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        變性橢圓齒輪的非圓擺線齒廓設(shè)計(jì)

        2018-03-30 05:12:14計(jì)三有
        自動(dòng)化與儀表 2018年2期
        關(guān)鍵詞:設(shè)計(jì)

        童 亮,計(jì)三有

        (武漢理工大學(xué) 物流工程學(xué)院,武漢 430063)

        非圓齒輪,目前在自動(dòng)化行業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用。比如在紡織機(jī)械中周期性改變經(jīng)緯紗的密度,在液體流量計(jì)中通過(guò)一對(duì)卵形齒輪提高計(jì)數(shù)器的校對(duì)度,在可變頻率擺動(dòng)器和電位計(jì)等測(cè)量?jī)x器中以及飛行儀表、火炮指揮儀等解算裝置中實(shí)現(xiàn)某種運(yùn)算功能等。非圓擺線,作為一種新型的非圓齒輪齒廓,有著極大的應(yīng)用價(jià)值,目前對(duì)于非圓漸開線齒廓已經(jīng)有了許多研究[1-3],但對(duì)于非圓擺線齒廓的研究較少,其設(shè)計(jì)、制造、傳動(dòng)特性等問(wèn)題仍然需要更多的關(guān)注。文獻(xiàn)[4]提出了非圓擺線針輪傳動(dòng),針齒按弧長(zhǎng)均勻分布在節(jié)曲線上,在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面與非圓漸開線齒輪有相同的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]基于現(xiàn)有擺線針輪類減速器轉(zhuǎn)臂軸承相對(duì)轉(zhuǎn)速高、受力大,長(zhǎng)時(shí)間工作會(huì)較早出現(xiàn)失效以及輸出機(jī)構(gòu)易出現(xiàn)疲勞斷裂等缺點(diǎn),提出了新型純滾動(dòng)類擺線針輪行星傳動(dòng)。文獻(xiàn)[6]介紹了非圓擺線的定義并對(duì)其在變中心距非圓齒輪行星傳動(dòng)中的設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了分析。本文基于齒輪嚙合基本原理,結(jié)合產(chǎn)形齒輪的概念,分析了具有非圓擺線齒廓的變性橢圓齒輪設(shè)計(jì)問(wèn)題。

        1 非圓擺線齒廓的形成機(jī)理

        如圖1所示,l1和l2為一對(duì)相互嚙合的非圓齒輪的節(jié)曲線。假設(shè)齒輪1的節(jié)曲線固定,齒輪2的節(jié)曲線繞齒輪1的節(jié)曲線純滾動(dòng)。根據(jù)齒廓嚙合基本定律,齒輪2的齒廓包絡(luò)線就是齒輪1的齒廓曲線。

        假設(shè)有一產(chǎn)形齒輪,在兩非圓節(jié)曲線相互純滾動(dòng)的同時(shí),產(chǎn)形齒輪也在同一接觸點(diǎn)與兩節(jié)曲線純滾動(dòng)。這樣產(chǎn)形齒輪可以視作一把虛擬“刀具”,分別在兩節(jié)曲線上切制非圓齒輪齒廓。而且這兩個(gè)非圓齒輪齒廓是可以滿足嚙合條件的,是一對(duì)共軛齒廓[7]。這樣就可以把一對(duì)共軛非圓齒輪的設(shè)計(jì)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為同一產(chǎn)形齒輪與兩共軛非圓齒輪的設(shè)計(jì)問(wèn)題。

        當(dāng)產(chǎn)形齒輪為圓針輪時(shí),在兩非圓齒輪節(jié)曲線上生成的齒廓就是一對(duì)共軛非圓擺線齒廓。假設(shè)產(chǎn)形齒輪在齒輪1的外側(cè),齒輪2的內(nèi)側(cè)。則生成的齒輪1齒廓曲線就是非圓外擺線的等距曲線,齒輪2的齒廓曲線就是非圓內(nèi)擺線的等距曲線。

        進(jìn)一步地,當(dāng)齒輪1和齒輪2的節(jié)曲線均為變性橢圓時(shí),生成的齒廓就是相應(yīng)的橢圓擺線等距曲線。

        2 橢圓擺線的齒廓數(shù)學(xué)模型

        2.1 齒輪1的橢圓擺線齒廓設(shè)計(jì)

        在圖1中,假設(shè)兩齒輪均為變性橢圓齒輪。其節(jié)曲線方程在坐標(biāo)系x1O1y1和x2O2y2中分別為r1=r1(φ1)和 r2=r2(φ2)。 取齒輪 1 單獨(dú)分析,如圖 2 所示。

