在負載電阻突變的瞬間存在一定的超調(diào)大約為5V，但很快恢復到設定的參考電壓。與PI控制對比可知，本控制系統(tǒng)對負載變化具有更強的魯棒性。

圖5負載擾動下的動態(tài)特性

3.5 輸入電壓擾動下動態(tài)響應

圖6 為輸入電壓由30V跳變到35V時兩種控制策略的動態(tài)響應曲線。其中圖6（a）為兩種控制策略下輸入電壓突變時，輸出電壓的動態(tài)響應對比曲線圖。圖6（b）為兩種控制策略下輸入電壓突變時，電感電流動態(tài)響應對比曲線圖。由圖6可知，在非線性PI控制策略下，輸入電壓擾動時電感電流和輸出電壓有些許的超調(diào)，但很小且很快恢復到穩(wěn)定值。而在PI控制策略下，在輸入電壓突變時電感電流和輸出電壓都存在超調(diào)和振蕩，并且需要一定的時間恢復到穩(wěn)定值，超調(diào)量大。因此，采用非線性PI最優(yōu)控制略，系統(tǒng)對輸入電壓擾動有更好的魯棒性。

圖6 輸入電壓擾動下的動態(tài)特性

3.6 電感值擾動下的魯棒性

為進一步驗證所提控制方法對系統(tǒng)參數(shù)改變所表現(xiàn)出來強魯棒性，選取多組輸入電感值L=2mH，5mH、10mH。在保持控制系統(tǒng)不變的前提下，當比較電感值逐漸增大時，Buck-Boost變換器系統(tǒng)的起動過程如下。

圖7為電感L=2mH、5mH、10mH時，變換器的起動波形。由圖7可得，雖電感值不斷增加，但起動速度幾乎不變；電感L=5mH時雖有些許超調(diào)但很快達到穩(wěn)定；當電感L=10mH時，起動出現(xiàn)很大振蕩，但趨于穩(wěn)定，且最終在0.18s時達到穩(wěn)定值。參數(shù)擾動仿真實驗進一步驗證了所提策略具有強魯棒性和良好的起動特性。

圖7 不同電感值下的起動波形

4 結(jié)論

研究非線性控制技術(shù)可從根本上解決傳統(tǒng)線性控制技術(shù)用于開關變換器的缺陷。為此，本文采用狀態(tài)反饋精確線性化最優(yōu)控制與傳統(tǒng)的PI控制相結(jié)合的控制方式及非線性PI最優(yōu)控制，對開關變換器進行控制。通過仿真實驗研究，驗證了本文所采用的控制方法正確性與可行性，得出所用策略具有以下優(yōu)點：

1）采用非線性 PI最優(yōu)控制能有效的改善電力電子變換器模型的控制特性。利用精確反饋線性化，實現(xiàn)了原非線性系統(tǒng)的解耦控制，使系統(tǒng)的動態(tài)響應速度提高，穩(wěn)態(tài)精度得到改善。

2）系統(tǒng)具有良好的響應特性與穩(wěn)態(tài)特性，并且系統(tǒng)對負載、輸入電壓在一定范圍內(nèi)變化時具有很強的魯棒型。

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