        圓O代表圓針輪的節(jié)圓,半徑為r0。繞齒輪1的節(jié)曲線l1純滾動(dòng)。圖示位置兩者在P點(diǎn)接觸。針齒分布圓的半徑為rk,針齒半徑為rx,針齒數(shù)為z1。坐標(biāo)系x3O3y3與節(jié)圓O固連。

        初始狀態(tài)時(shí),兩者的接觸點(diǎn)在l1上為A1,在節(jié)圓O上為A。節(jié)曲線l1上由A1點(diǎn)到P點(diǎn)弧長(zhǎng)s1=α作為積分變量被引入,無(wú)實(shí)際意義。由于兩者純滾動(dòng),所以節(jié)圓上A點(diǎn)到P點(diǎn)間的弧長(zhǎng)s=s1。

        圖2 齒輪1齒廓生成示意Fig.2 Tooth profile generating diagram for gear 1

        通過(guò)P點(diǎn)建立坐標(biāo)系x4Py4。x4P軸為兩節(jié)曲線公切線方向,y4P軸為公法線方向。x4P軸與x1O1軸間的夾角為μ,滿足:是兩針齒間的齒距。第k和第k+1個(gè)針齒中心坐標(biāo)可以表示為

        坐標(biāo)系x4Py4中,當(dāng)P點(diǎn)處于產(chǎn)形圓針輪的第k和第 k+1 個(gè)針齒之間時(shí),滿足(k-1)δ≤s<kδ。 其中

        根據(jù)齒廓嚙合基本定律,在坐標(biāo)系x4Py4中,由P點(diǎn)一共可以確定4個(gè)嚙合點(diǎn)坐標(biāo),統(tǒng)一用(x4,y4)來(lái)表示,滿足

        式中:j的取值為 k,k+1。

        坐標(biāo)系 x4Py4中一點(diǎn)(x4,y4),在 x1O1y1中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(x1,y1)。 利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系,應(yīng)有

        這既是嚙合點(diǎn)在坐標(biāo)系x1O1y1中的點(diǎn)坐標(biāo),也是齒輪1的橢圓擺線齒廓方程。

        2.2 齒輪2的橢圓擺線齒廓設(shè)計(jì)

        同理,可以利用同一產(chǎn)形齒輪生成齒輪2的非圓擺線齒廓。不同的是,兩齒輪為內(nèi)嚙合狀態(tài),如圖3所示。

        圖3 齒輪2齒廓生成示意Fig.3 Tooth profile generating diagram for gear 2

        2.3 產(chǎn)形齒輪的基本選用原則

        由之前的討論確定產(chǎn)形齒輪為圓針輪形式。但其相關(guān)參數(shù)仍然受到橢圓齒輪相關(guān)參數(shù)的限制。最基本的一點(diǎn),產(chǎn)形齒輪的節(jié)圓半徑r0必須根據(jù)橢圓齒輪的節(jié)曲線長(zhǎng)度來(lái)確定。一般變性橢圓齒輪節(jié)曲線均為正曲邊形,不妨記曲邊數(shù)為n,單條曲邊的方程為 r=r(φ)。 需滿足

        接下來(lái)的針輪中心坐標(biāo)方程與齒輪1的方程(2)、方程(3)完全相同,嚙合點(diǎn)坐標(biāo)方程與齒輪 1的方程(4)完全相同。嚙合點(diǎn)在坐標(biāo)系x2O2y2中的坐標(biāo)記為(x2,y2)。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程相應(yīng)變?yōu)槿缦滦问?/p>

        這既是嚙合點(diǎn)在坐標(biāo)系x2O2y2中的點(diǎn)坐標(biāo),也是齒輪2的橢圓擺線齒廓方程。

        由于齒輪1、齒輪2和產(chǎn)形齒輪三者間是純滾動(dòng),所以節(jié)曲線l2上A2點(diǎn)到P點(diǎn)的弧長(zhǎng)s2=s=s1。根據(jù)傳動(dòng)比函數(shù)可以確定坐標(biāo)系x1O1y1中節(jié)點(diǎn)P在坐標(biāo)系x2O2y2中的對(duì)應(yīng)接觸點(diǎn),圖3中仍記為P點(diǎn),坐標(biāo)為(φ2,r2)。 坐標(biāo)系 x2O2y2中,x4P 軸與 x2O2軸間的夾角為μ′,滿足:

        產(chǎn)形齒輪的其它參數(shù),需要綜合考慮重合度及曲率半徑等諸多因素的限制。

        3 三維建模與運(yùn)動(dòng)仿真

        選取一組設(shè)計(jì)參數(shù),齒輪1節(jié)曲線的曲邊數(shù)為n1=3,曲邊的內(nèi)分割數(shù)為m1=2。齒輪2節(jié)曲線的曲邊數(shù)為n2=5,曲邊的內(nèi)分割數(shù)為m2=2。橢圓偏心率為e=0.06。中心矩a=143.0844 mm。針輪節(jié)圓半徑為r0=17.9982 mm。針齒分布圓的半徑為rk=18.8981 mm,針齒半徑為rx=3 mm,針齒數(shù)為z1=9。

        在Matlab中編寫程序,計(jì)算橢圓擺線齒廓,將數(shù)據(jù)點(diǎn)輸出到Pro/E軟件中,建立機(jī)構(gòu)整體三維模型,如圖4所示。

        圖4 變性橢圓齒輪機(jī)構(gòu)三維模型Fig.4 3-dimentional models for deformed ellipse gear mechanism

        需要注意的是,齒輪2的輪齒突出部分并非圓形,而是由兩段橢圓內(nèi)擺線的等距曲線以及過(guò)渡曲線組成。將模型導(dǎo)入ADAMS軟件中,設(shè)置好材料和約束,添加接觸關(guān)系后,進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真。結(jié)果如圖5所示。

        圖5 角速度仿真曲線Fig.5 Simulational curves for angular speed

        設(shè)置齒輪1的轉(zhuǎn)速時(shí)所選參數(shù)為30°/s。根據(jù)橢圓齒輪間的傳動(dòng)關(guān)系,齒輪2的轉(zhuǎn)速理論上應(yīng)該是,單位是°/s。將ADAMS仿真曲線數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab軟件中,與理論速度曲線對(duì)比,如圖6所示。

        圖6 仿真速度曲線與理論速度曲線對(duì)比Fig.6 Contrast diagram between simulational speed curve and theoretical speed curve

        由圖6可知,仿真速度曲線與理論速度曲線整體趨勢(shì)基本相同,和設(shè)計(jì)預(yù)期相符;但局部仍然有較大波動(dòng)??赡艿脑蛴性S多:多點(diǎn)參與嚙合時(shí),各嚙合點(diǎn)接觸變形不同,引發(fā)沖擊;建模精度仍然有待提高等等。仿真結(jié)果初步驗(yàn)證了整個(gè)設(shè)計(jì)、建模過(guò)程的正確性。

        4 結(jié)語(yǔ)

        非圓擺線傳動(dòng),相對(duì)于非圓漸開線傳動(dòng)重合度更大;兩輪齒間的接觸為外凸齒廓和內(nèi)凹齒廓接觸,接觸應(yīng)力小,承載能力更強(qiáng);輪齒磨損更均勻。有望在自動(dòng)化行業(yè)和精密儀器儀表行業(yè)中得到廣泛的應(yīng)用。本文以一對(duì)變性橢圓齒輪為研究對(duì)象,重點(diǎn)分析了以圓針輪作為產(chǎn)形齒輪生成非圓擺線齒廓的過(guò)程并建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。然后基于這一數(shù)學(xué)模型,選取參數(shù)進(jìn)行了實(shí)例建模與仿真,對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程進(jìn)行了有效驗(yàn)證。為具有橢圓擺線齒廓的變性橢圓齒輪的設(shè)計(jì)、制造、應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

        [1]譚偉明,梁燕飛,安軍,等.漸開線非圓齒輪的齒廓曲線數(shù)學(xué)模型[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2002,38(5):75-79.

        [2]史勇,王生澤.非圓齒輪齒廓數(shù)值算法研究[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2013,32(8):1130-1133.

        [3]宋洪舟,魏世民,廖啟征,等.漸開線錐形非圓齒輪的嚙合原理與仿真模型[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2013,33(8):788-793.

        [4]林超,王延濤.非圓擺線針輪傳動(dòng)的原理與設(shè)計(jì)[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,35(8):1190-1194.

        [5]宋原.純滾動(dòng)類擺線針輪傳動(dòng)嚙合原理研究[D].北京:北京郵電大學(xué),2014.

        [6]姚文席.非圓齒輪設(shè)計(jì)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2012:94-103.

        [7]吳序堂.齒輪嚙合原理[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2009.

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